线性代数复习5课件

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1、定义定义.,22112121的的内内积积与与称称为为向向量量令令维维向向量量设设有有yxyxyxyxyxyxyyyyxxxxnnnnn 向量内积的定义及运算规律.,都是列向量都是列向量其中其中内积的矩阵表示内积的矩阵表示yxyxyxT.,)3(;,)2(;,)1(:),(zyzxzyxyxyxxyyxnzyx 为为实实数数量量维维向向为为其其中中内内积积满满足足下下列列运运算算规规律律定义定义).(,22221或或范范数数的的长长度度维维向向量量称称为为令令xnxxxxxxxn 向量的长度具有下列性质：向量的长度具有下列性质：.)3(;)2(;0,0;0,0)1(yxyxxxxxxx 三三角角

2、不不等等式式齐齐次次性性时时当当时时当当非非负负性性 向量的长度.,1为为单单位位向向量量称称时时当当xx ).0(,1,2时时当当从从而而有有不不等等式式向向量量的的内内积积满满足足施施瓦瓦茨茨 yxyxyxyyxxyx定义定义.,arccos ,0,0的的夹夹角角与与维维向向量量称称为为时时当当yxnyxyxyx .,0.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若正交正交与与称向量称向量时时当当xxyxyx 向量的夹角所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正向量向量空间的基若是正交向量组，就称为正交基交基定理定

3、理.,2121线线性性无无关关则则零零向向量量是是一一组组两两两两正正交交的的非非维维向向量量若若aaaaaanrr.,)(,212121的的一一个个规规范范正正交交基基是是则则称称两两两两正正交交如如果果的的一一个个基基是是向向量量空空间间维维向向量量设设VeeeeeeRVVeeenrrnr 定义定义正交向量组的性质).,2,1(,221121rieaaeeeeaaVVeeeiTiirrr 其其中中都都可可表表为为中中任任一一向向量量那那么么的的一一个个规规范范正正交交基基是是若若施密特正交化方法施密特正交化方法.,2121范范正正交交化化这这个个基基规规只只需需把把的的一一个个规规范范正正

4、交交基基要要求求的的一一个个基基是是向向量量空空间间设设aaaVVaaarr.,.,;,;2121111122221111111212211等价等价且与且与两两正交两两正交则则取取aaabbbbbbabbbbabbbbababbbbabababrrrrrrrrrrr 第一步正交化第一步正交化第二步单位化第二步单位化.,1,1,1222111的的一一个个规规范范正正交交基基就就得得取取Vbbebbebberrr 定义定义.),(1为为正正交交矩矩阵阵那那么么称称即即满满足足阶阶矩矩阵阵如如果果AAAEAAAnTT .)(的的一一个个规规范范正正交交基基向向量量构构成成向向量量空空间间行行个个列列

5、的的正正交交矩矩阵阵RnAn正交矩阵与正交变换方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行（列）向量都是单位向量，且两两正交（列）向量都是单位向量，且两两正交AA定义定义若为正交矩阵，则线性变换称为若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换正交变换正交变换的特性在于保持线段的长度不变正交变换的特性在于保持线段的长度不变.,xxxpxPxyyyPxyTTTT 则则有有为为正正交交变变换换设设PPxy 定义定义.,的特征向量的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那么那么成立成立使关系式使关系式维非零列向量维非

6、零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设 AxAxAxxnnA.)(.0的的特特征征多多项项式式称称为为方方阵阵的的特特征征方方程程称称为为方方阵阵AEAfAEA 方阵的特征值和特征向量.)2(;)1(,)(.2122112121AaaaaAnAnnnnnnij 则有则有的特征值为的特征值为若若个特征值个特征值有有阶方阵阶方阵.1;1,)3(.)(,)(.)()();()2(;)1(,)(11010特征值特征值的的是是的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当其中其中的特征值的特征值是是为任意自然数为任意自然数的特征值的特征值是是的特征值的特征值也是也是则则的特征值的特征值是是设设AAAAAaA

