材料力学能量法课件

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1、第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件1第第 13 13 章章 能量法能量法 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件2FAAl12 引引求节点求节点A的铅垂位移的铅垂位移 的两条研究途径的两条研究途径 12sin,tanNNFFFF 拉拉 方法一方法一1 1212,NNFlFlllEAEA 21221cossintansincosllFlEA 方法二方法二222211221cos222sincosNNFlFlF lVEAEAEA 2FW 221cossincosFlEA 压压第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学

2、能量法PPT课件课件3问题问题：求节点求节点A的垂直位移，哪种方法优越？的垂直位移，哪种方法优越？FABC第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件4 几个概念几个概念相应位移：相应位移：载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：外力功：载荷在其相应位移载荷在其相应位移上所作之功。上所作之功。广义力：广义力：力，力偶，一对大小力，力偶，一对大小相等、方向相反的力相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。或转向相反的力偶等。广义位移广义位移：线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。FAA

3、FAA 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件5例：例：试确定图试确定图a均布载荷均布载荷q 对应的广义位移对应的广义位移.(a)ABql相应广义位移：面积相应广义位移：面积l第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件6一、计算外力功的基本公式一、计算外力功的基本公式0)()(不是常力fdfW 线弹性体：线弹性体：kf FkdkW212102 kF 载荷载荷位移曲线所包围的面积位移曲线所包围的面积 ffdf d F 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件7二、二、F11F22F1F22111211

4、FWF22212FWF)(21)(2121221111FFWFF?2121221111FFWFF(1)(2)F F1 1与与F F2 2对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？对弹簧做的总功与他们的加载顺序与方式有关吗？第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件8A AD DF F1 1B B 1F F2 2C C 2A AD DF F1 1B B 11A AD DF F2 2C C 222221112121 FFW 11121FW22221FW 1=11,2=22 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件9A AD Df1 1

5、B B 1f2 2C C 2 加载过程中各载荷保持比例关系：加载过程中各载荷保持比例关系：A AD DF1 1B B 1F2 2C C 212122111)(fcaafafa cff 21第一个载荷所做之功：第一个载荷所做之功：1121 FW第二个载荷所做之功：第二个载荷所做之功：2221 FW NiiiFW121),(21niiFFF 1 1f2 同理：同理：2f第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件10 加载过程中各载荷不保持比例关系：加载过程中各载荷不保持比例关系：A AD DF F1 1B B 1F F2 2C C 2A AD Df1 1B B 1f2

6、 2C C 2 最终状态相同最终状态相同 考虑比例卸载过程考虑比例卸载过程cff 2112122111)(a fcafafa NiiiFW1211 1f2同理：同理：2f对线弹性体对线弹性体,不论按何种方式加载不论按何种方式加载,广义力广义力F1,F2,.Fn在其相应位移在其相应位移 1,2,.n上的总功恒为上的总功恒为 NiiiFW121第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件11 广义位移可以用叠加法求解广义位移可以用叠加法求解 外力功一般不可以用叠加法求解外力功一般不可以用叠加法求解 特殊情况：特殊情况：FFTT 一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种

7、载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件12三、三、xEAxFVld )(21 2N lxGIxTV p2d )(21 lxEIxMV 2d 2)(拉压杆与桁架拉压杆与桁架:轴轴:处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）处于平面弯曲的梁与刚架（忽略剪力影响）:基本变形情况基本变形情况 niiiiiAElFV12N21xGIxTVld )(21 t2 T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dx第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量

8、法PPT课件课件13 组合变形情况组合变形情况FN(x)M(x)Fs(x)T(x)dx组合变形杆件的总能量是否可组合变形杆件的总能量是否可由叠加法计算？为什么？由叠加法计算？为什么？2)d(2)d(2)d(ddN xMxTxFWV T(x)dxd M(x)dxd FN(x)dx第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件14 lllEIxxMGIxxTEAxxFV 2 p2 2N2)d(2)d(2)d(lzzlyyllEIxxMEIxxMGIxxTEAxxFV 2 2 t2 2N2)d(2)d(2)d(2)d(非圆截面杆或杆系非圆截面杆或杆系EIxxMGIxxTEA

