弹塑性力学浙大课件

《弹塑性力学浙大课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹塑性力学浙大课件（260页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、工程弹塑性力学工程弹塑性力学弹塑性力学弹塑性力学:研究对象研究对象:研究方法研究方法:研究任务研究任务:学习目的学习目的:只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。123(,)(,(1,)2,3ix y zx x xx i,(,),xxxyxzyxyyyzzxijzyzzi jx y z当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。1 1223

2、31122331 12 23 3(:1,2,3(:,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j哑标，）自由下标，哑标，）d dij记号记号：Kroneker-delta记号记号1001,0100,001ijijijijdd张量表示：但凡同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减，并得到同阶的一个新张量，法那么为：ijkijkijkABC第一个张量中的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，从而得到一个新的分量的集合新张量，新张量的阶数等于因子张量的阶数之和。ijklijkla bC张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数求导数。312,123ii iiuu

3、uuuxxxx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuuxxxxxxxx?Foundations of Solid Mechanics?A first course in continuum?A first course in continuum mechanics?mechanics?固体力学导论固体力学导论?连续介质力学导论连续介质力学导论?弹塑性力学弹塑性力学?应用弹塑性力学应用弹塑性力学?1.1 应力张量应力张量1.2 偏量应力张量偏量应力张量1.3 应变张量应变张量1.4 应变速率张量应变速率张量1.5 应力、应变应力、应变 Lode参数参数0limnnApA 1.1 应力

4、张量nnA0limsnApA Cxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 应力张量应力张量应力张量数学上，在坐标变换时，服从一数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的定坐标变换式的九个数所定义的量叫做量叫做。111213212223313233ij下标下标1、2、3表示坐标表示坐标x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 应力张量112233cos(,)cos(,)cos(,)n xln xln xl3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll

5、Niij jSl1122331 cos(,)1 cos(,)1 cos(,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 应力张量1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NNNNS lSlSlllll ll ll l2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 应力张量112233NNNSlSlSl111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllll

6、ll()0iijjjld(1.7)(1.8)(1.9)1.1 应力张量d dij记号：记号：Kroneker-delta记号记号1,0,ijijijd2221231lll100010001ijd1i ill 11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01llllllllllll1112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 应力张量1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 321230JJJ(1.14)222333311

7、11222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)123,:JJJ应力不变量1.1 应力张量1123J2122331()J 3123J (1.16)233112123,222(1.17)1.1 应力张量22222222222 21231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200nnll

8、及1.1 应力张量22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22lll 1200ll及2l消去13132 23232 12122 123220;22lll 12322;022lll 123max13min2 1.1 应力张量沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八个面组成的图形，称为八面体八面体。1231/3lll(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三个坐标轴

9、上的投影分别为：123lll2221231lll123arccos()arccos()arccos()54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 应力张量八面体面上的正应力为八面体面上的正应力为:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为：22222288812312322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为：222222281231 12 23 3222123

10、()()()1()3FPPPlll(1.22)1.1 应力张量11122333003J2223333111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)01234;1;2;1.2 应力偏量张量物体的变形物体的变形ij(1.32)体积改变体积改变形状改变形状改变由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起的材料晶格间的移动引起的弹性性质弹性性质塑性性质塑性性质ijdijS球形应力张量球形应

11、力张量偏量应力张量偏量应力张量1.2 应力偏量张量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量1122331111()333kkJ其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力1.2 应力偏量张量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)二阶对称张量二阶对称张量1231123S其中其中:123000000 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS2132223S3123323S(1.33)1.2 应力偏量张量ijSij例例:证明：证明：ij123123123()0()0()0 x

12、nxyxzyxynyzzxzyznlllllllll(a)ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznSS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l(b)()()xnxmnmxnSS()()ynymnmynSS()()znzmnmznSS可见式(a)与式(b)具有一样的系数，且l12+l22+l32=l12+l22+l3 2=11.2 应力偏量张量11;S22;S33S(1.33)ijSij321230JJJ1112233222211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS

13、SSSSSSSJS S SSS SS(1.34)(1.35)1.2 应力偏量张量(1.40)22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)22221122223333112221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSSSSSSSSS1.2 应力偏量张量(1.43)22281223311()()()322221223311()()()6J8223J83/2123,0,故2228122331231()()()322J(1.41)1.2 应力偏量张量(

