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1、第五节 稳定裕度稳定裕度的概念运用稳定裕度概念综合系统本节主要内容：当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定形状。这时：。对于最小相位系统，可以用 和 来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度，或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。gccgA,180)(,1)()(gA)(c1cg)(c)(gAcg)()(L)(ggL定义：和 为幅值稳定裕度和相位稳定裕度。)(1ggAk)(180c在对数坐标图上，用 表示 的分贝值。即gLgk)(log20log20gggAkL显然，当 时，即 和 时，闭环系统是稳定的；否那么是不稳定的。对于最小相位系统，和 是同时发生或同时不发生的，
2、所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度。常用相角裕度。0gL1)(gA00gL0幅值稳定裕度物理意义：稳定系统在相角穿越频率处将幅值添加 倍奈氏图或添加 分贝波德图，那么系统处于临界形状。假设添加的倍数大于 倍或 分贝，那么系统变为不稳定。gkgLgLgk相位稳定裕度的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率 处将相角减小 度，那么系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。c例设控制系统如以下图所示k=10和k=100时，试求系统的相位稳定裕度和幅值裕度。)5)(1(sssk-)(sR)(sC解：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。dB821当k=10时，开环系统波德图如右所示。这
3、时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度。因此系统在不稳定之前，增益可以添加8dB.相位裕度和幅值裕度的计算：相位裕度：先求穿越频率c)10(04.0112|12.0|1|2.0)(22时当 kssskA在穿越频率处，所以 ，解此方程较困难，可采用近似解法。由于 较小小于2，所以：1)(A4)04.01)(1(222c25.1,112)(2cA解得：穿越频率处的相角为：38.1552.090)(11ccctgtg相角裕度为：6.2438.155180)(180c 幅值裕度：先求相角穿越频率g相角穿越频率处 的相角为：1802.090)(11gggtgtgg902.011ggtgtg即
4、：由三角函数关系得：24.2,12.0ggg解得：33216.004.0112)(22ggggA所以，幅值裕度为：)(6.9)(log20dBALggdB1230当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是-12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳定的。例5-11某系统构造图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。-4k1025.02s)11.0(5.2ss)(sR)(sC解：当k=10时，开环传送函数为：)11.0)(1025.0(200)
5、(ssssGk手工绘制波德图步骤：1、确定转机频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜线至 ；2、在 之间画斜率为-40的斜线；3、后画斜率为-60的斜线。10401040210210150150cg c c上图蓝线为原始波德图。，显然 闭环系统是不稳定的。为了使相位稳定裕度到达30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ，移到哪里？38,180210)(ccc15030180)(c ，从图中看出：。所以原始幅频曲线向下挪动的分贝数为:10cdBAALcg22)10(log20)(log20所以当开环放大系数下降到15时，闭环系
6、统的相位稳定裕度是30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 ，所以20g)(10|)20(log20|)(log201515dBAALgkkg设新的开环放大系数为 ，原始的开环放大系数为k=200，那么有 讨论 时较明显。解得：1log20log2022kk 1151k1k带有延迟环节系统的相位裕度的求法：skesG)(设系统的开环传送函数为：，我们知道添加了延迟环节后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表如今奈氏图和波德图上的情况如下假设Gk(s)为最小相位系统。00c0gcg左图中，红色曲线为Gk(s)频率特性，兰色曲线为添加了延迟环节后的频率特性。其幅值和相角穿越频率分别为 和 ，相角裕度分别为 。)(,00ccccgg,0,0显然添加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。假设要确保稳定性，其相位裕度必需大于零。即：0)(0cckcjG)(L)(cc0gg0稳定裕度概念运用时的局限性：1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点能够不止一个，这时运用幅值和相位稳定裕度能够会出现歧义；2、非最小相位系统不能运用该定义；3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很接近(-1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见以下图：1gk
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