9、xxFV2)d(2)d(2)d(d 2p22N 圆截面杆或杆系圆截面杆或杆系y,z轴主形心轴轴主形心轴第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件15解解:（1）计算梁的应变能计算梁的应变能(x轴从轴从A向左向左)()eM xMFx2222 3ee0()2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI 相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！相应位移互耦的多个外力引起的应变能不能叠加计算！例：例：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算外力所做之总功。弯曲刚度

10、为之总功。弯曲刚度为EI。FMA第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件16解解:(2):(2)计算外力所作之总功计算外力所作之总功EIlMEIFlwwwAAA232e3M,F,e EIlMEIFlAAAe2M,F,2e EIlMEIlFMEIlFMFwWAA226222e2e32e 梁的应变能等于外力所做总功梁的应变能等于外力所做总功FMA第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件17BlCx2x1M0FAl例例:试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截试计算图示水平面内直角刚架的应变能。刚架截面为圆形，直径为面为圆形，直径为

11、d，材料弹性模量和剪切模量分别，材料弹性模量和剪切模量分别为为E和和G。解法一：解法一：对于图示刚架，弯矩和对于图示刚架，弯矩和扭矩方程分别为：扭矩方程分别为：AB段：段：101()M xMFxBC段：段：2220(),()M xFx T xMFl 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件18222 3004222 300432(332)316(2)M lM FlF lE dM lM FlF lG d 222112222000()()()222lllpMxdxMxdxTxdxVEIEIGI 22222 33000022222pppM lM FlM lM FlF

12、lFlEIEIEIGIGIGI 3第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件19BlCx2x1M0FAl解法二：解法二：A截面的挠度和转角分别为：截面的挠度和转角分别为：ppAGIlFlMEIlMFllGIFlMEIFlEIlMEIFlw20203203203)(634)(3)23(ppAGIlFlMEIlMFlGIlFlMEIlMEIFl)(22)()2(002002AAMFwWV021212222233000022222pppMlMF lMlMF lFlF lE IE IE IG IG IG I 3第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PP

13、T课件课件20作业作业13131 113133 3第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件21A AD DF F1 12 2 11 211 1A AD DF F2 22 2 12 221 1ij i 代表位置，代表位置，j 代表载荷代表载荷 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态11121FW22221FW第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件22121212 FF功的互等定理功的互等定理若若F1=F21221 位移互等定理位移互等定理先加先加 F1，后加，后加 F2：A AD DF F2 22 2 22 11F1 1

14、 121 1先加先加 F2，后加，后加 F1：1212221112121FFFW2121112222121FFFWA AD DF2 22 2 22 21F1 1 111 1考察考察F1,F2 对弹性体的做功对弹性体的做功第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件23 关于功的互等定理的说明：关于功的互等定理的说明：成立的成立的前提是对于前提是对于线弹性体线弹性体；两组外力两组外力之间，功的互等定理也成立；之间，功的互等定理也成立；A AD DFMA AD DFA AD DFFM 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的关键在于搞清楚两个（组）广义外力在

15、对方作用点处引起的广义位移广义位移；第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件24例：例：测量变截面线弹性梁（图测量变截面线弹性梁（图a,截面沿宽度变化）截面沿宽度变化）A、B点挠度，点挠度，但仅端点但仅端点C适合装千分表。适合装千分表。FABC a解：解：设图设图a在在A点的挠度为点的挠度为CAFABC b如图如图b加载和装千分表，加载和装千分表，测得测得C点的挠度为点的挠度为AC则则ACCA 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件25A点受点受F*作用时作用时A、B点上升点上升 和和 A B AB*AF 例：例：两个相联的水平

