第二章n维向量ppt课件

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1、第二章第二章 n 维向量维向量n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、一、n 维向量的概念维向量的概念1.定义定义1:维向量，简称为向量。组成的有序数组，称为由数naaan,2,1等表示。母向量通常用斜体希腊字,),(21naaa行向量行向量Tnnaaaaaa),(2121列向量列向量ia第第i个分量个分量mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,2,1),(21miaaainiiTmjjjmjjjaaaaaa),(2121nj,2,1矩阵矩阵 A的行向量的行向量矩阵矩阵 A的列向量的列向量0=(0,0,0),(21naaa.,2,1,nibaii维数相同，即同型。零向量

2、零向量负向量负向量2.定义定义2:。记为的长度或范数或模称为向量数值,),(2222121nnaaaaaa0000为单位向量。称1)21,21(),31,31,31().1,0,0(,),0,1,0(),0,0,1(21neee二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算),(2211nnbababa1.加法加法:),(2211nnbababa),(21naaa),(21nbbb2.减法减法:设向量设向量3.数乘数乘:),(21nkakakak线性运算满足线性运算满足8条运算规律条运算规律,见教材见教材.向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关性一、线性相关性1.定义定义1:使，若存在

3、一组数设向量mmkkk,2121mmkkk2211线性表示，可由向量则称向量m,21的线性组合。是向量或称向量m,21nnneaeaeaaaa221121),(2.定义定义2:使，零的数，若存在一组不全为设向量组mmkkk,2121mmkkk22110线性相关。则称向量组m,21线性无关。称向量组m,21否则(1)当向量组只含一个向量时当向量组只含一个向量时,假设该向量是零向量假设该向量是零向量,那么它线那么它线 性相关性相关;假设该向量是非零向量假设该向量是非零向量,那么它线性无关那么它线性无关.(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.

4、(3)任一含有零向量的向量组线性相关任一含有零向量的向量组线性相关.3.讨论向量组的相关性：讨论向量组的相关性：的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1321解：332211kkkO O设042321kkk032321kkk0321kkk系数行列式为11113242114128230方程组有非零解，即有非零的数使321,kkk332211kkkO O线性相关。321,故的相关性。，讨论向量组线性无关，：设向量组例321133322211321,2解：即332211kkk设O O332221131)()()(kkkkkkO O线性无关，321,031 kk021 kk0

5、32 kk0321kkk.,321线性无关).1(,3212121mmmm线性无关，证明向量组线性无关，且：设向量组例)()()(:2211mmkkk设证O Om21由)()()(1131221mmmmkkk=Ommmmkkkkkkk)()()(1123112=O即：00011312mmmkkkkkkk系数行列式为011101110)1(0)1)(1(1mmm线性无关。，向量组m,21向量组的等价向量组的等价1.定义定义1:设有两个设有两个 n 维向量组维向量组s21r21,:)(,:)(III 假设向量组I 中每个向量都可由向量组II线性表示，那么称向量组I 可由向量组II线性表示；假设向量

6、组I 与向量组II可以相互线性表示，那么称向量组I 与向量组II等价。向量组的等价关系具有自反性、对称性、传送性。例1：设 n 维向量组,n21可由它n21,eee们线性表示，证明与n21,等价。n21,eee证：线性表示，显然可由n21n21,eee又由题设可由n21,eee线性表示，n21,等价。与n21n21,eee相关性的断定及有关重要结论相关性的断定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理线性相关与线性组合的关系定理各向量线性表示。余至少有一个向量可由其其中线性相关的充要条件是，：向量组定理1)2(121mmm证：使，在一组不全为零的数线性相关，则一定存，若向量组,)2(212

7、1mmkkkmmmkkk22110，于是有：不妨设01kmmkkkk12121不妨设mmkk221mmkk221O O线性相关。，即向量组)2(21mm。线性表示且表示式惟一，可由线性相关，则，线性无关，而向量组，：设向量组定理mmm2121212证：使，全为零的数一组不线性相关，则一定存在，向量组,2121mmkkkkmmkkkk22110，否则，有这里必有0kmmkkk22110线性无关知：，由向量组m21021mkkk线性表示。，可由故m21mmkkk2211设mmlll2211mmmlklklk)()()(222111O O线性无关知：，由向量组m21.,2,1,milkii所以表示式

8、独一。2.相关性的断定定理相关性的断定定理定理定理3：在一个向量组中，假设有一个部分向量组线性相关，：在一个向量组中，假设有一个部分向量组线性相关，那么整个向量组也必定线性相关。那么整个向量组也必定线性相关。推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。线性无关。.)(),2,1(),2,1(),(42122221112112121mAraaaaaaaaaAmimiaaanmmnmmnnmiiniii的秩构成的矩阵相关的充要条件是由线性维向量个：定理的相关性。：讨论例)1,1,4(),1,3,2(),1,2,1(1321解：11

