空间向量的应用

《空间向量的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量的应用（24页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1.知识再现用空间向量处理立体几何的问题2.用向量处理角的问题3.用向量处理距离问题4.用向量处理平行问题5.用向量处理垂直问题6.高考题回顾7.方法小结212121(,)ABxx yy zz 1.知识再现zxyoA(x,y,z)（1）空间直角坐标系a123a ai a j a k若123(,)aa a a则(,)OAx y z 111222(,),(,).A x y z B x y z设212121(,)A B x x y y z z ijkzxyojkia2.向量的直角坐标运算1231231122331122331231 1223 31122331 1223 3(,),(,)(,)(,)(

2、,)()|,0aa a abb b babab ab ababab ab abaaaaRa baba ba ba bab ab abababa ba b设3.夹角和距离公式OjikXYZAB123123223123123123123223222212121:(,),(,),|,|,cos,|:(,);(,):|()()()aa a a b b b baa aaaabb bb b ba bababA x y z Bx y zABxxyyzz 设则设则4.平面的法向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量.aaaaa一、用

3、向量处理角的问题BAOBAODPXYZ,2,4),(3,0,)(,2,4).(3,0,)9,4029,8.PzOPZOPOPZZBBAOBPOBOPAOB 解:建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系,3由 题 意 B(3,0,0),D(设23则 BD2BDBD平 面3为与 底 面所 成 的 角,POB=arctan8,PBBDA B0例1:(2002上海高考题)如图在直三棱柱ABO-ABO中,OO=4,OA=4,OB=3,AOB=90是侧棱上的一点,为中点,若OPBD,求OP与底面AOB所成角的大小.1100111112:(2 0 0 2,6 0,9 0,2,3.;(2)O A BO

4、A BO B B OO A BO O BA O BO BO OO AOA BOA BA O111例年 上 海 春 季 高 考 题)如 图:三 棱 柱-平 面平 面且求:(1)二 面 角的 大 小异 面 直 线与所 成 角 的 大 小.1AAB1B1O111:(1),(0,0,0),(0,1,3),(3,0,0)(3,1 3),(0,2,0),(3,1,3),(3,2,0)OOA OBx yOAOBzOOAABAOAB 解以为原点,分别以所在的直线为轴,过点且与平面垂直的直线为 轴,建立空间直角坐标系.如图所示.则11221212212121(0,0,1).(,).0,0.3230:,3,2,1

5、32012(2,3,1).co s,4|22,O ZA O BnO A BnxyznA OnA Bxyzyxzxynnnnnnnn 显 然为 平 面的 法 向 量 取设 平 面的 法 向 量 为则即令2122arcco s.arcco s.44nOA BO 故 二 面 角的 大 小 为XYZO1AAB1B1OOXYZ11111111111(2),(3,1,3),(3,1,3)17|1arccos.7AB AOABOA OA OOAB OACOSAB OAAB AO 设异面直线与所成的角为则与所成的角为返回二、用向量处理距离问题3:(1991)4,2,ABCDE FADABG CABCDG CB

6、EFG例年 全 国 高 考 理 科 试 题 如 图 已 知是 边 长 为 的 正 方 形,分 别 是的 中 点,垂 直 于所 在 的 平 面,且求 点到 平 面的 距 离.ABCDEFGXYZ02000:,(0,2,0),(0,4,0),(4,4,0),(4,0,0),(4,2,0),(2,4,0).(4,2,2),(2,4,2)(,),:|100CD CB CGXYZGBADEFGEGFEFGnx y znnGEnGF 解 以的方向为轴轴轴的正方向建立空间坐标系,则设平面的法向量为则有22200111111120(0)1103 111111(1,1,3),2(0,4,1)(0,8,2)111