16、梁，两个相联的水平梁，EAlFxxEIFwxxFEIFwxxFEIwxxFEIFwCDNDBNDCANACBBDNBACANAA),)(,(),)(,(),)(),)(,(21*21*EAlFxxEIFFwxxFEIFwxxFEIFwCDNDBNDACNACACNAA),)(,(),)(,(0),)(,(211解解 结构受力状态如图结构受力状态如图AFFAB现在水平位置将现在水平位置将A固支，在固支，在B作用作用F，求支座，求支座A的约束反力。的约束反力。CDCABD第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件26由功的互等定理由功的互等定理BAAFF CABD*A

17、FAFBFAB*AFCABDAFBFA*AFCABDCDABAFBF*AFABABAFBFCDBABBAAFFF00)(*第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件272FbFl FlbEA 例：例：等直杆宽等直杆宽b，拉压刚度，拉压刚度EA，泊松比，泊松比 求求 l lFb解解 设第二种受力状态为轴向拉力设第二种受力状态为轴向拉力2FbbbbbEEA F对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立对于任意截面形状的等直杆，解答是否成立?第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件28 11qxyqEE 1qdqdE 1dFAEh 解：解：考

18、虑薄板受均布载荷考虑薄板受均布载荷q 例：例：已知已知E，h，求均质薄板面积改变量，求均质薄板面积改变量 A FFdAB由功的互等定理由功的互等定理0sqFdq hdsq Ah 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件29思考题思考题1 板内开任意一孔，板内开任意一孔，是否变化？是否变化？FFA 思考题思考题2 内孔受一对图示方向的力，内孔受一对图示方向的力，是正还是负？是正还是负？FFA 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件30线弹性梁线弹性梁受多个广义力受多个广义力Fk的作用，的作用，求各广义力的求各广义力的相应位移相应位

19、移 k。方法一：方法一：叠加法叠加法方法二：方法二：能量法能量法A AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk k n),(21nFFFWW),(21nFFFVVkkkFVFW WV 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件31 卡氏定理的证明：卡氏定理的证明：iiiFW210多个多个Fi的作用下：的作用下：先加上先加上 Fk，再加上，再加上FikkkkkkiiikkFWFFFFW0121 2121),(21nFFFWW 若给若给Fk一个增量一个增量 FkkkFFWW kkkFVFW （略去高阶小量）（略去高阶小量）FkA AB B 1Fn 2F1 1F2 2Fk

20、 k n),(21niiFFF 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件32解：解：,MxMxFxxF 3013lAFlfFxx dxEIEI 例例1：用卡氏定理求用卡氏定理求A点挠度点挠度AfFAlxdxEIxMVl 022)(kkFV 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件33FlA AdxEIxMVl 022)(MFxxM)(0 MAMV 例例2 2：求求A A端的转角端的转角kkFV Fx xM M附加力法：附加力法：先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零先假设一附加力，对被积函数求导后，令附加力等于零思考：如

21、何求直梁在思考：如何求直梁在F F作用下扫过的面积？作用下扫过的面积？第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件34例例3：EI为常数，求为常数，求wA，AAB BC CFaFkkFV FVwAMVA解：为避免混淆，设解：为避免混淆，设Fa=MFBFCFFMFaaFCB0)(10)()(211xMFxMxMx2x1EIaFFMaaMdxxMEIVa23/)(2132221012EIFaFVwA63EIFaMVFaMA22aa第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件351()AMxF x 0 xlAB段：段：2()()ABMxF xF

22、xl 2lxlBC段：段：2112203()()()()37()6llAlAAMxMxMxMxdxdxEIFEIFFlEI得得：EI例例4：用卡氏定理求用卡氏定理求A点挠度，点挠度，为弯曲刚度为弯曲刚度。ABC(a)2FFllx?AVF?(2)AVF 设设2AFF BFF 解：解：(b)AFBFll第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件36等于等于A点挠度的两倍与点挠度的两倍与B点挠度之和。点挠度之和。讨论：讨论：的几何意义的几何意义?VF 2ABABABVVVFFFFFFFVVFF ABC(a)2FFllx(b)AFBFll第十三章第十三章 能量法能量法材料