14、1.42)222212233111()()()26ijijTJS S1230,0,T 例：纯剪时，100100100MPa10010ij101010/310/310/300010/30MPa0010/320/3010040/3:0MPa10020/3mijS平均正应力球形应力张量量（）偏量应力张1.2 应力偏量张量222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()(100 100

15、100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 1.2 应力偏量张量13223102000(20)20,0,10(10)0 2221223311()()()21400 10090070010 7 MPa21.2 应力偏量张量1.3 应变张量(,)(,)(,)uu x y zvv x y zww x y z1.3 应变张量1.3 应变张量uudxxdxxuudyydyyuxy1.3 应变张量222()()uA BdxdxdxxxxA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)xuxyy1.3 应变张量tan1dxxxuudxdxxx1,u

16、x略去xuyxyuyx1.3 应变张量122zuy ,uvyx同时存在12zuxy122zvx1.3 应变张量(1.44)工程应变分量：工程应变分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz1.3 应变张量(1.45),12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz123,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 应变张量,u v w uuududxdydzxyz,udu vdv wdwvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxd

17、ydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuwdxdydzxxyxzx1.3 应变张量xxyxzdudxdydzyxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz;rrrdudx dvdy dwdz1.3 应变张量111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII (1.47)(1.4

18、8)1122331133kk（）1.3 应变张量(1.52)13ijijijijkkijed d321231231112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIeeeeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中为 的三个不变量，(1.50)(1.51)222212233111()()()26ijijIe e1.3 应变张量(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：简单拉伸时，故222212233113222()()()2310,0,

19、2ijijIe e 例：纯剪时，故(1.55)1.4 应变速率张量;xyzdudvdwVVVdtdtdt;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt1.4 应变速率张量xxyyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz dtydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz1.4 应变速率张量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz,1()

20、2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)1.4 应变速率张量,1()2iji jj iddudu(1.57),()()()1()()()()2ijijijiijjjidtttu ttu tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu()ijijdd1.5 应力和应变的Lode参数1.5 应力和应变的Lode参数2221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll222311213()()()()l223122321()()()()l221

21、233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 应力和应变的Lode参数222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()241.5 应力和应变的Lode参数假设在一应力状态上再叠加一个球形应力状态假设在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，那么应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。那么应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；

22、而各圆的大小(直径直径)那么取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。那么取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变变，但应力状态的形式不变)，那么应力圆的三个直径也按同一比例缩，那么应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。1.5 应力

23、和应变的Lode参数二、二、应力应力Lode参数参数:132232312131313()()2212(1.64)1.5 应力和应变的Lode参数应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义：1、与、与平均应力无关；平均应力无关；2 2、其、其值确定了应力圆的三个直径之比；值确定了应力圆的三个直径之比；Lode参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状参数是排除球形应力张量的影响而描绘应力状态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。态特征的一个参数。它可以表征偏应力张量的形式。11(1.65)1.5 应力和应变的Lode参数1.5 应力和应变的Lode参数1.5 应力和应变的Lode参数为表征

24、偏量应变张量的形式，引入为表征偏量应变张量的形式，引入应变应变Lode参数参数：三、三、应变应变Lode参数参数:如果两种应变状态的如果两种应变状态的me 相等，那么说明它们所对应的相等，那么说明它们所对应的应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式应变莫尔圆是相似的，也就是说，偏量应变张量的形式一样。一样。231321几何意义：应变莫尔圆上几何意义：应变莫尔圆上Q2A与与Q1A之比之比(1.66)1.6 弹性力学的根本方程应力分量满足平衡方程：应力分量满足平衡方程：0yxxzxXxyz(1.67)0 xyyzyYxyz0yzxzzZxyz,0ij jiF1.6 弹性力学的根本方程弹性体

25、的应力弹性体的应力-应变关系服从虎克定律应变关系服从虎克定律11;xxyzyzyzvEG(1.72)11;yyzxzxzxvEG11;zzxyxyxyvEG1.6 弹性力学的根本方程 x对对y，y对对x求两次偏导，有：求两次偏导，有：;xyuvxy2223322222yxyxuvuvyxx yy xx yyxx y 222220yxyxyxx y 保证物体在变形后不会出现保证物体在变形后不会出现撕裂撕裂，套叠套叠的现象的现象1.6 弹性力学的根本方程类似可得三维问题的类似可得三维问题的应变协调方程应变协调方程：222220yyzzzyy z 222220 xxzzxzx z 222220yxy