9、4132121321A37037012100037012132)(Ar线性相关。321,）线性相关？，（），（），（），（为何值时，向量组：例113152232323122111124321解：11315223232312211114321A20220100101011021111A2022010010101102111140000001001011021111,43)(4Ar时，线性相关。4321,证明定理证明定理4.:,21线性相关mmmm向量线性表示为个可由其余妨设知，必有某个向量（不由定理1)11111mmkk写成分量方式为jmmjjmjakakaka,112211对A作初等变换mnm

10、mnmmmnmmaaaaaaaaaA21,12,11,11121111000,12,11,111211nmmmnaaaaaamAr)(:,0,)(rmrAr不妨设0rDrA阶子式的最左上角的且思索A的r+1阶子式jrrrrjrrrrjrraaaaaaaaaD,1,11,1,1,111110)(1rDrAr按最后一列展开，有：将jD0,12211rjrjrjjjDaAaAaAanj,2,1按向量方式写，上式为：rrjDAAA122110,0rD,121线性相关r线性相关。从而m,21推论推论1：当：当mn时，时，m个个n维向量线性相关。维向量线性相关。推论推论2：恣意：恣意 m 个个 n 维向量

11、线性无关的充要条件是由它们维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵构成的矩阵A=的秩的秩r(A)=m。nmA推论推论3：恣意：恣意 n 个个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们维向量线性无关的充要条件是由它们 构构 成的方阵成的方阵 A的行列式不等于零。或的行列式不等于零。或r(A)=n.推论推论4：恣意：恣意 n 个个 n 维向量线性相关的充要条件是由它维向量线性相关的充要条件是由它们们 构构 成的方阵成的方阵 A的行列式等于零。或的行列式等于零。或r(A)s,那么向量组线性相关。r,21线推论推论2：恣意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。：恣意两个线性无关的等价向量组所含向

12、量的个数相等。定理定理2：一个向量组的恣意两个极大无关组所含向量的个数相：一个向量组的恣意两个极大无关组所含向量的个数相 等。等。向量组的秩向量组的秩m,21定义：向量组定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记为).,(21mr注：注：1线性无关的向量组的秩=向量的个数。2向量组线性无关秩=向量个数。可由若m,21线性表示，则s,21),(21mr),(21sr定理定理3：推论：等价的向量组有一样的秩。推论：等价的向量组有一样的秩。必需留意：有一样秩的两个向量组不一定等价。必需留意：有一样秩的两个向量组不一定等价。=n例1：设向量组nneee,2121可由向量组线性表示,).

13、,(21nr求例2：设有两个n维向量组与s,21,21s假设s21sssssssaaaaaaaaa21212222111211ssssssaaaaaaaaaK212222111211线性无关。，则若证明ssKr,)(:21与s,21等价。s,21他能举一个反例吗？线性无关且s,21向量组的秩的求法向量组的秩的求法定理定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。推论：矩阵的行秩与列秩相等。推论：矩阵的行秩与列秩相等。这实践上给出了一个求向量组秩的方法：

14、先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。例1：求向量组的秩。)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(4321解：022114703213042114321A401021302130421140102130213042112130213040104211000010100401042113)(),(4321Arr),(4321A014242712203113014220011013301301422013300110130140001000011013010000100001101301极大无关组的求法极大无关组的求法列摆行变换法。列

15、摆行变换法。例2：求向量组的秩及极大无关组。)0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(4321),(4321A01424271220311301422001101330130112rr4220133001101301400010000110130100001000011013013)(),(4321Arr是一个极大无关组。421,记录法与逐个调查法就不引见了。列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只需在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。如上例，也是一个极大无关组。431,）线性相关？并，（），（），（），（为何值时，向量组：例11315

16、2232323122111134321求秩及一个极大无关组。,43)(4Ar时，线性相关。4321,是一个极大无关组。321,)0,1,1(),0,1,1(),0,0,1(321011011001321A01201100113rr010011001232rr是一个极大无关组。32,矛盾矛盾反例：反例：但，行摆行变换不行！但，行摆行变换不行！我们曾经看到：用矩阵可以处理向量组的问题，实践上，用向量组也可以处理矩阵的问题。一个最典型的例子是：)(),(min)(BrArBArnssm这是一个非常这是一个非常重要的关于秩重要的关于秩的不等式！的不等式！设有n两个维向量组与s,21,21s假设s21sssssssaaaaaaaaa21212222111211ssssssaaaaaaaaaK212222111211sKrs)(,21线性无关则这又是一个非常有用的公式这又是一个非常有用的公式。详见参考书第3739页。的列向量组线性无关。BEBAnnmmn线性无关且s,21