空间的直线方程课件

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1、E-mail:4 4 空间直线及其关系空间直线及其关系一、空间直线方程的形式一、空间直线方程的形式ss定义定义 设设L是空间中一已知直线，如果非零向量是空间中一已知直线，如果非零向量 平行于直线平行于直线L，则称，则称 为直线的。为直线的。xyz0M0MsE-mail:(,)sm n p1 1 空间直线的对称式或点向式空间直线的对称式或点向式问题问题：设直线：设直线L L经过定点经过定点P0 0(x0 0,y0 0,z0 0),),并以并以为方向向量，则直线为方向向量，则直线L L的位置完全确定，试的位置完全确定，试建立直线建立直线L L的方程。的方程。设设P(x,y,z)是空间中异于是空间中

2、异于P0的任一点，则点的任一点，则点P在直线在直线L上的充要条件为：上的充要条件为：0P Ps与 平行由两向量平行的充要条件可得：由两向量平行的充要条件可得：pzznyymxx000（1 1）称（称（1 1）为）为直线直线L L的对称式方程的对称式方程。E-mail:在在(1)式中，令式中，令.000tpzznyymxx则则,0mtxx,0ntyy,0ptzzt为参数为参数 （2）称（称（2）式为）式为直线直线L的参数方程的参数方程E-mail:0m,000pzznyyxx;/平面yzl 0n,000pzzmxxyy;/平面xzl 0p,000nyymxxzz./平面xzl 0 nm,00yy

3、xx;/轴zl 0 pn,00zzyy;/轴xl 0 mp,zz 00 xx./轴ylE-mail:例例1 求过点求过点 A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线的直线 l 的对称式的对称式 方程、参数方程方程、参数方程.解：解：l 的方向的方向).2 ,1 ,0()13 ,12 ,11(ABs则得则得 l 的对称式方程的对称式方程参数方程参数方程,1x,1ty;21tz;211101zyxE-mail:2 2 空间直线一般方程空间直线一般方程111122220(3)0A xB yC zDA xB yC zD称（称（3）式为空间）式为空间直线直线L的一般方程的一般方程 当把直线看作两个相交平面

4、的交线时，直线当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L L的的就可以写成联立方程组的形式：就可以写成联立方程组的形式：点点P0 0(x0 0,y0 0,z0 0)在在L L上的上的充要条件充要条件是：是：x0 0,y0 0,z0 0同时满足（同时满足（3 3）式的两个平面方程）式的两个平面方程.化一般方程为点向式方程或参数方程。化一般方程为点向式方程或参数方程。E-mail:例例2 用对称方程及参数方程表示直线用对称方程及参数方程表示直线0,1zyxl：0.432zyx解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方

5、向即可.21nns)3 ,1 ,2()1 ,1 ,1(312111kjikji121132113111).3 ,1 ,4(E-mail:现求一定点现求一定点.将联立方程组将联立方程组0,1zyx0432zyx相加相加:0.543 zx令令z=1得得 x=3,y=1,得一定点得一定点(3,1,1).故得对称式故得对称式 311.413xyzE-mail:即而得参数方程：即而得参数方程：x=3+4t,y=1 t,z=1 3t.t 为参数为参数.E-mail:练习练习 用对称方程表示直线用对称方程表示直线237xyzl：321xyz 解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达

6、式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方向即可.21nns(2,3,1)(3,2,1)231321ijk(1,5,13).E-mail:现求一定点现求一定点.将联立方程组将联立方程组237xyz321xyz 令令x=1得得 y=1,z=2,得一定点得一定点(1,1,2).故得对称式故得对称式 1121513xyzE-mail:12,ll已知两直线 和定理定理12vv当 和 共线时，12121llPPv（2）和 重合当且仅当与 共线；11122212111222,xxyyzzxxyyzzllXYZXYZ：1111222212(,)(,)P x y zP xyzll和分别为 和

7、 上的点，1111222212(,)(,).v X Y ZvXY Zll和表示 和 的方向向量12112llPPv（1）和 平行当且仅当与 不共线；二二 两直线的位置关系两直线的位置关系12vv当 和 不共线时，121122(,)0llPP v v（3）和 交于一点当且仅当121122(,)0llPP v v（4）和 异面当且仅当E-mail:0(0,0,2):32130Pxyz 求过点与平面例平(,),lvX Y Z解 设直线 的方向向量为因为直线113:.421xyzl行,且与直线相交的直线方程1111(4,2,1),(1,3,0).lvlP的方向向量为且 过点1011llP P v v

8、由于直线 与 相交，因此(,)=0,即1324210,XYZ20.XYZ展开得，E-mail:320.lXYZ又因为 与 平行，则0,2,XYZ由以上两个方程我们可以解得，2.021XYZ 故直线的方程为：E-mail:0P1Pvld0,lPv设直线 过点方向向量为 由下图可以看出，101PldP Pvv 点 与直线 的距离 是以和 为邻边的平行四边形底边 上的高，01.P Pvdv 故三三 点到直线的距离点到直线的距离E-mail:四、两直线的夹角、直线与平面的夹角四、两直线的夹角、直线与平面的夹角1212|cos|s sss .|cos222222212121212121pnmpnmppn