7、12|(1,1,3)(0,8,2)|11.1111211.11xxyzxyzyzxyzznGBdnGBBEFG 取又即点 到平面的距离为:,|AOOeAdAO e 评注 若平面 的斜线交 于点是单位法向量,则 到平面 的距离为11111114,3,2,A B C DA B C DA BA DA AMND CB BM NA B例 4:在 长 方 体中,为的 中 点,求 异 面 直 线与的 距 离.XYZABCD1A1B1D1CMN1111(3,2,1)(0,4,2).,0320(,),420044610,2,(,1,2).|333(3,MNMNABMN ABn MNxyznx y zyzn AB

8、yzxnnMA 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,4,1),设公垂线的方向向量为则有令则又112,2)43|(3,2,2)(,1,2)|6 613|.61|616 61:.61nMA nnMNAB 在的射影的长度为:d=|即异面直线与的距离为:,;(3)bbbA BABAB 评注 用向量法求异面直线a与b之间距离的一般过程是:(1)作直线a与b的方向向量a与求a与 的法向量n,这是异面直线a与b公垂线的方向向量;(2)在直线a各取一点作向量求向量在n的射影d,此即异面直线a与b的之间的距离.返回三、用向量处理平行问题例5:如图已知四边形ABCD、ABEF为两个正方形,M

9、N分别在其对角线BF上,且FM=AN.求证：MN|平面EBCADCBEFNM:,.()()(BEAB FMAN FB ACFB ANACMNMF FA ANBF EBACBE BA AB ADEBBE ADEBBE BC 证明 在正方形ABCD与ABEF中,存在实数 使FM)(1).BEBEBCMN BEBCM 、共面平面EBC,MN|平面EBC评注：向量p p与两个不共线的向量a a、b b共面的充要条件是存在实数对x,y使p p=xa a+yb b.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。11111111111111:,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0

10、,0,1)(1,0,1),(1,0,1)|.|.|.|D ADCD Dx y zABCDDBCDBCDBDCB DBCB DBD 111111证明 如图分别以、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则则AA即直线AC，则A平面同理右证：A平面平面A11.CB D平面XYZ1A1B1CABCD1D评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。11|B DC B D11111例 6.在 正 方 形 ABCD-A B C D 中,求 证:平 面 A平

11、 面返回四.用向量处理垂直问题:,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例7 在正方体中.E,F分别是的中点.求证：平面FEXYZ,DADCDDxyzA 证 明:如 图 取分 别 为轴,轴,轴建 立 空 间 直 角 坐 标 系,设 正 方 体 的 棱 长 为 2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)(1,1,2)(2,2,0)0(1,1,2)(0,2,1)0,.AFD BD EAF D BAF D EAF D BAF D ED B D E D AFBD E 又平 面评注：本题若用一般法评注：

12、本题若用一般法证明，容易证证明，容易证AFAF垂直垂直于于BDBD，而证，而证AFAF垂直于垂直于DEDE，或证，或证AFAF垂直于垂直于EFEF则较难，用建立空间坐则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化标系的方法能使问题化难为易。难为易。ABC1A1B1CFED111111111118:2,2,;(2),ABCABCABCACBBDACEBCBEDCAAFCFB DFAFFAACB FD例如图直三棱柱中,底面是以为直角的等腰直角三角形,为的中点为的中点.（1）求直线与所成的角在线段上是否存在点使若存在,求出的长,若不存在,请说明理由;(3)若 为的中点 求 到面距离.XYZ1:(1),BB

13、A BC BBxyz 解以为原点分别为 轴轴轴,建立空间直角坐标系,1112,22(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1)222(2,0,2),(0,2,2),(,2)22222(0,1),(,2)22212302,1035230arccos.10ACABBCBBCEACDBED CC O SBE D CBED C 与所 成 的 角 为ABC1A1B1CFED1121(2),|,(2,0,),(2,2,),(2,0,2)02200,C FB D FAFzFzC FzB FzC FB Fzz 假 设 存 在 使面令由方 程 无 实 根不 存 在.1111122(3).,(2,0

