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1、数量关系数量关系 第八章第一部分第一部分 矢量代数矢量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;矢量法矢量法坐标坐标,方程组）方程组）矢量代数与空间解析几何四、利用坐标作矢量的线性运算四、利用坐标作矢量的线性运算 第一、二节一、矢量的概念一、矢量的概念二、矢量的线性运算二、矢量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、矢量的模、方向角、投影五、矢量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 矢量及空间直角坐标系 第八章.a或表示法:一、矢量的概念一、矢量的概念矢量:(又称向量).1M2M
2、既有大小,又有方向的量称为矢量有向线段 M1 M2,或 a,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若矢量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;规定:零矢量与任何矢量平行;若矢量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;记作与 a 的模相同,但方向相反的矢量称为 a 的负矢量,记作a;矢量的模:矢量的大小,21MM记作,a或.a或.a或表示法:矢量的模:矢量的大小,21MM记作一、矢量的概念一、矢量的概念旧版）旧版）矢量:(又称向量).1M2M既有大小,又有方向的量称为矢量自由矢量:与起点无关的矢量.单位矢量:模为 1 的矢量,.a或记作 a零矢量:
3、模为 0 的矢量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若矢量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;二、矢量的线性运算二、矢量的线性运算1.矢量的加法矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 bbaaba ba 2.矢量的减法矢量的减法ab)(ab有时特别当,ab aa)(aaabababa0三角不等式babababa二、矢量的线性运算旧版）二、矢量的线性运算旧版）1.矢量的加法矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个矢量相加.机动 目录
4、上页 下页 返回 完毕 bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 s3a4a5a2a1a54321aaaaasaa3.矢量与数的乘法矢量与数的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;aa 与 a 的乘积是一个新矢量,记作，反向与aa总之:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1.设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21
5、abMD定理定理1.设 a 为非零矢量,那么(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.那么,0故.即abab设 abba取正号,反向时取负号,a,b 同向时那么 b 与 a 同向,设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 完毕“”依定义显然成立。,0a若a则有单位向量.1aa向量的单位化：向量的单位化：xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面面1.空间直角坐标系的基本概
6、念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0);rr机动 目录 上页 下页 返回 完毕 M向径(矢径):起点为原点的矢量.),(zyx坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo2.矢量的坐标表示矢量的坐标表示在空间直角坐标系
7、下,设点 M,),(zyxM那么沿三个坐标轴方向的分矢量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为矢量 r 的坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意矢量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 完毕,ixOA,jyOBkzOC简记为四、利用坐标作矢量的线性运算四、利用坐标作矢量的线性运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行矢量对应坐标成比例:，为实数
8、机动 目录 上页 下页 返回 完毕)(kajaiabazyx)(kbjbibzyxibaxx)(jbayy)(.)(kbazz已知两点,),(111zyxA),(222zyxB机动 目录 上页 下页 返回 完毕 的AB坐标表达为：BAOB),(222zyxOA),(111zyxABOBOA),(121212zzyyxx以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？作出A,B两点对应的矢径，那么xoyz例例2.一向量的终点在点B(2,-1,7)，,712），（则zyxAB解解:设A(x,y,z),它的矢量坐标表达为求起点坐标。,42 x,41y;77 z).0,
9、3,2(的坐标A,），（744 例例3.已知两点已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设设 M 的坐标的坐标为为,),(zyx如下图ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数,1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM)(OMOBOMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明:由由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式
10、:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 五、矢量的模、方向角、方向余弦五、矢量的模、方向角、方向余弦 1.矢量的模与两点间的距离公式矢量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4.求证以求证以)3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47(2)
11、31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5.在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M考虑考虑:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.机动 目录 上页 下页 返回 完毕
12、提示提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.已知两点已知两点)5,0,4(A和,)3,1,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零矢量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为矢量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义矢量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,rr称为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为
13、其方向余弦.记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7.已知两点已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算矢量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例8.设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解:知知角依
14、次为,43求点 A 的坐标.,43那么222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 完毕 参考题参考题解解:因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131.设设,853kjim,742kjin求矢量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分矢量.13xa在 y 轴上的分矢量为jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2.设求以矢量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 完毕 mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim
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