7、aEaAaaaAkAAaAmmmmkkTijnn 有关特征值的一些结论定理定理.,21212121征征向向量量是是线线性性无无关关的的即即属属于于不不同同特特征征值值的的特特线线性性无无关关则则各各不不相相等等如如果果向向量量依依次次是是与与之之对对应应的的特特征征个个特特征征值值的的是是方方阵阵设设ppppppmAmmmm 定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论定义定义.,.,11的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似

8、变换称为对称为对进行运算进行运算对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设BAPAAPPABAABBAPPPnBA 矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵.,)2(2121个特征值个特征值的的是是则则相似相似与对角矩阵与对角矩阵若若nAAnn 有关相似矩阵的性质若与相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同ABAABB)1(.)()(,.)()(,)3(111111PPAPPAA

9、PPPPBPAPBPAPPBAkkkk 则则有有为为对对角角阵阵使使若若有有可可逆逆阵阵特特别别地地则则若若(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量AAn(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似AAn.)1(实实数数实实对对称称矩矩阵阵的的特特征征值值为为.)2(量量必必正正交交特特征征值值的的特特征征向向实实对对称称矩矩阵阵的的属属于于不不同同.,)3(个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的必必有有则则对对应应重重特特征征值值的的是是实实对对称称矩矩阵阵若若rrA .,.)4(1对对

10、角角阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的的的以以是是其其中中使使得得则则必必有有正正交交阵阵称称阵阵阶阶实实对对为为即即若若实实对对称称矩矩阵阵必必可可对对角角化化nAAPPPnA 实对称矩阵的相似矩阵定义定义.2 22 ),(,1,1311321122222221112121称称为为二二次次型型的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有xxaxxaxxaxaxaxaxxxfxxxnnnnnnnnnn 二次型.,.,的的秩秩的的秩秩称称为为二二次次型型称称阵阵对对的的二二次次型型称称为为对对称称阵阵的的矩矩阵阵为为二二次次型型称称其其中中二二次次型型可可记记作作fAAffAAAA

11、xxfTT 二次型与它的矩阵是一一对应的二次型与它的矩阵是一一对应的.,;,称称为为实实二二次次型型是是实实数数时时当当称称为为复复二二次次型型是是复复数数时时当当fafaijij定义定义).(2222211或或法法式式称称为为二二次次型型的的标标准准形形只只含含平平方方项项的的二二次次型型ykykykfnn 二次型的标准形).()(,)1(ARBRBAACCBCT 且且亦为对称阵亦为对称阵则则阵阵为对称为对称如果如果令令任给可逆矩阵任给可逆矩阵.)(,),()2(2122222111,的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中化化为为标标准准形形使使有有正正交交变变换换总总任任给给实实二二次次

12、型型aAfyyyffPyxaaxxafijnnnjiijjinjiij 化二次型为标准形.,)3(变变换换换换一一般般而而言言不不是是正正交交此此时时所所用用的的可可逆逆线线性性变变形形二二次次型型化化为为标标准准拉拉格格朗朗日日配配方方法法亦亦可可把把定义定义.,0)(,0;,),0)0(0)(,0,)(是负定的是负定的并称对称矩阵并称对称矩阵为负定二次型为负定二次型则称则称都有都有如果对任何如果对任何是正定的是正定的称对称矩阵称对称矩阵并并为正定二次型为正定二次型则称则称显然显然都有都有如果对任何如果对任何设有实二次型设有实二次型AfxfxAffxfxAxxxfT 正定二次型.,),0()

13、,0(,212122222112222211数数的的个个数数相相等等中中正正中中正正数数的的个个数数与与则则及及使使及及实实的的可可逆逆变变换换有有两两个个它它的的秩秩为为设设有有实实二二次次型型 rrirrirrTkkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 惯性定理.2)(;,21量量化化线线性性变变换换的的不不变变它它们们是是二二次次型型对对于于非非退退差差的的符符号号称称为为称称为为负负惯惯性性指指数数数数称称为为正正惯惯性性指指中中正正数数的的个个数数frpprpNpsNprpkkkr 注意注意;,:)1(npnAxxfT 即即正正惯惯性性指指数数个个系系数数全全为为正正它它