23、力学能量法材料力学能量法PPT课件课件37 讨论讨论FV 的意义的意义FFABBAFV 代表代表ABAB两点的相对位移两点的相对位移若两个若两个F共线反向，共线反向，为两载荷对应的相对线位移为两载荷对应的相对线位移FV MV 的意义的意义A AB BMMBAMV 若两个若两个M反向，反向，为两载荷对应的相对角位移为两载荷对应的相对角位移MV 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件38由由A、B 两节点平衡两节点平衡123,2,0NNNFF FF F 3121,2,0NNNFFFFFF 3121122331NNNAxNNNFFFFlFlFlEAFFF 12 2F

24、lEA 例：例：各杆各杆EA，求，求A点水平位移及点水平位移及AB转角转角FAl12B3Cl解：解：（1）计算）计算A点水平位移点水平位移 由整体平衡由整体平衡,ByCyCxFFF FF ByFCyFCxF第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件39问题问题 若由卡氏定理计算若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么办？，附加载荷怎么办？AB FAl12B3Cl 12112201221eNNABNNMeeFFFFlFlEAMMEA 123,2(),NeNeNeFFMlFFMlFMl 312211,NNNeeeFFFlllMMM 在在A、B 两点加附加力两点加附加力eMle

25、MleMl第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件40作业作业13138 813139 913-1113-1113-1213-12第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件41回顾刚体虚功原理回顾刚体虚功原理处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：虚位移：满足约束条件的微小位移满足约束条件的微小位移 虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关 虚功原理同样适用于变形体虚

26、功原理同样适用于变形体第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件42关于变形体的虚功原理关于变形体的虚功原理q(x)A A变形体的虚位移或变形体的虚位移或可能位移：可能位移：满足位移边界条件满足位移边界条件及及变形连续条变形连续条件件的任意的任意微小微小位移位移梁微段梁微段刚体虚位移刚体虚位移虚变形虚变形不同于刚体不同于刚体dxd*dxd*dxd*dxd*A AA AA AA A以上哪个是可能位移？以上哪个是可能位移？第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件43可能内力：可能内力：满足平衡方程与静力边界条件的内力满足平衡方程与静力边

27、界条件的内力 对于静定系统，可能内力即为真实内力对于静定系统，可能内力即为真实内力 静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是真实内力移边界及连续条件的可能内力才是真实内力变形体的可能内力变形体的可能内力：q(x)A A第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件44变形体的外力虚功与内力虚功变形体的外力虚功与内力虚功：q(x)lA Axdx外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：外力在虚位移上所作的功外力在虚位移上所作的功eW可能内力在微段虚变形上所作的功之和可能内力在微段虚变形上所作的功之和iWdx

28、xwqWle )(*iNSdWFdM dT dFddxd*dxd*dxd*dxd*注意：注意：1、外力在虚变形、外力在虚变形上不做功上不做功2、内力和外力虚功都没、内力和外力虚功都没有系数有系数1/2iidWW虚位移虚位移)(*xw第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件45变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？变形体的外力虚功与内力虚功之间有何关系？方法：方法：分别从分别从两个角度两个角度分析微段上力系的总虚功，然后分析微段上力系的总虚功，然后各自积分，最后比较各自积分，最后比较 从微段的受力角度：从微段的受力角度：微段上作用有外力和内力微段上作用有外力和内

29、力 从微段的变形角度：从微段的变形角度：微段上有刚体虚位移和虚变形微段上有刚体虚位移和虚变形第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件46变变刚刚dWdWdW 力系在刚体虚位力系在刚体虚位移上所作虚功移上所作虚功力系在虚变形上力系在虚变形上所作虚功所作虚功刚体虚功原理刚体虚功原理0 刚刚dW外力在虚变形上不作功外力在虚变形上不作功内变内变变变dWdW 内力在虚变形内力在虚变形上所作虚功上所作虚功内内变变dWdW iWdWW 内内变变从微段的从微段的变形角度变形角度研究研究微段上力系在虚位移上所作总虚功微段上力系在虚位移上所作总虚功：q(x)FSFNMT微段上的力系

