集合竞赛试题

《集合竞赛试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合竞赛试题（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、竞赛试题选讲之：集合与函数一、选择题(本题满分36分，每小题6分). _ rb、1. (2006陕西赛区预赛)a,b为实数，集合M = ,1,P = a,0, f顼x表示把集合M中的元素x映射到 a集合P中仍为x,则a+b的值等于()A. -1B. 0C. 1D. 12. (2006天津)已知函数f (x) = x2 2ax + 2，当x日1,+3)时，f (x) a恒成立，则a的取值范围是()A. 2 a 1 B. 2 a 1C. 3 a 2 D. 3 a 1一 .32 + 3a3. (2006陕西赛区预赛)若关于x的方程(Qx =有负数根，则实数a的取值范围为25 a(),2、 “、,3、

2、A. (3, )U(5, +3)B. (3, -)U(5, +3)I,匚、,2 3、C. ( 3,5)D (3,4)一2 、 、-、4. (2006陕西赛区预赛)若函数f (x)满足f (x +|妇)= log2vx | x |，则f (x)的解析式是()A. log2 xB. log2 xC. 2-xD. x-25. (2006年江苏)函数y = 3log3x的图象是()ABCD6. (2006陕西赛区预赛)已知实系数一元二次方程x2 + (1+ a)x + a + b +1 = 0的两个实根为 七,x2且b0 气 1则侄的取值范围是()A. (1,2B. (1,2) C. (2, 2D.

3、(2, 2)7. (2006年江苏)设f (x)是定义在R上单调递减的奇函数.若x + x 0，x + x 0，x + x 0则122331()A. f (x )+ f (x )+ f (x)0B. f (x )+ f (x )+ f (x) f G3)8. (2006 吉林预赛)如果集合 A=y|y= x2+1，xR+，B=y|y= x+1， xR，贝I A 与 B 的交集是()A. (0，1)或(1，1)B. (0，1)，(1，1)C. 0，1D.(8 1)9. (2006安徽初赛)已知lgx的小数部分为a，则lgL的小数部分为()x 2A. 2a的小数部分B. 1 2a的小数部分C. 2

4、 2a的小数部分D.以上都不正确10. (2006吉林预赛)若函数f(x)=x3 6bx+3b在(0, 1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A. (0, 1)B.(一皿 1) C. (0, + D. (0, 0.5)11. (2006年南昌市)设集合A = a2 + 81 a g N,B = b2 + 291 b g N),若AB = P，则P中元素个数为()A. 0B. 1C. 2D,至少3个12. (2006 年南昌市)设 f (x) 二 ，记 f (x)= f (x),若 f (x) = f (f (x),则 f (x)=()1 - x 1n+1n200611 + xx 1A. xB

5、. -C,D.-x1 xx+ 1二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1. (2006安徽初赛)已知实数x、y满足仲T：+15(x T?= 5,则x + y =.、(y 4+ 15(y 4)=52. (2006 天津)已知集合 A U B U C = a , a , a , a , a ，且 A A B = a , a ，则集合 A、B、C 所有可1234512能的情况有种.3. (2006年南昌市)设M =1,2,100, A是M的子集，且A中至少含有一个立方数，则这种子集A的个数是4.(2006年江苏)集合A =x|x = 3n, n g N ,0 n 10 ,B = y|y = 5m,

6、m g N,0 m C恒成立，则常数C的最大值是.(注：maxx, y,乙表示x, y, z中的最大者)8. (2006 年上海)设 f (x) = x 2 + ax + b cos x, af (x) = 0, x g R =x|f (f (x) = 0, x g R Z。，则满足条件的所有实数a, b的值分别为.三、解答题(每小题20分，共60分)f 2a1. (2006 年江苏)设集合 A = x log1(3 x)2 B = x- 1若 B K，求实数 a 的取值范围.22.(集训试题)已知a0,函数f(x)=ax-bx2,(1) 当b0时，若对任意xWR都有f(x)W1,证明：aW2

7、 ：b ；(2) 当b1时，证明：对任意xW0, 1, lf(x)IW 1的充要条件是：b-1WaW2tb ；(3) 当0bW1时，讨论：对任意xW0, 1, If(x)IW 1的充要条件。3.(06重庆卷)已知定义域为R的函数f (x)满足f (f (x) - x2 + x)= f (x) - x2 + x.若f (2) = 3，求f;又若f (0) = a，求f (a)；(II)设有且仅有一个实数x0,使得f (x0) = x0，求函数f (x)的解析表达式.参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)CDDBA ADBDD DCB二、填空题(本题满分54分，每小题9分)1. 15；2

8、. 500；3. 2ioo296；4. 225； 5.无解；6. /(x) = 1 +2006 ； 7. 1003;x8. 0 2 4 , b=0;三、解答题(每小题20分，共卵分)i1. 解：A = x|-l % 3), B = u Cx a)(ji 3q)0 时，B = a x 3a,由 0得 0ov3；当 i0 时，8 = x|3ijvq(),由 Ap B 0 得 il；当 i = 0 时， 8 = 2; -b(x- )2+,WL .a0,b0,2b4b2b 4baW2、陌。(2) 证：(必要性),对任意x0, 1, lf(x)IWl=-lWf(x)据此可推出即a-bN-1, .a2b-