26、xyxx y 2102yzxyxxzy zxxyz 2102yxyyzzxz xyyzx 2102xyyzzxzx yzzxy,0ij klkl ijlj kiki lj(1.82)1.6 弹性力学的根本方程例题：例题：222220yxyxyxx y 设有应变分量如右式，其余的应变分量均为零。假设它们是一种可能的应变状态试确定各常数之间的关系。22440122440122201()()()()()xyxyaa xyxybb xyxycc xy xyc解：解：2222111 21121221233aybxc cc xc y1111 2312,22cabc c121114,()2ccab所以解为：

27、所以解为：5.1 根本实验资料根本实验资料5.2 应力应变的简化模型应力应变的简化模型5.3 应变的表示法应变的表示法5.4 理想弹塑性材料的简单桁架理想弹塑性材料的简单桁架5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架线性强化弹塑性材料的简单桁架5.6 加载路径对桁架内应力和应变的影响加载路径对桁架内应力和应变的影响5.1 根本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线1单向拉伸曲线单向拉伸曲线ABDeppE000lllll0PA5.1 根本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线0d 0d tdE ddEd5.1 根本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线2拉伸与压缩曲线的差异一般金属材料拉伸与压缩

28、曲线的差异一般金属材料应变应变10%时，根本一致；时，根本一致；应变应变10%时，较大差异。时，较大差异。用简单拉伸试验代替简单压缩试验进展塑性分析是偏于平安的。5.1 根本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线3反向加载反向加载卸载后反向加载，卸载后反向加载，s sBauschinger效应效应O拉伸塑性变形后使压缩屈服极限降低的现象。即正向强化时反向弱化。5.1 根本实验资料一一、应力应力-应变曲线应变曲线伸长率伸长率:标志材料的塑性特性，其值越大那么材料破坏后的剩余变形越大。0100%kklld00100%kkFFF截面收缩率截面收缩率:5.1 根本实验资料塑性变形有以下特点：塑性变形

29、有以下特点：5.1 根本实验资料二、静水压力二、静水压力(各向均匀受压各向均匀受压)试验试验201011(1)mVVppapbpVKKV或体积应变与压力的关系体积应变与压力的关系(bridgman实验公式实验公式)铜铜铝铝铅铅a7.31x10-713.34x10-723.73x10-7b2.7x10-123.5x10-1217.25x10-12铜：铜：当p1000MPa时，ap7.3110-4，而bp22.710-6。说明第二项远小于第一项，可以略去不计。因此根据上述试验结果，在塑性理论中常认为体积变形是弹性的。5.1 根本实验资料二、静水压力二、静水压力(各向均匀受压各向均匀受压)试验试验(

30、2)、静水压力对屈服极限的影响静水压力对屈服极限的影响5.2 应力应变简化模型一般应力一般应力-应变曲线：应变曲线：=E ，s (屈服后屈服后)5.2 应力应变简化模型1.理想弹塑性模型理想弹塑性模型|,/sE1,0sign0,01,0软钢或强化率较低的材料软钢或强化率较低的材料0,/signdE 0,/dddE 为一个大于或等于零的参数5.2 应力应变简化模型1.理想弹塑性模型理想弹塑性模型|sE用应变表示的加载准那么用应变表示的加载准那么：0,signsd 0,ddEd 1,0sign0,01,0公式只包括了材料常数E和，故不能描述应力应变曲线的全部特征；在 s处解析式有变化，给具体计算带

31、来困难;理想弹塑性模型抓住了韧韧性材料性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。5.2 应力应变简化模型2.线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型材料有显著强化率材料有显著强化率0,/dddE|,/sE110,(|)()signsdEEE 5.2 应力应变简化模型2.线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型用应变表示的加载准那么用应变表示的加载准那么：0,ddEd|,sE0,(|)signssdE 5.2 应力应变简化模型,0s当时1,0sE当时epee=5.2 应力应变简化模型3.一般加载规律一般加载规律()1()()0,|()(),|ssEEE 其中，5.2 应力应变简化模型对线性强化弹性材料