30、微段上的力系第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件47内内外外dWdWdW 外力在虚位移上所作虚功外力在虚位移上所作虚功内力在虚位移内力在虚位移上所作虚功上所作虚功eWdWW 外外 内内外外dWdWW lllllllnnndWdWdWdWdW1122110内内内内内内内内内内1 1、内力均作用于切开面上、内力均作用于切开面上2 2、切开处的两面上，内力大小相等、方向相、切开处的两面上，内力大小相等、方向相 反，虚位移相同反，虚位移相同 0内内dWq(x)FSFNMT从微段的从微段的受力角度受力角度研究研究微段上力系在虚位移上所作总虚功微段上力系在虚位移上所作总

31、虚功：微段上的力系微段上的力系第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件48iWdWW 内内变变eWdWW 外外ieWW 处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所作 虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。虚功，恒等于可能内力在虚变形上所作虚功。变形体虚功原理变形体虚功原理第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件49例：例：验证虚功原理验证虚功原理q(x)lA Axdx虚位移虚位移)(*xwdxxwqWle )(*liMdW*dxxwdxdFdxxwqWlSle )()(*dxFdxxdwxwF

32、dxxwdxdFlSlSlS )()()(*0*dxxdMFS)(位移边界条件与变形连续条件位移边界条件与变形连续条件0)()0(*lww)()(*xdxxdw 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件50 dxFdxxdwxwFdxxwdxdFlSlSlS )()()(*0*0)()0(*lww)()(*xdxxdw dxxdMFS)(dxxdxdMWle)(*llxdxMxxM)()()()(*0*ileWMdW *,0)0(*0)(lM位移边界条件位移边界条件静力边界条件静力边界条件第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件5

33、1 关于虚功原理：关于虚功原理：内力与外力平衡内力与外力平衡外力在虚位移作功外力在虚位移作功=内力在虚变形作功内力在虚变形作功 虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，移，与外力可以彼此独立与外力可以彼此独立 虚变形是与虚位移相对应的变形虚变形是与虚位移相对应的变形 适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件52 回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法回顾求杆或杆系轴线上一点位移的计算方法 直接计算法直接计算法 (画变

34、形图、积分法等画变形图、积分法等)利用功能原理利用功能原理 VW 利用卡氏定理利用卡氏定理kkFV 不适宜解决复杂问题不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移只适用于线弹性体只适用于线弹性体单位载荷法单位载荷法：更一般的方法，应用更广泛，更方便。：更一般的方法，应用更广泛，更方便。第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件53 单位载荷法单位载荷法 理论基础：理论基础：变形体虚功原理变形体虚功原理 目标：目标：变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿 任一方向的位

35、移任一方向的位移q(x)FAnn例：求任一例：求任一A截面沿任一方向截面沿任一方向n-n方向的位移方向的位移 A截面上没有作用广义力截面上没有作用广义力 杆系结构上作用有多个广义力杆系结构上作用有多个广义力 所求位移不为某一广义力的相应位移所求位移不为某一广义力的相应位移第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件54Ann1方法一：卡氏定理方法一：卡氏定理方法二：虚功原理方法二：虚功原理 处于平衡状态的变形体，处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做功等于内力在虚外力在虚位移上所做功等于内力在虚变形上所做功。变形上所做功。选择单位载荷状态选择单位载荷状态 选择虚位