9、l。对任 意 x0, 1, lf(x)IWl=f(x)Wl,因为 bl,可推出 f(土)W1。即 aM-Wl, ；.aW2 展,所以 b-1WaW2 J。o(充分性):因 bl,aCb-l,对任意 xW0, 1,可以推出：ax-bx2b(x-x2)-xN-xN-1,即：ax-bx2N-l；因为 bl, aW2w% ,对任意 xW0, 1,可推出 ax-bx22-bx2l时，对任意x0, 1, lf(x)l0,0vbW 1 时，对任意 x0, lof(x)=ax-bx2N-bN-l,即 f(x)N-l；f(x)Wl =f(l)Wl na-bWl,即 aWb+1； af(x)(b+l)x-bx20

10、,0vbW 1时,对任意xW 0, 1, lf(x)lW 1的充要条件是:aWb+1.3.解：因为对任意X E R,有f (f (x)-X 2 + X)= /(x)-工2 + X 所以 f(f(2)-2 2+2)= f (2) 22+ 2又由 f(2)=3,得 f(3-2 2+ 2) = 3-22 + 2,即 f (1) = 1若 f(0)=a,贝lJf(G 02+0) = 1 02+0,即f(G)= i(II)因为对任意工 G R, Wf(/(X)-X2 +x) = /(X)-X2 +X.又因为有且只有一个实数X，使得= x000所以对任意+ X = X、0在上式中令=)-X2 +x = X

11、00000又因为/3 ) = 1,所以X -X2 = 0,故4二0或X=1 000000若JV =0 ,贝昕(X)- X2 + X = 0,艮吁(X)= %2 -X 0但方程必= x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故X。0 0若X二1,则Wf(x)-X2 +X = l,BPf(x) = X2 -X + 1易验证该函数满足题设条件。 0综上，所求函数(X)= X2 -X +1 (xcR)竞赛试题选讲之 集合与函数练习I (3-a)x4a, xV1, 一, 一一1. (06北卷)已知f (x)=尸)， 是(-8 , + 8 )上的增函数，那么a的取值范围是log x, x 1(a)A. (1,

12、+ 8) B. (-8,3) C. ： , 3 D. (1 ,3)192. (06全国II)函数f(x)= lx-nI的最小值为()i=1A. 190B. 171C. 90D. 453. (山东卷)已知定义在R上的奇函数fx)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为()A.-1B. 0C. 1D. 24. (06天津卷)已知函数y = f (x)的图象与函数J = ax( a 0且a丰1 )的图象关于直线y = x对称，记,、一 -,、, A 4g(x) = f (x)f (x) + 2f (2) 1.右y = g(x)在区间g,2上是增函数，则实数。的取值范围是()r1_ 1A. 2,

13、+8) B. (0,1) (1,2) C. k-,1)D. (05. (06天津卷)如果函数f (x) = ax (ax 3a 2 1)(a 0且a。1)在区间0,+8)上是增函数，那么实数a的取值范围是()A.r 2 0, 1B.1c. (1,，TD.3),+ 81 33L7L 27a,a b,，函数 f (x)=max|x+1|,|x-2|(xcR)的最小值是 b, aVb()AB0B. 1C. -D. 3227. (2006安徽初赛)若关于x的方程&克=kx + 2恰有一个实根，则k的取值范围 _25 一、8. (2006陕西赛区预赛)设f (x)是以2为周期的奇函数，且f ( 5) =

14、 3，若sina = 5则f (4cos 2a )的值.、abc9. (2006 吉林预赛)已知函数 f (x) = log x，设x =, y =-, z =，其中 0cba 0,a 1 ,函数f (x) = alg(x2-为+ 3)有最大值，则不等式loga (x2 5x + 7) 0的解集 为。15. (2006陕西赛区预赛)(20分)设P(x + a, y1)、Q(x, %)、r(2 + a, y3)是函数f (x) = 2x + a的反函数图象 上三个不同点，且满足yi + y3 = 2y2的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.一一2x + b.16. (06重庆卷)已知定义域

15、为R的函数f (x)= 是奇函数。(I)求a, b的值；(II)若对任意的t e R ,2 x+i + a不等式f (t2 - 2t) + f (2t2 - k) 0恒成立，求k的取值范围；17 . ( 200 6天津)已知a、P是关于x的二次方程2x2 -tx- 2 = 0的两个根，且以 。，若函数s 、4x -1f (a) - f (P)f(x) = 2+i . ( I )求/ a-p 的值；(I)对任意的正数x 1、x2，求证：,尸,x a + x P、 ,x P + x aI f ( 12 ) - ( 12 )|1 且 3a0,解得 1a3,又当 x1 时，(3 a) x4a1 时，l