32、在加载时对线性强化弹性材料在加载时:|s|()(1)(1sign)ssEE 时，()sign1()ssEE()sign1()ssEE()1(1)signssEE 5.2 应力应变简化模型4.幂次强化模型幂次强化模型|sign,(0,01)nAAn常数AA:AE5.2 应力应变简化模型1/1/E 1113()7m有三个参数，能较好地代表真实材料，数学表达式简单。5.2 应力应变简化模型1).等向强化模型等向强化模型 拉伸和压缩时的屈服极限相等拉伸和压缩时的屈服极限相等|)|(pdO6.反向反向加载应力加载应力-应变简化模型应变简化模型|()|psH|psc5.2 应力应变简化模型0:/0;0.5

33、1.5:51;1.50:5149.5OOssOBCBsssCssEEEE一单向加载过程的应力路径为一单向加载过程的应力路径为0 0 0 0 0 0，材料符合线性，材料符合线性随动强化规律，强化模量随动强化规律，强化模量E EE/100E/100，试求出对应的应变路径。，试求出对应的应变路径。0.50.5:49;sDsCDsE 0.5:4950sEDssEssE 0:0.FEFsE应变路径为：应变路径为：051 s/E s/E s/E 05.2 应力应变简化模型应力路径：应力路径：0 s 0 s 00.50.5:49;0.71.2:211.20:19.8sDsDCssEsEDssFFEsEEE

34、应变路径：应变路径：051 s s 21 s s5.3 应变的表示法工程应变：工程应变：00llln1101121001100dlnnnniiinilnnlllllllllllllllll自然应变自然应变/对数应变：对数应变：原始长度原始长度变形后长度变形后长度适用于大变形适用于大变形不适用于大变形不适用于大变形应变应变；应力应力 不符合材料的实际情况不符合材料的实际情况5.3 应变的表示法 工程应变与自然应变的关系：工程应变与自然应变的关系：234000lnln(1)ln(1)234nnlllll5.3 应变的表示法 工程应变与自然应变的关系：工程应变与自然应变的关系：00001200000

35、02123001.51.81.50.5;0.2;1.521.820.11;1.01.8llllllllllll。300lll103221123012;lllllllll1235.3 应变的表示法 工程应变与自然应变的关系：工程应变与自然应变的关系：312123012ln;ln;ln;llllll 123 30lnll31 2 33121230120 1 20lnlnlnlnlnlll llllllll lll 5.3 应变的表示法 工程应变与自然应变的关系：工程应变与自然应变的关系：002ll0002100%lll拉000.5ll002ln69%ll 拉0000.550%lll 压000.5l

36、n69%ll 压5.4 理想弹塑性材料的简单桁架平衡方程：平衡方程：如图，三杆桁架受竖向力如图，三杆桁架受竖向力P作用，作用，杆件截面均为杆件截面均为A，试作弹塑性分析。试作弹塑性分析。消去消去N3，并用应力表示：，并用应力表示：13NN123coscosNNNP122cos/P A变形协调关系：变形协调关系：221 11/cos/cosllld212cos5.4 理想弹塑性材料的简单桁架应力应力-应变关系：应变关系：232121(12cos)cosPA221,cossseePPPPPe：弹性极限荷载：弹性极限荷载联立联立(5.26)(5.29)11E22E3(12cos)esPPA2sell

37、Ed(5.30),(5.31)变为变为3(12cos)/esAP5.4 理想弹塑性材料的简单桁架1()/(2cos)sPA1 122coscoscossesllEdd二、弹塑性阶段二、弹塑性阶段 P Pe P Pe塑性流动阶段塑性流动阶段2s(12cos)ssPA122cos/P A123s5.4 理想弹塑性材料的简单桁架弹性与塑性极限荷载极限位移的关系：弹性与塑性极限荷载极限位移的关系：312cos,12cossePP21cossedd5.4 理想弹塑性材料的简单桁架卸载符合弹性规律。设荷载变化为卸载符合弹性规律。设荷载变化为DP，那么由式，那么由式(5.33)得得2212211,cos/,

38、/sseePPPPEE 三、卸载三、卸载假设加载至假设加载至P*Pe P*Pe，此过程仍为弹性过程。这，此过程仍为弹性过程。这相当于将弹性范围由扩大了。相当于将弹性范围由扩大了。四、重复加载四、重复加载 这种使其弹性范围扩大的有利的剩余应力状态称为这种使其弹性范围扩大的有利的剩余应力状态称为安定状态。安定状态。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架联立平衡和协调方程可求得联立平衡和协调方程可求得平衡方程与协调方程不变平衡方程与协调方程不变加载过程，物理方程改变局部：加载过程，物理方程改变局部：;=()sssE 1.弹性阶段弹性阶段(P Pe)：与理想弹塑性一：与理想弹塑性一样样2.约束塑性变形阶