14、的的标标准准形形的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件实实二二次次型型;:)2(特特征征值值全全为为正正的的是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条件件对对称称矩矩阵阵AA正定二次型的判定).,2,1(,0)1(,:;0,;0;0 ,:)(3(111111112221121111nraaaaAaaaaaaaaaAArrrrrnnnn 即即而偶数阶主子式为正而偶数阶主子式为正式为负式为负奇数阶主子奇数阶主子是是为负定的充分必要条件为负定的充分必要条件对称矩阵对称矩阵即即的各阶主子式都为正的各阶主子式都为正要条件是要条件是为正定的充分必为正定的充分必对称矩阵对称矩阵霍尔维茨定理霍尔维茨定

15、理一、证明所给矩阵为正交矩阵一、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题二、将线性无关向量组化为正二、将线性无关向量组化为正交单位向量组交单位向量组三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法四、已知的特征值，求与四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值相关矩阵的特征值AA五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化八、利用正交变换将实对称八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵矩阵化为对角阵九、化二次型为标准形九、化二次型为标准形AA;,2,1,),()(111njiaaaaijjknkikijkjnkki

16、 或或交条件交条件元素满足正元素满足正或行或行证明矩阵的各列证明矩阵的各列方法方法.,2EAAATT 验验证证然然后后先先求求出出根根据据正正交交阵阵的的定定义义方方法法一、证明所给矩阵为正交矩阵.)/(2,为为正正交交矩矩阵阵证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为维维列列向向量量是是设设aaaaEAnEnaTT 例例1 1证明证明.,EAAAATT 证证义义验验然然后后根根据据正正交交矩矩阵阵的的定定先先验验证证)/2(aaaaEATTTT aaaaETT)/2(,A AAT)/2()/2(aaaaEaaaaETTTT AA.)()(/4)(/2)(/22aaaaaaaaaaaaaaETTTTTT

17、T .2,1是是正正交交矩矩阵阵时时特特别别当当aaEAaaTT ,0为为一一非非零零数数aaaT),)()(aaaaaaaaTTTT 故故,)/(4)/(4EaaaaaaaaEAATTTTT .是正交矩阵是正交矩阵故故A将线性无关向量组化为正交单位向量组，可将线性无关向量组化为正交单位向量组，可以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与单位化单位化.,1001,0101,0011321向向量量组组求求与与之之等等价价的的正正交交单单位位无无关关向向量量组组是是线线性性已已知知向向量量 例例2 2二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组解一解一先正交化

18、，再单位化先正交化，再单位化;)1(11 取取,)2(12212正正交交与与使使得得令令 k,0,211121 k,21,1121 k;0121212 故故得得交交正正与与且且令令,)3(123322113 kk,21,11311 k,31,22222 k.13131313 故故得得单单位位化化将将,)4(321 333 111 222;002121 ;0626161 .23)32(1)32(1)32(1 解二解二同时进行正交化与单位化同时进行正交化与单位化并并单单位位化化得得取取,)1(11 111;002121 得得正正交交与与使使得得令令,)2(12212 k,21 k,21 .0626

19、1612 ,0121212 得得正正交交与与且且令令,)3(123322113 kk,311 k,322 k,21,61.23)32(1)32(1)32(13 ,13131313 .,321为所求之向量组为所求之向量组则则 第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量三、特征值与特征向量的求法第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；A第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；A.3242024233和特征向量和特征向量的全

20、部特征值的全部特征值阶实矩阵阶实矩阵计算计算 A例3例332422423)(AEf.)1()8(2 解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式A.,)(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出特特征征多多项项式式第第二二步步Af.,1,8,0)(321全部特征值全部特征值的的为为解之得解之得令令Af .0)(,811的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组对对 xAE 第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量A ,0524,0282,0425321321321xxxxxxxxx.2121 个基础解系个基础解系化简求得此方程组的一化简求得此方程组的一