36、移选择虚位移将真实载荷状态下的位移作为虚位移将真实载荷状态下的位移作为虚位移q(x)FAnn第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件55Ann1研究单位载荷状态，并取真实载荷引研究单位载荷状态，并取真实载荷引起的位移作为虚位移。起的位移作为虚位移。虚功原理的表达式：虚功原理的表达式：inAW ,1真实载荷在微段引起的虚变形：真实载荷在微段引起的虚变形：dddd,单位载荷在微段引起的内力：单位载荷在微段引起的内力：)()()()(xFxTxMxFSNzlzylyllNnAdxMdxMdxTdxF )()()()(,忽略剪力的影响忽略剪力的影响q(x)FAnn第十三

37、章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件56zlzylyllNnAdxMdxMdxTdxF )()()()(,对于线弹性体：对于线弹性体：tNGIdxxTdEAdxxFd)()(zzzyyyEIdxMdEIdxxMd )(dxEIxMxMdxEIxMxMdxGIxTxTdxEAxFxFlzzzlyyyltlNNnA )()()()()()()()(,(a)(b)第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件57 关于单位载荷法的说明：关于单位载荷法的说明：应用应用(a)(a)式，不受材料性质的限制式，不受材料性质的限制(但须满足小变形条件但须

38、满足小变形条件)应用应用(b)(b)式，只能是线弹性体式，只能是线弹性体 式中的式中的 A,A,n n也可以是转角也可以是转角(此时单位载荷状态加的此时单位载荷状态加的 是单位力偶是单位力偶)q(x)FAxzA1第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件58 式中的式中的 A,n还可以是两截面的相对位移或相对转角还可以是两截面的相对位移或相对转角(此此 时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶时单位载荷状态加的是一对反向的单位力或单位力偶)FFAB原始受力状态原始受力状态11AB单位载荷状态单位载荷状态11AB单位载荷状态单位载荷状态 按以上公式求出的按以上

39、公式求出的位移为正，则说明所求位移方向与位移为正，则说明所求位移方向与 所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。所加单位载荷同向，为负，则说明两者反向。第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件592.2.分段建立弯矩方程分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便圆弧段用极坐标方便例例:弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求A点铅垂位移点铅垂位移 FABCR xao分析步骤：分析步骤：1.1.配置单位载荷状态配置单位载荷状态1ABCR xao第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法

40、PPT课件课件60解：解：AB段：段：()M xFx()M xx BC段：段：()(sin)MF aR ()sinMaR 200()()()()aAM x M x dxMMRdEIEI 22001(sin)aFx xdxF aRRdEI 3232(2)324FaRaRaREI FABCR xao1ABCR xao第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件61例：杆例：杆1 1，物理非线性，物理非线性 ，杆，杆2 2，物理线性，物理线性，已知杆横截面积均为，已知杆横截面积均为A A，求，求 B Bc E F12l45o1解：解：原载荷状态下原载荷状态下的内力方程的内

41、力方程配置单位载荷状态配置单位载荷状态 BFFFFNN2 ,212 ,121NNFF21iiNiNiBlEAFFiiNiiiliNiBlFdF2121EAFlEAlFlN2222222221111lAlFlcll第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件62作业作业131315151313161613-17(b)13-17(b)13-18(a)13-18(a)第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件63上一讲回顾上一讲回顾虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理F1F2虚位移虚位移3虚位移虚位移2虚位移虚位移1F2在虚位移在虚位移3上的相应

42、位移上的相应位移 2F1在虚位移在虚位移3上的相应位移上的相应位移 1外力在虚位移外力在虚位移3上做的总功上做的总功22113FFWe可能内力在虚变形可能内力在虚变形3上做的总功上做的总功333)()(dxMdxFWNi单位载荷法单位载荷法A问题：求解问题：求解A点沿点沿45角方向的位移角方向的位移 451.1.配置适当的单位载荷状态配置适当的单位载荷状态12.将梁在将梁在F1，F2作用下的实际变形作用下的实际变形 作为单位载荷下变形体的虚位移作为单位载荷下变形体的虚位移33ieWW同理同理2211 ,ieieWWWWdxEIxFdxEIxMddxEAFdxEAxFdN12)()(那么，该单位