39、段约束塑性变形阶段(P Pe)：22=()ssE321332233232121 2coscos(1)12cos/(1 2cos)/cos(1)12cos/(1 2cos)/1/2cos/cosseseeesPEE PEE PEEPP PEEEEdd 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架21tan1(12cos)sPEPE(杆杆1、3进入屈服进入屈服)3.塑性流动阶段塑性流动阶段(P Pe)：21(12costan/)sPAEE1s3231 2coscos(1)12cos/ssePEE P2(1 2cos)esPA与理想弹塑性材料的比较：与理想弹塑性材料的比较：如考虑中等强化情形如考虑中等强化情

40、形:1/1/10,30,/1.041sEEPP说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。说明这时理想塑性的近似还是比较好的，考虑强化对它的影响不大。5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架考虑随动强化，加载应力范围为考虑随动强化，加载应力范围为2 s，即要求，即要求2 2 s，4.卸载卸载：仍按弹性规律变化仍按弹性规律变化*0*222(1)0sePP*(1)ssePP*2ePP02s 最大安定荷载最大安定荷载5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架图示等截面杆，截面积为图示等截面杆，截面积为A A，在，在x=a(ab)x=a(ab)处作用集中处作用集中力力P P，试求弹性极限荷载，试

41、求弹性极限荷载PePe和塑性极限荷载和塑性极限荷载PsPs。假设加。假设加载至载至Pe PPe P*PsPs时卸载，试求剩余应力和剩余应变。材时卸载，试求剩余应力和剩余应变。材料分别为料分别为:(1):(1)理想弹塑性；理想弹塑性；(2)(2)线性强化弹塑性。线性强化弹塑性。12NNP12/P A120ab5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架12120baba 11/E22/E1(1)sesaPAb时达到弹性极限，故12,()()PbPaab Aab A 5.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架22/ssP AP A12*,()()P bP aab Aab A 22sssPA 时进入塑性流动，故5

42、.5 线性强化弹塑性材料的简单桁架*0*111*0*22200*222200*2111(1)0()*(1)0()0 0ssesseP bPab APPP aPAab APEba E 5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案(12)ssPP1232syseddd时时:5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案1()/2yxldd 21313()/2/()/2/P AQ A 由由2/yld 3()/2yxldd 213 2130,0,05.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案120 33/2xEEld 33,22QQPAAA 123123,2,4,23,2,sss

43、ssxeyesssPPPAQAdddd 5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案/2PQ:0P12(2)212PA22)12PA32(2)212PA2(12)/(23 2)esPA1s1,s22 2,23 2s3(22)23 2s4(12),23 2exdd2 223 2eydd5.6 加载路径对桁架应力应变的影响加载方案加载方案10322/,(12)/P AP A 22s/(32)ssP APA或3,s 12,s3,xeddyedd33s 12,s2,s3,s 6.1 根本假定对一般应力状态的塑性理论，作以下根本假设：对一般应力状态的塑性理论，作以下根本假设：忽略时间因素的影响忽

44、略时间因素的影响(蠕变、应力松弛等蠕变、应力松弛等)；连续性假设；连续性假设；静水压力局部只产生弹性的体积变化静水压力局部只产生弹性的体积变化(不影响塑性变不影响塑性变形规律形规律)；在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一应变特性一致；致；材料特性符合材料特性符合Drucker公设公设(只考虑稳定材料只考虑稳定材料)；变形规律符合均匀应力应变的实验结果。变形规律符合均匀应力应变的实验结果。6.2 屈服条件的概念s()0sF2).复杂复杂应力状态的屈服函数应力状态的屈服函数(,)0 xyzxyyzzxF ()0ijF6.2 屈服条件的概念3).屈服条件屈

45、服条件/屈服函数屈服函数()0ijF()0ijF123(,)0F 123(,)0F J JJ123(,)0F S S S123(,)0F J JJ23(,)0F JJ10J 由于6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间123OPijk 123()sis js kijkOPOQON 主应力空间、主应力空间、L直线、直线、p p平面平面6.3 屈服曲面一一、主应力空间、主应力空间123OPijk 即直线方程即直线方程几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：123123mSSS且112233mccc6.3 屈服曲面二、屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面屈服曲面

