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1、一类有大于1基本单位的实三次域姚钟磊，李江华（蚌埠一中 蚌埠 233000）摘要：设,是仅有一实根的方程。由其唯一实根所形成的三次域是，是三次域的代数整数环，对于满足某条件的，可以证明是的唯一基本单位。关键词：三次域 基本单位 中图分类号：O156.2 文献标识码 A一、 引言狄利克雷单位定理从理论上说明了基本单位是存在的，但是对于一般的三次域求其基本单位是相当困难的，E.Artin在1959年给出了一个例子3,设是方程的实根，判别式D=-4027，则三次域只有唯一大于1的基本单位。此后，A.Frohlich和M.J.Taylor在1990年给出了更一般的结果4：命题1 设整数且无平方因子，是
2、方程的唯一实根，则是实三次域大于1唯一的基本单位。E.Artin在1960年提出了一个问题3,对于三次方程，是正整数，且方程仅有一个实根，记为。三次域的基本单位是什么？K.S.Williams1对此也进行了研究并给出了一个结果：命题2 设，判别式，则：在中不可约，；设是满足,的最大正整数,作者简介：姚钟磊（1983-）, 男，安徽蚌埠人，安徽大学2006级硕士研究生，研究方向：代数数论。Email：zlyaolive实数满足，如果，则 是基本单位。我们可以对其推广，将条件和适当改造，可取和获得更一般的结果。为了方便，不妨设是整系数多项式。满足某条件使仅有一实根，且是三次域的基本单位。定理 设，
3、则：1) 在中不可约，2) 设是满足,的最大正整数,实数满足，如果，则是基本单位。引理1 若，则。证明：因为 = ， 所以 1，得证。引理2 设是有两个复同态映射的实三次域，是的基本单位，如果33，则：。证明：设是的共轭元，且是正实数，因为是单位，所以，即，所以，。又，所以，即，。这样我们就有，所以，=。因为K是三次域，所以，。因此，。这样，所以，即又，由引理1，。这样，。如果，则3。所以，和1矛盾。因此0，所以，这样就有，。二、 定理证明1) 由，我们有，即不是的根，所以在中不可约。又，所以只有唯一实根，设为，其它两复根为，又，有：；。因为，而,所以，即，。所以，即。由，所以，即。又所以。2
4、) 因为，所以。这样是单位。设是的基本单位，所以有。又且，所以。由判别式的理论5知：，其中是数域次数，是数域的复共轭映射的个数, 判别式。由6, 得即，所以。由条件得：。这样，又是正整数，所以 。又由引理得：；而 ，所以 ，即 。由于只有唯一大于1的实根，且由条件，又，由介值定理，所以 ，所以 即, 是唯一基本单位。例 方程 其中，且满足，通过计算得，又，取，知 ，这样有 ，所以由定理知方程的唯一实根是实三次域的基本单位。参考文献1E.Artin, Theory of algebraic numbersM, striker,Gottingen, 1959.2A.frohlich, M.J.Ta
5、ylor, Algebraic Number TheoryM, Cambridge University Press, 1991.3S.Alaca,K.S.Williams,Introductory Algebraic Number TheoryM,Combridge University Press,2004.4冯克勤，代数数论M，科学出版社，2000.A Real Cubic Fields with a Fundamental Unit 1Yaozhonglei, LijianghuaBengbu NO.1 Middle school Bengbu 233000Abstract: Some conditions are given which ensure that equation,has a unique real root . We can prove is the unique fundamental unit of the cubic field .Keywords: Cubic field, Fundamental unit 6
一类有大于1 基本单位的实三次域
