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1、试谈网络流的构造与算法1.引论A. 对网络流算法的认识网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，模型更加复杂，编程复杂度也更 高，但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径），因而适用范围也更广，经常能够很好 地解决一些搜索与动态规划无法解决的，看似NP的问题。B. 具体问题的应用网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。这没用现成的模式可以套 用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且 归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。2. 例题分析【问题1】项目发展规划（Develop）Macrosoft公司准备制定一份未来的发展规划
2、。公司各部门提出的发展项目汇总成了一张规划 表，该表包含了许多项目。对于每个项目，规划表中都给出了它所需的投资或预计的盈利。由于 某些项目的实施必须依赖于其它项目的开发成果，所以如果要实施这个项目的话，它所依赖的项 目也是必不可少的。现在请你担任Macrosoft公司的总裁，从这些项目中挑选出一部分，使你 的公司获得最大的净利润。输入输入文件包括项目的数量N，每个项目的预算Ci和它所依赖的项目集合Pi。格式如下：第1行是N；接下来的第i行每行表示第i个项目的信息。每行的第一个数是Ci，正数表示盈利，负数表示投 资。剩下的数是项目i所依赖的项目的编号。每行相邻的两个数之间用一个或多个空格隔开。
3、输出第1行是公司的最大净利润。接着是获得最大净利润的项目选择方案。若有多个方案，则输出挑 选项目最少的一个方案。每行一个数，表示选择的项目的编号，所有项目按从小到大的顺序输出。数据限制0WNW1000-1000000WCiW 1000000输入输出范例Sample InputSample Output642 2-1 1 2-3 35 3 43【分析解答】1. 抽象原题（图论模型）给定包含N个顶点的有向图G= （V, E）,每个顶点代表一个项目，顶点有一权值Ci表示项目的 预算。用有向边来表示项目间的依赖关系，从u指向v的有向边表示项目u依赖于项目V。问题：求顶点集的一个子集V,满足对任意有向边
4、u,vEE,若uEV,则vEV,使得V 中所有顶点的权值之和最大。2. 搜索枚举V的所有符合条件的子集，时间复杂度O（2n），指数级。无论如何剪枝优化，也摆脱不了非 多项式。3. 动态规划本题的结构是有向无环图，而非树形结构，不适合动态规划。如果一定要做，实质类似于搜索， 由于状态数量众多，仍是指数级的时间复杂度。4. 网络流流网络的构造方法：建立N顶点代表N个项目，另外增加源s与汇t。若项目i必须依赖于项目j，则从顶点i向顶点 j引一条容量为无穷大的弓瓜。对于每个项目i，若它的预算C为正（盈利），则从源s向顶点i引 一条容量为C的边；若它的预算C为负（投资），则从顶点i向汇t引一条容量为-C
5、的边。求这个网络的最小割（S, T），设其容量C（S,T）=F。设R为所有盈利项目的预算之和（净利润上 界），那么R-F就是最大净利润；S中的顶点就表示最优方案所选择的项目。最小割：S=s,1,2,3,4,6； T=5,tC(S,T)=5净利润 R- C(S,T) = 85 = 3证明算法的正确性：建立项目选择方案与流网络的割（S,T）的一一对应关系：任意一个项目选择方案都可以对应网络中的一个割（S,T）, S=s+所有选择的项目, T=V-S。对于任意一个不满足依赖关系的项目选择方案，其对应的割有以下特点：存在一条容量为+8孤3“，u属于S而v属于T。这时割的容量是无穷大，显然不可能是网络
6、的最小割。 对于任意一个割（S,T）,如果其对应一个符合条件的方案，它的净利润是R-C（S,T）。导致实 际净利润小于上届R的原因有：1. 未选取盈利项目i,即顶点i包含在T中，那么存在一条从源s至顶点i的容量为Ci的弓瓜2. 选取投资项目i，即顶点i包含在S中，那么存在一条从顶点i至汇的容量为一Ci的弓瓜C（S,T）就是上述两种孤的容量之和。综上所述，割的容量越小，方案的净利润就越大。最小割的求法：根据最大流最小割定理，网络的最小割可以通过最大流的方法求得。本题解题的关键在于流网络数学模型的建立。本题建模的独到之处在于：以前的网络流问题通常 使用流量表示解答方案，而本题使用割表示解答方案，并充分利用了割的性质，流只是求得最小 割的手段。这为我们开辟了一条构造网络流解决问题的新思路。初看这个问题，要把它和网络流联系起来，有相当的难度。必须熟练地掌握流网络的各种性质， 经过反复的类比尝试，才能发现它们之间的共性。【联想思考】作为本题的一个衍生，给每个项目估计一个完成时间，并假设公司同时只能进行一个项目。现在 的问题是：如何选择一些能在给定时间内完成的项目，使得公司得到最大收益。这个问题我至今 还没有找到有效算法，希望有兴趣的同学来共同研究。3.编程技巧数据结构：邻接表直接表示原问题优点：节省空间缺点：编程复杂度大，不具有通用性
试谈网络流的构造与算法