46、F(1,2,3)=0：为一平行为一平行L直线的柱面；直线的柱面；屈服曲线屈服曲线 f(J2,J3)=0：屈服曲面与：屈服曲面与p平面的平面的交线交线 对应无静水压力局对应无静水压力局部的情况。部的情况。6.3 屈服曲面三、三、矢量矢量OP在在p p平面上的投影平面上的投影121321321322()()222236xsssssy2222tan/3rxyJy x6.3 屈服曲面2212122ij 1112(,0,0)(,)2612121212 2212 cos30233O 222(0,0)(0,)33332(0,0,)(,)26 131322()()22xss2132132266sssy6.3

47、屈服曲面222213213211()(2)2622rxyJT2131321tan3yx2131323tan6.3 屈服曲面几种典型应力状态在几种典型应力状态在p p平面上的极坐标值：平面上的极坐标值：2131233120,0,2,0,021,303,021,303oorrr 6.3 屈服曲面四、屈服曲面的特征四、屈服曲面的特征AABBCCCC BB AA 12330p p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线(1)、屈服曲线为一屈服曲线为一封闭曲线封闭曲线，原点原点 在曲线内部；在曲线内部；6.4 Tresca和Mises屈服条件在各向相等压缩时压应力可以远远超过屈服极限 s s，而材料并未进入塑性

48、状态，也未破坏。6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件max13()/2k123()6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件12()222xk常量 1 2 3123213231321312132p p平面上的屈服曲线平面上的屈服曲线(正六角形正六角形)6.4 Tresca和Mises屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件213p(正六边形柱面正六边形柱面)122331222kkk 21o1221222kkk 平面应力的平面应力的Tresca屈服线屈服线6.4 Tresca和Mis

49、es屈服条件一、一、TrescaTresca屈服条件屈服条件Tresca屈服条件的完整表达式屈服条件的完整表达式由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因 1 s，2 300，1 300，故故k s/2/2 222222122331()4()4()4032224623224()27()36()96640JJJJ6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件22221223311()()()6JC 222rJC 常量213p平面6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件由简单拉伸实验确定：由简单拉伸实验确定：因因

50、1 s，2 300，1 300，故故C J2 s2 2/3/33SS6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件123假设规定简单拉伸时两种屈服假设规定简单拉伸时两种屈服条件重合，那么条件重合，那么Tresca六边形内六边形内接于接于Mises圆，且圆，且22max3()(Tresca)ssJMises 或22max()3 (Tresca)2sssJMises 或6.4 Tresca和Mises屈服条件二、二、MisesMises屈服条件屈服条件在主应力空间中，在主应力空间中，Mises屈服面屈服面将是圆柱面，在将是圆柱面，在 3=0的平面应的平面应力情

51、形力情形,Mises屈服条件可写成屈服条件可写成:2221122s 6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较121230,0T121()2T123,0 T6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较13C1230,02JC12C 123,0 121()2MC2221223311()()()6C32MC6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较3SC1230,02s12TS1s2S3SMC3SC21.1553MTC6.5 Tresca和Mis

52、es屈服条件的比较一、简单应力状态下的比较一、简单应力状态下的比较122S 231312131223123S 30:6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较23SR2313sin602hR 322ShR21.153Rh6.5 Tresca和Mises屈服条件的比较S3S/2S3S2S23SSS23S23S30:122S 123S 二、屈服曲面的比较二、屈服曲面的比较6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用2222122331()()()2S1322131313()22()26.6 屈服条件的实验验证一、

53、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用1313222131313131211322221()2131313132331322221()26.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用222222131331(1)(1)()()()244S222213(1)(1)()1244S222133()()22S21324()3S13223S6.6 屈服条件的实验验证一、一、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和内压力和内压力p作用作用131S12313S6.6 屈服条件的实验验证二、二、薄壁圆管受拉力薄壁圆管受拉力P和扭矩和扭矩M作用作用zz设

54、圆筒壁厚为设圆筒壁厚为t,平平均半径为均半径为a。t90Tpijijdd0d 为一比例系数0pijijddse0dns壮uu rpdn与 重合7.4 加载和卸载准那么()0,ijfs()0,ijfs=()()0,ijijijijijfdffdfdsssss=+-=?()0,0ijijijffdfdsss=?加卸载准那么的数学形加卸载准那么的数学形式式:7.4 加载和卸载准那么0,0,fdns=?在应力空间中的形式在应力空间中的形式:加载加载卸载卸载ijdd0f n0,0,fdns=?7.4 加载和卸载准那么00,lmdfdf=或光滑面交界处的加卸载准那光滑面交界处的加卸载准那么么:加载加载卸载