14、,1),(2,2,1),(,0)22220(,),2220:(,2),1,(1,1,2)3 1032|,5.102FFCFB DnB DxyB FDnx y znB FxznxxxxndCFCOSn CFCB FD 为中点设面的法向量为则:则令则到面32.2的距离为XYZ返回ABCA1B1C1DEGXYZ五.高考题回顾11121(),2,(2,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,0,2)2211(,1),(,).(,)33333322(0,2,1).0331.B GB GB EA B DA B GA BA B DC AaAaBaDAaaaaaE a aGG EB DaG EB Da

15、aB A 解:连 结则是在 平 面的射 影 即是与 平 面所 成 的角.建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系,设则1111241(2,2,2),(,)33373|7arccos.3B GB AB GC O SA B GB AB GA BA B D与 平 面所 成 的 角 是111011111.(2003),90,2,.();()ABCA B CACBAAD ECCA BEABDABDGA BABDAAED1年全国高考题 如图在直三棱柱底面是等腰直角三角形侧棱分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心求与平面所成角的大小(结果用反三角函数表示)求点到平面的距离.ABCA1B1C1DEG11111

16、()(2,0,0),1(2,0,2),(1,1,1),(0,0,1)0,0.,.,AAEDAE EDAA EDEDAAEEDAEDAEDAAEAEDAAE AEAAEDKAE 由()有又平面又平面平面平面又面面点 在平面的谢影在上.11111,(,2)20,2 0,.32 242 6(,).|.3 3332 6:.3AKAEAKAA AKAK AEAKAKAAED 设则由即到 平 面的 距 离 为XYZKABCDM1A1B1CXYZ:(),C解如图以 为原点建立空间直角坐标系.1111112 1 1,0,0),(2,1,0),(0,1,1),(,),2 2 222 1 1(,1,0),(,),

17、(2,1,1)22 2 211(0,),0,0.22,.,.BBADMCDABDMCD ABCD DMCDABCDDMAB DMBDMCDBDM (2则为平面内的两条相交直线平面01111111112.(2004,90,1,2,1,.();().ABCA B CACBACCBAAAA B BDB CMCDBDMB BDCBD年高考题)如图 直三棱柱中侧棱侧面的两条对角线交点为的中点为求证平面求面与面所成二面角的大小ABCDM1A1B1C11111113 2 1 1(),(,).44 42 1 123 1(,),(,)2 2 244 40,.,3cos.3|cBDGBGGBDBGBD BGBDB

18、GCDBDCD BGCD BGCDBGarc 设的中点为,连结则又与的夹角 等于所求二面角的平面角.所求二面角的大小等于-3os.3GXYZ五、方法小结如图，已知点如图，已知点P P（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0）,A A（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1），平面），平面 一个法向量一个法向量。n cosAPnAPn AP,n，其中，其中，,APcosAPnn 的的距距离离。到到平平面面就就是是点点绝绝对对值值的的 PcosAPPA n1.求点到平面的距离求两异面直线的求两异面直线的距离距离，先公共法向量，再求两异面，先公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量

19、上的射影长。直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。2.求异面直线的距离、夹角求异面直线的距离、夹角nnEFd nabEF求两异面直线的求两异面直线的夹角，夹角，用公式：用公式：cos,|a ba bab 1n2nl l 1n2nl l22:,.lnnnnl 11如 图 二 面 角平 面的 法 向 量 为平 面的 法 向 量 为若则二 面 角为或3.求二面角求二面角4.用空间向量证明用空间向量证明“平行平行”，包括线面包括线面平行平行和面面平行。和面面平行。nmnm0mnnm向量的坐标及运算为解决线段长度及两线段垂直方面的问题提供了有力和方便的工具，对于几何体中有关夹角、距离、垂直、平行的问题，可将其转化为向量间的夹角、模、垂直、平行的问题，利用向量的方法解决。这些问题的解决关键是建立适当的坐标系，使复杂的逻辑推理证明变成简单的程序化算法，使问题简单化。但须注意建立空间坐标系的条件。结束