43、载荷在虚位移上的相应那么，该单位载荷在虚位移上的相应位移就是所求的位移就是所求的 45，外虚功为外虚功为1 45微段的虚变形（在微段的虚变形（在F1、F2作用下的实作用下的实际变形，假设变形体弹性）为际变形，假设变形体弹性）为（与单位外载荷相对应的）可能内力在（与单位外载荷相对应的）可能内力在虚变形上做的总功（内虚功）为虚变形上做的总功（内虚功）为)4852(22)()5.0(2222)()(31215.025.0EIlFEAlFdxEIxFlxdxEAFdxMdxFWlllNi由虚功原理可得：由虚功原理可得：)4852(2213124545EIlFEAlF第十三章第十三章 能量法能量法材料力

44、学能量法材料力学能量法PPT课件课件6421()2M xx 221()2M xqx 根据对称性根据对称性2111222002()()()()aaCM xM xdxM xM xdxEI 411()384qaEI 例例:弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求C点挠度点挠度 和和A点转角点转角C A ADBCqa2a2a解：解：（1）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态C ADBC11x2x11()8M xqax 11()4M xx 8qa2qa1412真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯真实载荷与单位载荷下竖直杆的弯距正负，要按同一标准判断！距正负，要按同一标准判断！第十三章第十三章 能量法能量法材料力学

45、能量法材料力学能量法PPT课件课件6511()8M xqax 1()1xM xa 2()0M x 221()2M xqx 根据对称性根据对称性11101()()aAM xM xdxEI 348qaEI 011(1)8axqxdxEIa 负值说明实际转动方向与施加的单位载荷方向相反 解：解：（2）求）求 ，配置单位载荷状态，配置单位载荷状态A ADBCqa2a2a8qa2qaADBC1x2x1a11第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件66解：解：123,2,NNNFF FF FF 450,2NNFFF （1 1）求）求AB 例例:各杆各杆EA，求，求AB杆转角

46、杆转角 ，A、D点相对位移点相对位移AB AD AB1234CDll52FF123110,NNNFFFll 450NNFF 配置单位载荷系统配置单位载荷系统AB1234CDll51l1l23231()NNABNNFFFFEA 3FEA l第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件67AD（2 2）求）求123111,222NNNFFF 451,12NNFF 解：解：123,2,NNNFF FF FF 450,2NNFFF AB1234CDll52FF配置单位载荷系统配置单位载荷系统AB1234CDll511123512351()NNNNADNNNNFFFFFFFF

47、EA 2()FlEA l第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件68分析步骤：弯扭组合分析步骤：弯扭组合（1 1）建立）建立F作用下的作用下的弯矩、扭矩方程弯矩、扭矩方程（2 2）配置单位载荷并建立单位载荷状）配置单位载荷并建立单位载荷状态的弯距、扭矩方程态的弯距、扭矩方程（3 3）求相对位移）求相对位移例例:图中图中 F=80N,=240MPa,E=200GPa,G=80GPa R=35mm,d=7mm,忽略开口宽度忽略开口宽度 求开口沿求开口沿F 方向相对位移方向相对位移 oFRdF第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件69

48、（1 1）求沿）求沿F 载荷作用下的内力方程载荷作用下的内力方程()sinMFR ()(1cos)TFR 沿沿F 方向加一对单位力方向加一对单位力()(1cos)TR F oRF TM()sinMR 002()()()()A AMMRdTTRd 313()2.1762FRmmIEG 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件70思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环思考：如果开口端面上作用一对扭力偶，该开口小曲率环形杆是一种什么样的变形状态？形杆是一种什么样的变形状态？第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件71求解思路

49、讨论：求解思路讨论：A 点在与点在与F 垂直方向位移垂直方向位移0A 例例:A点位移与点位移与F 方向相同，求角方向相同，求角 F ABoR配置单位载荷系统配置单位载荷系统 ABoR 1第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件72()cos(1cos)sinsinMFRFR ()sin(1cos)cossinMRR 201()()0AMMRdEI 1tan 24 1212249.36,2130.6424.68,65.32 F ABoR ABoR 1第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件73aaaAqBC例：已知例：已知EI，求，