9、nmm两直线两直线l1,l2的方向的方向s1,s2之间夹角称为该两之间夹角称为该两直线的夹角直线的夹角(通常指锐角通常指锐角).易知易知令令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).1、两直线的夹角、两直线的夹角E-mail:l1/l2.212121ppnnmm l1 l2.0212121ppnnmm s1 s2=0 s1,s2线性相关线性相关.s1 s2=0E-mail:例例4 求直线求直线l1：158121xyz 直线直线l2：623xyyz 的夹角。的夹角。解：解：两直线的方向向量分别为：两直线的方向向量分别为：11,2,1s 212 1,1,2snn 122nnl其中，为

10、 所对应的平面的方向量12121cos21arccos23s sss 所以两直线的夹角为：E-mail:我们称直线我们称直线 l 与它所在平面与它所在平面 上的投影直线上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求通常要求 ).20lnE-mail:设直线设直线 l：000,xxyyzzmnp),(pnms 平面平面 ：,0DCzByAx).,(CBAn.2 2或).2cos(),cos(sn.|sin222222pnmCBACpBnAmln则则 n 与与 s 的夹角为的夹角为 E-mail:【注】【注】2（2）一般情形平面）一般情形平面 的法向量的法向量n,l的方

11、向向量的方向向量v，则有：则有：/0LAmBnCpABCLmnp.|sin222222pnmCBACpBnAm（1）当直线）当直线 l 垂直与垂直与平面平面 时，其夹角为时，其夹角为由此可知：由此可知：（I）（II）E-mail:例例5 求直线求直线l：321021030 xyzxyz 且有平面且有平面：420 xyz则直线则直线l（）解：解：直线直线l的方向向量的方向向量s为：13228147 28,14,721104-21ijksijks ,4-21又因为平面 的法向量为,Bl所以直线 与平面 垂直，故选择（）（A）平行平面）平行平面 （C）在平面在平面上上（B）垂直平面）垂直平面 （D）

12、与平面与平面斜交斜交E-mail:定义定义.ll空间中过同一直线 的平面的集合称为有轴平面束，称为该平面束的轴定理定理12l 设直线 是平面和的交线，空间中平行与同一平面的所有平面的集合称为平行平面束.1111122222:0,:0.AxB yC zDA xB yC zD五五 平面束平面束l则以 为轴的所有轴平面束的方程为：111112222212()()0,(4)AxB yC zDA xB yC zD其中 和不全为零.E-mail:,x y z 12由于相交，则上式的系数不全为零，l12首先证明对于任意一组不全为零的数 和,(4)表示一个过证明的一个平面，将(4)改写为12212212212

13、2()AAxBByCCzDD1111()()+()=0.ll即(4)可表示一平面方程.显然直线 的点均满足(4)，因而(4)表示过直线 的平面E-mail:12,因而有一组不全为零的数使得这样，方程l下证过直线的平面 均可写成(4)的形式.0000(,),lP xyz取平面 上不在 的一点显然10101012020202AxB xC xDA xB xC xD和不全为零.110101 0122020202()()0,A xB yC zDA xB yC zD1111122222()()0.A xB yC zDA xB yC zD即为 的方程E-mail:定理定理 0AxByCzD平行与平面：的平行

14、平面束方程为0AxByCz其中 为任意实数.E-mail:0(1,0,26),P 求经过点并例经过平面31(25)0.xyzxyz12设所求平面的(解方程为)+00,0PP12因为所以将 的坐标代入以上方程得2+5，12310250 xyzxyz：与：的交线的平面 的方程.5,2177150.xyz 12令得，因而所求的平面方程为：E-mail:10,:010,7xyzlxyzxyz 求直线在平面上投例影直线的方程.11lxyzxyz112设过 垂直与 的平面方程为()+解()=0,1121212()1()1()10 由于 与相垂直得到()()()()0 xyz 12121212即121110

15、yz 1取，故平面的方程为，10.0.yzxyz 故所求的直线方程为E-mail:定义定义1212,(,).l ld l l两两条直线之间的最短距离称为,记为直线间的距离六六 两直线之间的距离两直线之间的距离 若两直线相交则距离为若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.E-mail:定理定理121212,l lP Pvv设异面，分别过点方向向量分别为和1212121212(,)(,).llPP v vd l lvv 则 和 间距离为1P2P1l2l2P1P证明由上图的几何意义容易得到证明由上

16、图的几何意义容易得到E-mail:128ll已知直线 和例的方程为12ll直线 和 的解方程可化为121,1,:0,0,yzxzllbcacxy：12120.(,)abclld l l其中试验证 和 为异面直线,并求12:,:,00 xyzcxyzcllbcac1212,(0,0,)(0,0,),l lPcPc直线分别过定点和12(0,)(,0,).vbcvac它们的方向向量分别为和E-mail:1212,0200ccPP v vbcabcac 0-00-0-(-)因为(,)=12ll所以 和 异面.12121212,(,)PP v vd l lvv(,)2(,)abcbcacab222222

