椭圆及其标准方程一课件

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1、椭圆及其标准方程(一)椭圆及其标准方程(一)问题:(1)(1)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?(2)平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹又是 什么呢？什么呢？数数 学学 实实 验验同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作：在图板上，将一根无弹性细绳的两端用图钉固定，一支在图板上，将一根无弹性细绳的两端用图钉固定，一支铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？铅笔的笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？椭圆及其标准方程(一)反反 思思v（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位）在画出一个

2、椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？置是固定的还是运动的？v（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？说明了什么？v（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？大小有怎样的关系？椭圆及其标准方程(一)结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？如何定义椭圆？它应该包含几个要素？（1 1）在平面内）在平面内（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长的距离等于定长2a2a（3 3）

3、定长）定长2a2a|F|F1 1F F2 2|注：注：所成曲线是椭圆所成曲线是椭圆 所成曲线是线段所成曲线是线段 没有图形没有图形 1 12 21 12 21 12 22 2 a aF F F F2 2 a aF F F F2 2 a aF F F F反思：反思：F1F2M椭圆及其标准方程(一)v平面上到两个定点的平面上到两个定点的距离的和（距离的和（2a）等于）等于定长（大于定长（大于|F1F2|）的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆椭圆。v定点定点F1、F2叫做椭圆叫做椭圆的焦点。的焦点。v两焦点之间的距离叫两焦点之间的距离叫做焦距（做焦距（2c）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆

4、定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：caMFMF2221 一、椭圆的定义F1F2M椭圆及其标准方程(一)二、如何得到椭圆曲线的方程?问题问题1:(1)求曲线方程的基本步骤？求曲线方程的基本步骤？(2)如何建立适当的坐标系？如何建立适当的坐标系？OxyF1F2M方案一方案一OxyF1F2M方案二方案二（1）建系设点）建系设点;（2）写出点集；）写出点集；（3）列出方程；）列出方程；（4）化简方程；）化简方程；（5）证明（可省略）。）证明（可省略）。椭圆及其标准方程(一)(2)如何建立适当的坐标系？如何建立适当的坐标系？oxyF1F2M方方案案一一oxyF1F2M方方案案二二oxyF1F2M方方案

5、案三三oxyF1F2M方方案案四四椭圆及其标准方程(一)(1)建系设点建系设点:(2)写出点集写出点集:(3)列出方程列出方程:(4)化简方程化简方程:问题问题2:求曲线方程的步骤是什么求曲线方程的步骤是什么?(以方案一为例以方案一为例)OxyF1F2M方案一方案一以以F1F2所在直线为所在直线为x轴，轴，F1F2的中点为原点的中点为原点建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，设设M M（x,y)x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则焦点则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。12|2MFMFa 2222()()2xcyxcya 椭圆及其标准方程(

6、一)OxyF1F2M如图所示如图所示:F:F1 1、F F2 2为两定点，且为两定点，且|F|F1 1F F2 2|=2c|=2c，求平面内到两定点，求平面内到两定点F F1 1、F F2 2距离之和为定值距离之和为定值2a(2a2c)2a(2a2c)的动点的动点M M的轨迹方程。的轨迹方程。解：以解：以F F1 1F F2 2所在直线为所在直线为x x轴，轴，F F1 1F F2 2的中点为原点建立平面的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点直角坐标系，则焦点F F1 1、F F2 2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)(-c,0)、(c,0)(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设设M

7、 M（x,y)x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则椭圆就是集合则椭圆就是集合P=P=M|M|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2|=2a a 2222()()2xcyxcya即即2222()2()xcyaxcy 如何化简如何化简?椭圆及其标准方程(一)OxyF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为因为2a2c0，即，即ac0，所以，所以a2-c20，(ab0)2222()2()xcyaxcy 2222222()44()()xcyaaxcyxcy 222()acxaxcy 整整理理得得42222222

8、22222aa cxc xa xa cxa ca y 平平方方得得：两边同除以两边同除以a2(a2-c2)得得:222221xyaac 的线段吗？的线段吗？能否在图中找出表示能否在图中找出表示22,caca P1212|,|,PFPFaOFOFc 由由可可知知22|POac 22|bPOac 令令那么那么式就是式就是22221xyab椭圆及其标准方程(一)OxyF1F2MOxyF1F2M椭圆的标准方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab222abc 222abc 12(,0),(,0)FcF c 焦点焦点12(0,),(0,)Fc Fc 焦点焦点椭圆及其标准方程(一)OXY

9、F1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0,c)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。（2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。椭圆及其标准方程(一)例例

10、1、填空：、填空：(1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_三三.例题精析例题精析1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a椭圆及其标准方程(一)15422yx(2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：,则则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：焦点坐标为：_，焦距

11、，焦距 等于等于_;若曲线上一点若曲线上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为3，则，则 点点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离等于的距离等于_，则则 F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)25 5 2 532 53 2 522 52PF1F2|PF1|+|PF2|=2a椭圆及其标准方程(一)例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），），椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。(2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（

12、）、（2，0），），且椭圆经过点且椭圆经过点P 。53(,)22 椭圆及其标准方程(一)(1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：192522yx椭圆及其标准方程(一)(2)(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0

13、),),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .53(,)22 解法一解法一:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为22221(0).xyabab 由椭圆的定义知由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2 102222a 所以所以10.a 又因为又因为 ,所以所以2c 2221046.bac因此因此,所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为221.106xy椭圆及其标准方程(一)(2)(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .53(,

14、)22 解法二解法二:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为22221(0).xyabab 2c224ab 22532222()()1ab 又又由由已已知知联立联立,22106ab解解得得，因此因此,所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为221.106xy求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值，写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.(2,0),(2,0)又又焦点的坐标为焦点的坐标为椭圆及

15、其标准方程(一)1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标写出焦点坐标1162522yx 答：答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）116914422yx 答：答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）112222mymx 答：答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。四四.课堂练习课堂练习椭圆及其标准方程(一)（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：）求适合下列条件的椭圆的标准方程：a=4，b=1，焦点在，焦点在x轴上

16、；轴上；，焦点在，焦点在Y轴上；轴上；a+b=10，。4,15ac 2 5c 22222222(1)116(2)116(3)1136163616xyyxxyyx：或或答答案案 2.（1）动点）动点P到两个定点到两个定点F1（-4，0）、）、F2（4，0）的距）的距离之和为离之和为8，则，则P点的轨迹为点的轨迹为 （）A、椭圆B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定B椭圆及其标准方程(一)2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2-c2=b2五五.小结小结椭圆及其标准方程(一)六.作业vP49 习题2.2：A组 1 2 3