21、).0(81111数数为为实实的的全全部部特特征征向向量量为为属属于于 kk .021,101:,0424,022,0424:0)(,122321321321232 基础解系基础解系求解得此方程组的一个求解得此方程组的一个的一个基础解系的一个基础解系求相应线性方程组求相应线性方程组同理对同理对xxxxxxxxxxAE.,1 32332232是不全为零的实数是不全为零的实数的全部特征向量为的全部特征向量为的属于的属于于是于是kkkkA .,0,;321332211是是不不全全为为零零的的实实数数为为实实数数里里这这的的全全部部特特征征向向量量为为从从而而kkkkkkA 解解.1式式它它们们有有相

22、相同同的的特特征征多多项项只只需需证证明明有有相相同同的的特特征征值值与与首首先先证证明明APPA APPEfAPP1)(1 APPPP11 四、已知A的特征值，求与A相关 矩阵的特征值121,.niinAAPP 设 阶方阵 的全部特征值为属于 的特征向量为求的特征值与特征向量例例4 4PAEP 1),(fAEA .,121的全部特征值的全部特征值就是就是APPn .1的的特特征征向向量量属属于于其其次次求求 iAPP,iiiA iiAPPE)(1 又又,0)(iiAE即即 iiAPPPP)(11 ,)(1 iiPAEP iiPAPPE11)(),()(111 iiiPPAPP 即即 iiPP

23、AEP11)(,0)(1 iiAEP.11的的特特征征向向量量属属于于是是故故 iiAPPP .,)2(;)1(:,)(,10111的的特特征征多多项项式式求求非非奇奇异异时时当当的的特特征征多多项项式式求求求求其其特特征征多多项项式式为为阶阶方方阵阵是是设设AAAaaaAEfnATnnnA 例例5 5解解AEfTAT )()1(.有相同的特征多项式有相同的特征多项式与与AAT)(AET AE ),(fA 五、求方阵的特征多项式A则则的的全全部部特特征征值值是是设设,)2(21An )1()1)(1(21 n ,111211的的全全部部特特征征值值是是An 的特征多项式为的特征多项式为故故A1

24、 AEfA1)(1 .1001101aaaaannn AA的行列式的行列式用特征根计算方阵用特征根计算方阵1.5;,5,2,1,13,323321EABAABA 求求设设个特征值为个特征值为它的它的阶矩阵阶矩阵是是设设 例6例6解解.21AAAn来来计计算算要要关关系系的的行行列列式式与与特特征征值值的的重重利利用用 ,5)(23xxxf 令令,321的的全全部部特特征征值值是是因因为为A 六、关于特征值的其它问题32()(13)()5.ifif ABAA 所以是的全部特征值故)(AfB )()()(321 fff.288)12)(6)(4(.5EA 下下面面求求方法一方法一,5)(EAAg

25、令令),(),(),()(321 gggAg的所有特征值为的所有特征值为所以所以,2,1,1321 的的所所有有特特征征值值为为因因为为A)(5AgEA .72)2()1()1(ggg方法二方法二,2,1,1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.22)1(1 A故故.724/28852 ABEA),5(5223EAAAAB 又又,52EAAB ,288 B但但),2)(1)(1()(AEfA所所以以方法三方法三,2,1,1321 的所有特征值为的所有特征值为因为因为A.725)1(53 AEEA,72)25)(15)(15()5(5 fAEA的的可可逆逆性性来来讨讨论论的的特特征征值

26、值用用方方阵阵AkEA,2.,0,;,0,可可逆逆的的特特征征值值时时不不是是当当不不可可逆逆的的特特征征值值时时是是当当AkEAkEAkAkEAkEAk?,1,)2(?8,)1(,2是否可逆是否可逆且且的特征值的特征值是是设设是否可逆是否可逆若若阶方阵阶方阵为为设设EAAAEEAnA 例7例7解解,1,121 的特征值为的特征值为A,)1(2EA.8可逆可逆从而从而AE ,8的特征值的特征值不是不是故故Ak .,1,均可逆均可逆对对一般地一般地AkEk 于于是是的的特特征征值值不不是是所所以以因因为为,1,1)2(A .均为可逆矩阵均为可逆矩阵故故EA .0)1(,01 AEAE,)1()(