17、2 abcb ca ca bE-mail:【1】求过点M0(3,3,0)且与直线 l1:211zyx垂直相交的直线 l 的方程.解解：M0M1 l1 设所求直线 l 与 l2 与交点为M1(x1,y1,z1).则 ,0)0(2)3(1)3(1111zyx.062111zyxM0M1 s1=(1,1,2).本节综合习题本节综合习题E-mail:令令，则tx11.2 ,111tztytx t+t+2 2t 6=0.t=1,得得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为故直线方程为.22323zyx直线方向直线方向 s=M0M1=(1 3,1 3,2 0)=(2,2,2).E-mail:【2

18、】设平面设平面过过直线直线 l1:且平行于直线且平行于直线l2：解解：两直线的方向向量分别为：两直线的方向向量分别为121,0,12,1,1ss，121,3,1nss123101xyz21211xyz求平面求平面的方程。的方程。则平面则平面的的法向量法向量故可假设平面的方程为：故可假设平面的方程为：30 xyzD代入代入(1,2,3)，得得D=2所以平面所以平面的方程为：的方程为：320 xyzE-mail:【3】过点过点P0(1,2,1)和直线和直线 l1:的平面方程。的平面方程。解解：由于：由于P0不在平面不在平面6xz23(6)0 xyzt xz6230 xzxyz上，故平面上，故平面不

19、为所求平面；不为所求平面；通过直线通过直线l的全体平面可表示为：的全体平面可表示为：由于点在所求平面上，故代入上式可得由于点在所求平面上，故代入上式可得从而所求平面的方程为：从而所求平面的方程为：1t 6xz3yzE-mail:【练习】【练习】求直线求直线 l1:x+y 1=0,y+z+1=0,在平面在平面 :2x+y+2z=0 上的投影直线的方程上的投影直线的方程.解：直线l1的方向1100111kjis kji=(1,1,1).E-mail:再求再求 l1 与与 的交点的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解即联立求解 x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.消元消元 x+y

20、 1=0,y+z+1=0,y+2z+2=0.x+y 1=0,y+z+1=0,3z+3=0.M0l1nM1得得(x0,y0,z0)=(1,0,1).E-mail:任取任取 l1上上(不在不在 上上)一点一点M1(x,y,z)=(0,1,2).作过作过 M1且垂直于且垂直于 的直线的直线l2:.221120tzyxM0l1nM1E-mail:设设 l2 与与 交点为交点为M2(x2,y2,z2)，则相应参数，则相应参数 t 满足满足2 2t+1+t+2(2+2t)=0).34 ,34 ,32(得交点得交点 M2(x2,y2,z2)31t所求直线方程为所求直线方程为,134103401321zyx即

21、即.11411zyxE-mail:思想：思想：求直线与求直线与 交点交点M0；求直线上平面求直线上平面 外一点外一点M1；求过求过 M1 垂直于垂直于 的直线的直线 l2;求求 l2 与与 的交点的交点M2；求过求过M0，M2 的投影直线方程的投影直线方程.M0l1nM1E-mail:解解：由题意，只需求过：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直的平面束中的一个垂直于于 的平面的平面 1，即由直线的一般形式，即由直线的一般形式(也称交也称交面式面式)求得投影直线求得投影直线.过过 l 的平面束为的平面束为，0)1()1(21zyyx,0)(122211zyx.02)(2 2211.1:21

22、 l下面我们用平面束来解题下面我们用平面束来解题E-mail:得得 1：,0)1(1zyyx.02 zx 投影直线为投影直线为 x z 2=0,过过 1,2x+y+2z=0,过过.令令 1=1,即即小结小结空间平面空间平面空间直线空间直线一般形式一般形式法点式法点式截距式截距式(三元一次方程三元一次方程)Ax+By+Cz+D=0.1rzqypx00MMn交面式交面式对称式对称式:参数形式参数形式:两点式两点式:(一般形式一般形式)：三元一次方程组三元一次方程组.,00MMspzznyymxx000即 x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt;即 ,0010MMMM.010010010zz

23、zzyyyyxxxx空间的直线方程关系关系直线间夹角：直线间夹角：平面间夹角：平面间夹角：直线与平面间夹角：直线与平面间夹角：直线在平面上的投影：直线在平面上的投影：过直线的平面束中的过直线的平面束中的一条垂直于已知平面的平面一条垂直于已知平面的平面与已知平面的交线与已知平面的交线(交面式交面式)点到直线的距离点到直线的距离点到平面的距离点到平面的距离|0ssMMdAx+By+Cz+D=0cos|10MMd 222000|CBADCzByAx s1,s2间夹角间夹角 n,n 间夹角间夹角与与 s1,n 间夹角互余间夹角互余dMlsM0M0M1nn=(A,B,C)数量积数量积 向量积向量积平行平行相交相交垂直垂直空间的直线方程