55、卸载0mfmnLn0Lf 00,lmdfdf及00,lmdndnss?或加载加载卸载卸载00,lmdndnss?及00llmmnfnf表示的法线方向;表示的法线方向7.4 加载和卸载准那么不同点：加载面允许向外扩张不同点：加载面允许向外扩张0,dns?加载加载卸载卸载dddij0,dns?0,dns?中性变载中性变载0,0,ijijdd加载加载卸载卸载中性变载中性变载0,0,d0,0,d7.5 理想塑性材料的增量关系epijijijddd进入塑性状态的应变增量表达式进入塑性状态的应变增量表达式3122ijeeijijijijdvddddsGEG或dpijijdd7.5 理想塑性材料的增量关系2

56、pijijijijJfdddd s220sfJ12ijijijdedsd sG12kkkkvddE222222220,00,0sssJJdJdJdJ当或pijijd只与s 成正比ijijdd s7.5 理想塑性材料的增量关系22211/()22ppijijijijsJs sddd pijd给定:12ppijijsddd2pijijsppijijdsddppppppyxyyzxzxzxyzxyyzzxdddddddsssssspijijsd主轴与主轴一致0,piid只有两个独立ppijijijdd按比例增大时,s 不变,它是的零齐次函数7.5 理想塑性材料的增量关系3tan,piipddp平面上

57、,s的和的相等dpdpxy3tanppdd213132ppppppdddddd213132ssssspd7.5 理想塑性材料的增量关系1232310,0ssff 主应力空间的屈服面主应力空间的屈服面3124230,0ssff 5316120,0ssff 11110pfdd12112pfddd13113pfddd 21221pfddd22220pfdd23223pfddd 7.5 理想塑性材料的增量关系1232112:()1:1pppddddddd 12301ddd7.6 强化材料的增量关系dhdpijklijijkldhdhd()0pd()0ppDdddddijijppijijijdhdhd7

58、.6 强化材料的增量关系ppijijijdhdhd2222,33ijijijJJs 注意到则32ijijs32ppijijddhs23()2pppijijddd左式22223323()()()2232pppijijddhs shhd右式7.6 强化材料的增量关系23()2pppijijddd左式22223323()()()2232pppijijddhs shhd右式1h3322ppijijijdddsspdd.const 7.7 简单加载定律,ppijijddd s.constdptxyd12ijijijdedss dG12kkkkvddE由由(7.63)(7.63)确定确定7.7 简单加载定

59、律00,ijijijijt ss t000012tttijijijdedsstdGl=+蝌?01ttdtlF=应力按比例增加应力按比例增加:1()2ijijesG=+F12kkkkvEes-=12HG=+FijijeHs=2;ijijijije eH s s=32ijijijije eHs ses=7.7 简单加载定律23,32ijijijije es s3()2ijijes 2()3ijijse 曲线是否单一?单一曲线假定单一曲线假定:按不同应力组合所得的曲线,基本上和简单拉伸的-曲线一样7.7 简单加载定律3()2ijijes 2()2 1()3ijijijseGe 或者或者:12kkkk

60、vE12kkkkEv()0 时为广义虎克定律8.1 平面应变问题的根本方程平面应变问题的根本方程8.2 特征线和滑移线特征线和滑移线8.3 滑移线的性质滑移线的性质8.4 塑性区的边界条件塑性区的边界条件8.5 典型的滑移线场典型的滑移线场8.6 滑移线场的数值求解滑移线场的数值求解8.7 楔体的单边受压楔体的单边受压8.8 刚性压模的冲压问题刚性压模的冲压问题 圆形切口板条的极限拉力圆形切口板条的极限拉力 板条的抽拉拉板条的抽拉拉-定常塑性流动问题定常塑性流动问题8.1 平面应变问题的根本方程物体的各点位移发生在物体的各点位移发生在xoy平面内：平面内：(,)(,)0uu x yvv x y