27、EAAEAEn 又又;0 EA,)1()(EAEAAEn ,0 EA.),(0,)2(?)1(.00221100不可对角化不可对角化证明证明且至少有一且至少有一如果如果可对角化可对角化在什么条件下在什么条件下阶下三角阵阶下三角阵是是设设AjiaaaaAnAjinn 例8例8七、判断方阵可否对角化A解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值AAAn,02211 aaaAnnAEfA )(,0)()(2211 aaann 即即).()(2211aaann ).1(niaAiii 的的所所有有特特征征值值得得.,),2,

28、1,(可可对对角角化化时时即即当当时时当当Aaanjijijjiiji ,0)(fA令令.)2(用用反反证证法法.)1(),(,211的的特特征征值值是是使使则则存存在在可可逆逆矩矩阵阵可可对对角角化化若若AnidiagAPPPAin 所所以以可可知知由由,)1(11aaiii .111111111EaaaaAPP ,11111111EaPPaPEaPA .,)(00000对角化对角化不可不可故故矛盾矛盾这与至少有一个这与至少有一个Ajiaji 1220212,020,.ATATT设实对称阵求正交变换使为对角阵例例9 9解解第一步求第一步求A的特征值由的特征值由 20212022 AE八、利用

29、正交变换将实对称矩阵化为对角阵,0)2)(1)(4(.2,1,4321 得得.,0)(的的特特征征向向量量求求出出由由第第二二步步AxAEi 得得由由对对,0)4(,41 xAE.1221 解之得基础解系解之得基础解系 ,042,0232,0223232121xxxxxxx得得由由对对,0)(,12 xAE ,02,022,02323121xxxxxx.2122 解之得基础解系解之得基础解系得得由由对对,0)2(,23 xAE ,022,0232,0243232121xxxxxxx.2213 解解之之得得基基础础解解系系.,3 ,.321两正交两正交故它们必两故它们必两量量个不同特征值的特征向

30、个不同特征值的特征向的的属于属于是是因为因为将特征向量正交化将特征向量正交化第三步第三步A .将特征向量单位化将特征向量单位化第四步第四步得得令令,3,2,1,iiii .3/23/23/1,3/23/13/2,3/13/23/2321 ,22121212231),(321 T作作.2000100041 ATT则则.2),(2231321为为标标准准形形用用正正交交变变换换化化xxxxxxf 例例1 10 0.001010100,001010100),(),(321321321 AAxxxxxxxxxxxfT得实对称矩阵得实对称矩阵九、化二次型为标准形解解第一步将表成矩阵形式第一步将表成矩阵形

31、式f.1,1,0)1()1(.3212 得得由由的所有特征值的所有特征值求出求出第二步第二步AEA.010,101 ,0)(.211 得得它它的的基基础础解解系系解解方方程程组组求求正正交交矩矩阵阵第第三三步步xAET.010,2/102/1,0,2221112121 得得将它们单位化将它们单位化正交正交与与得得单位化单位化得它的基础解系得它的基础解系解方程组解方程组,101 ,0)(33 xAE.2/102/1333 .100010001,),(,132121331为对角阵为对角阵且且为正交矩阵为正交矩阵令令正交正交与与 ATTTT .)(.232221yyyyyyATTyfTyxTTT 作

32、正交变换作正交变换第四步第四步.282102),(.,313221232221321xxxxxxxxxxxxf 性性变变换换并并求求相相应应的的线线准准形形用用配配方方法法化化二二次次型型为为标标例例1 11 1解解xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)(2),(.,应应的的线线性性变变换换并并作作相相的的项项集集中中进进行行配配方方中中含含将将第第一一步步xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)()()(2 .69)(3223223212xxxxxxx ,33223211xyxyxxxy作线性变换作线性变换,100010111 ,11