16、ogax0, 所 以35a3，所以1a 0且a丰1 )的图象关于直线y = x对称,则 f (x) = loga x，记 g(x) = f (x) f (x) + f (2) - 1=(loga x)2 + (log。2 - 1)log。x.当a1时，若y = g(x)在区间2,2上是增函数，y = logax为增函数，令t = logax , telog；，log.2,要求对称轴-*ga21 Wlog 1，矛盾；当0a 0且a主1)可以看作是关于ax的二次函数，若a1,则y = a是增函3a2 +1数，原函数在区间0, +8)上是增函数，则要求对称轴W0,矛盾；若0a1，则y = ax是减函

17、数，原函数在区间0, +8)上是增函数，则要求当t = ax(0t1)时，y = 12 -(3a2 + 1)t在沱(0, 1)上为减函数，3a2 +113即对称轴 N1,A a 2 N-,a实数a的取值范围是H-,1)，选B.6.解：当x1 时，|x+1|=x 1, |x2| = 2x,因为(一x1) (2x)=3x1；11当一1x 时，|x+1| = x+1, |x2| = 2x，因为(x+1) (2x)=2x10, x+12x；当号 x2x；当 x2 时，|x+1|=x+1, |x2| = x2,显然 x+1x 2；2 x(x E (-8, -1)2 - x(x e-1,5)3故 f (x

18、)= 0，由 f(1)=1 可知对一切正整数 y, f(y)0,因此 yEN*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大 于1的正整数t,恒有f(t)t,由得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数 tW-4 时，f(t)0,因 tW-4，故-(t+2)0,由得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0,即 f(-5)-f(-4)0, f(-6)-f(-5)0,f(t+1)-f(t+2)0, f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0,因为：tW4,故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。12. 解：考虑M的n+2元子集P=n-l, n

19、, n+1,，2n . P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,所以 kn+3.将M 的元配为 n 对，B.=(i, 2n+1-i), 1in.对 M 的任一 n+3元子集A,必有三对B , B , B同属于A(i ,i、i】两两不同).又将M的元配为n-1对，C. (i, 2n-i), 1i 0(|x21yI13.14.解：x - 2 y 0nI x 2 一 4 y 2 = 4(x + 2 y)(x - 2 y) = 41 y由对称性只考虑yN0,因为x0, .只须求x-y的最小值，令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0

20、, 这个关于y的二次方程显然有实根，故 =16(u2-3)N0。解析：设 a 0,a。1 ,函数 f (x) = aig(x2-2x+3)有最大值，. lg(x2 - 2x + 3) N lg2 有最小值，.0a 0的解为r2 -5x + 7 0,解得2x3，所以不等式的解集为(2,3).aI x 2 - 5 x + 7 0)216.解析：(I)因为f (x)是奇函数，所以f (。)=0,即 = 0nb =1 a f (x) = 1 ： a + 2a + 2 x+11-21 -又由 f (1) = -f (-1)知-=-2 n a = 2.a + 4 a +11 - 2 x11(II)解法一：

21、由(I)知f (x) = k = -2 +公斯，易知f (x)在f +8)上为减函数.又因f (x)是奇函数，从而不等式：f (t 2 - 2t) + f2-k) 0等价于f (t 2 - 2t) k 一 2t2 .即对一切 t e R 有：3t2 - 2t - k 0 ,从而判别式A = 4 + 12k 0n k -3.、1 - 2x解法二：由 (I ) 知 f (x)= 一-一 . 又由题设条件得 2 + 2 x+11 - 212-211 - 2212-k= 0 ,2 + 212 - 21+12 + 2212 - k+1即：(2况率+1 + 2)(1- 2t2 -2t) + (2t2 -2

22、t+1 + 2)(1- 22t 2-k) 1，因底数21,故：3t2 - 2t -k 0上式对一切t e R均成立，从而判别式A = 4 + 12k 0 n k -3.17.【解】(I)由书籍，根据韦达定理得有a + P = t, a-p = -1./ 、4a -14a - 2(a + p)2f (以)=以2 -ap- = -2p, f(p)=邛-=4p-2(a + p)，ap2 +1p 2 -ap2P=-2a，.f (a) 一 f ( 1 )一 2 p + 2a q.一=2a - p a - p4 x t(I)已知函数f (x) = x 2 + 1. f(x)=-2(2x2 - tx - 2

23、)(x 2 + 1)2而且对 x e 以，p , 2x2 tx 2 = 2( x-a)(x p) 0 ,4 x t.函数f (x)=在a, p上是增函数 10分x2 + 1注意到对于任意的正数x 1、七x a + x p aX + X 即 a v x a + x pX + X-a + - P p-+ X-1 P+ -2avP .X1 + X2X (P -a) 0 ,X1 + XX (a - P)八 1v 0X + X同理a v15分)v f (p), f (a) v f (X1P+ X2a)V f (P), X + X. f (a) v f (XiX +X-f (P) v-f (X1P+ X2a) v-f (a) .X1 + X2x a + x P x P + x a于是-f(P) - f (a) v f(2 ) - f(T ) v f (P) - f (a),X +XX +X1212x a + x P x P + x aIf (-12 ) - f (-1 )Iv f (P) - f (a).X + XX + X1212而 f (P) - f (a) = 2 P- 2a = 2I a-P I,20分P) - (-1P+ 誓)Iv 2I a-P I.X1 + X2