61、w,0 xyzuvxy,0 xyyzzxvuxy(,),(,)(,)(,),0 xxyyzzxyxyyzzxx yx yx yx y0z8.1 平面应变问题的根本方程理想刚塑性材料的总应变分量：理想刚塑性材料的总应变分量：pijij(,),(,),(,)0 xyzdudvdwv x yvx yv x ydtdtdt1()021()02000yxxyyxijvvvxyxvvvyxy流动速度场流动速度场,xyxy 只有三个分量不为零8.1 平面应变问题的根本方程采用采用Mises屈服条件与其相关连的流动法那么：屈服条件与其相关连的流动法那么：ijij10,(2)0,3zzzzxys由即刚塑性情况的

62、刚塑性情况的LevyMises关系关系:1()2zxy,xzyzxyxy =0,未知的应力分量只有8.1 平面应变问题的根本方程考虑开场流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：考虑开场流动的瞬间，不考虑惯性项和体力：00 xyxxyyxyxy注意到：注意到：()/2,0 xxxyyxxyxyzxzyzsss ssss 22222222221()()22xyxyxyxxyxysJsssss 222()44xyxy222()44xyxy塑性区：塑性区：刚性区：刚性区：在在塑性区塑性区由由5个方程求个方程求5个未知量个未知量8.1 平面应变问题的根本方程有速度边界条件的求解问题：有速度边界条件的求解问题：0

63、yxvvxy,xyxyxyv v 2yxxyyxxyvvxyvvyx不可压缩条件：不可压缩条件：LevyMises关系：关系：假设采用假设采用Tresca屈服条件，在刚塑性平面应变条件屈服条件，在刚塑性平面应变条件下，其表达式与下，其表达式与Mises屈服条件一样。屈服条件一样。8.1 平面应变问题的根本方程在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：在刚塑性交界处，应力和速度应满足连续条件：nnnntt交界限两侧都是塑性区的情形：交界限两侧都是塑性区的情形：222()44ntnt222()44ntnt,nnnntntnt 由则有222tnnt224tttnt两侧应力连续值两侧应力连续值8.2

64、特征线和滑移线一一、应力状态分析、应力状态分析cos2sin222xyxynxyn21mxy2cos2sin222xyxytxysin2cos22xyntxy1212cos222n1212cos222t12sin22nt8.2 特征线和滑移线一一、应力状态分析、应力状态分析n21mxy2cos2ncos2tsin2nt1212,22若平均正应力最大切应力=cos2xcos2ysin2xy12z8.2 特征线和滑移线一一、应力状态分析、应力状态分析12z任一点的应力状态任一点的应力状态由静水应力由静水应力 与纯剪与纯剪应力应力叠加而成。叠加而成。xyxy,cos2sin2,sin2cos24p

65、sin2xsin2ycos2xyxy45。18.2 特征线和滑移线二、滑移线二、滑移线sin2xsin2ycos2xy00 xyxxyyxyxy2(cos2sin2)02(sin2cos2)0 xxyyxyxy2s1sL1122122(cos2sin2)02(sin2cos2)0ssssss8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:xyxdxdydxydddy2(cos2sin2)2(sin2c0os20)xxyyxy1234,DDxDyDDDxDyD102 cos22 sin2012 sin22 cos2,0000kkkkDdxdydxdy其中1234,D D D DD分别为将 中的第一列

66、,二列,三列,四列各元素代之以0,0,d,d 之后形成的行列式8.2 特征线和滑移线特征线方法特征线方法:102 cos22 sin2012 sin22 cos20000kkkkDdxdydxdy8.2 特征线和滑移线如坐标轴如坐标轴s1,s2与滑移线的切线重合与滑移线的切线重合:(2)0(2)0ssxy2s1sL,2,2dytgconstdxdyctgconstdx 沿 线:沿 线:积分积分22 沿 线:沿 线:写成改变量形式写成改变量形式8.2 特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式0yxvvxy2yxxyyxxyvvxyvvyxtan22xyxy tan2()00yyxxyxvvvvxyyxvvxy0 代入0,0yxvvxy8.2 特征线和滑移线三、沿滑移线上的速度方程式三、沿滑移线上的速度方程式0代入(8.26)并令cossinsincosxyvvvvvvxyxvvyvvo0(cossin)0vvx0(sincos)0vvy0vvxx0vvyy00dvv ddvv d 沿 线,沿 线,dvv ddvv d沿特征线及等于零8.3 滑移线的性质根据的研究