33、 pxpy即即.69),(32232221321yyyyyxxxf 得得.,69232232221并作相应的线性变换并作相应的线性变换项集中进行配方项集中进行配方的的中含中含将将第二步第二步yyyyyyf ,2221为为所所求求标标准准形形得得zzf ,100310001,3,223332211 PyPzyzyyzyz即即令令.)(12xPPPyz 相应的线性变换为相应的线性变换为.)3(32221yyyf 第五章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题4 4分，共分，共3232分分)特征向量是特征向量是的特征值是的特征值是则方阵则方阵的伴随矩阵的伴随矩阵是是阶方阵阶方阵是是设设,2,A,n.

34、1 AABAAA的的特特征征值值为为则则的的特特征征值值为为三三阶阶方方阵阵2332,2,1,1.2AABA 的的特特征征且且设设ABA 200031141,201034011.3 yxyBxA,1000000210100002.4则则相相似似与与已已知知矩矩阵阵 的的矩矩阵阵是是二二次次型型232123222143212432,.5xxxxxxxxxxxf .4225,.6323121232221321是是正正定定的的实实二二次次型型时时当当xxxxxtxxxxxxxf 的的特特征征值值为为那那么么二二重重和和值值为为B),(12对应的二次型是对应的二次型是矩阵矩阵 314122421.7A

35、二、计算题（共二、计算题（共40分）分）.2)2(;)1(,321311032)7(.1的所有特征向量的所有特征向量对应于对应于的值的值求求的特征值的特征值是矩阵是矩阵设设分分ttA .222,.8323121232221321是是负负定定的的二二次次型型时时满满足足当当xxxxxxtxtxtxxxxft 其其中中相相似似与与设设矩矩阵阵分分,)10.(2BA 10001000,00010221yBxA.,)2(;)1(1BAPPPyx 使使得得求求可可逆逆阵阵的的值值和和求求试试求求矩矩阵阵设设的的特特征征值值为为已已知知三三阶阶矩矩阵阵分分,32,1,2,1)10(.332AAABA ;)

36、1(矩矩阵阵的的特特征征值值及及其其相相似似对对角角矩矩阵阵B.3)2(2的的值值及及行行列列式式EAB.,?020212022)7(.41为对角矩阵为对角矩阵使使求出可逆矩阵求出可逆矩阵若可对角化若可对角化可否对角化可否对角化判断矩阵判断矩阵分分AUUUA .444,)6(.5323121232221321化化为为标标准准型型将将二二次次型型分分xxxxxxxxxxxxf 三、证明题（共三、证明题（共2020分）分）.,3,)5.(123是是正正定定的的矩矩阵阵证证明明且且满满足足阶阶实实对对称称矩矩阵阵为为设设分分AEAAAnA :,)10.(3证证明明阶阶实实方方阵阵为为设设分分nA;,

37、0,0)1(不不可可相相似似于于对对角角阵阵则则但但若若AAAk .,)2(相相似似于于对对角角阵阵则则若若AEAk 四、（四、（8 8分）设二次型分）设二次型313221232221222xxxxxaxxxxf 经正交变换经正交变换 化成化成QYX 23212yyf .:,)5.(2可交换可交换与与充要条件是充要条件是是正定矩阵的是正定矩阵的证明证明是正定矩阵是正定矩阵与与设设分分BAABBA .,321321 试试求求常常数数是是三三阶阶正正交交矩矩阵阵量量是是三三维维列列向向其其中中QyyyYxxxXTT ;1,0.4 ;1,2.3 ;4,5,1.2 ;,5.1 yxnn二二重重维维非非零零向向量量任任意意重重一一、;0000031001020021.5 ;.61YA;28432.7323121232221xxxxxxxxx 测试题答案.1.8 t.110010101)2(;1,1)1(.2 Pyx;6000180002)1(.3 .43)2(2 EA.122212221,.4 U可对角化可对角化;210)2(;8)1.(1 kt二二、.4000100021 AUU.5.5232221yyyf .0 四四、