50、求 A左左、A右右x2x1qRARBRAx3ABC1解：解：322ABqaqaRR2112233()()22()2qqaM xxM xxqaM xx (1)求求 A左，左，配置单位载荷配置单位载荷123()0()0()1M xM xM x EIqadxqaxEIdxxMxMEIaa4)211)()(130330333左第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件74(2)求求 A右右21233()0()1()xM xM xaxM xa 312AqaEI 右右ABC11/AAA 左左 右右左左右右ABC1x2x1x3第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学

51、能量法PPT课件课件75作业作业1313282813133030第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件76第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件77经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；经典梁理论中，忽略了剪切对梁变形的影响；前一章在计前一章在计算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响算梁的应变能时，同样忽略了弯曲剪切变形的影响剪切对梁的变形究竟有多大的影响？剪切对梁的变形究竟有多大的影响？如何用能量法简捷并定量地加以评价？如何用能量法简捷并定量地加以评价？第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT

52、课件课件78 zIyxM )()4(2)()(22yhIxFbISxFzSzZS 梁的梁的应变能密度表达式：应变能密度表达式：Eu22 Gu22 Eu2?2122GEu第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件79一、考虑剪切效应时一、考虑剪切效应时梁的应变能梁的应变能y ydydxbdy ()zM xyI zyh/2h/2bxdx 矩形截面梁矩形截面梁22/2 -/21d d2hlhVb x yEG dxGAxFdxEIxMlSlz 02022)(562)(223()(1)2SFxybhh 4第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课

53、件802200()()6252llSzFxMxVdxdxEIGA 矩形截面梁应变能矩形截面梁应变能一般截面梁应变能公式（对称弯曲）一般截面梁应变能公式（对称弯曲）22SS ()()dd22llzFxMxVxkxEIGAkS剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响剪切形状系数，与截面形状有关，截面形状影响截面切应力分布。截面切应力分布。各种截面各种截面kS之值如下：之值如下：第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件81二、计及剪切变形效应的梁位移公式二、计及剪切变形效应的梁位移公式由卡氏定理由卡氏定理kkVF ()()()()SSkSllkkFxFxM xM x

54、dxkdxEIFGAF 22SS ()()dd22llzFxMxVxkxEIGA梁应变能梁应变能第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件82由单位载荷法由单位载荷法()()kSllM x dFx d SSS ()()()()d dkllk Fx FxM x M xxxEIGA 微段应变能微段应变能()1()1()d()d22SSSzk FxM xdVM xxFxxEIGA 微段相对转角和剪切变形微段相对转角和剪切变形()(),SSk FxM xdddxEIGA 22SS ()()dd22llzFxMxVxkxEIGA梁应变能梁应变能第十三章第十三章 能量法能量法

55、材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件83例：例：（1 1）求图示悬臂梁自由端）求图示悬臂梁自由端挠度，（挠度，（2 2）研究剪力的影响。）研究剪力的影响。0()()()()SSASllaaFFxFxM xM xwdxkdxEIFGAF 21()2aM xF xqx ()SaFxFqx 42211124()()()(1)(1)285AllqlEIwqxx dxqxdxEIGAEIGAl bzyhCqlA解：解：采用卡氏定理采用卡氏定理 （1 1）在）在A A点施加附加载荷点施加附加载荷F Fa a，Fa()(),1SaaFxM xxFF 201(),2aFM xqx 0(),aSFFxqx

56、 第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件844224(1)85AqlEIwEIGAl 式中第二项代表剪力的影响。式中第二项代表剪力的影响。（2 2）研究剪力的影响。）研究剪力的影响。对矩形截面对矩形截面：I/A=h2/12，并设并设：1/3,1/3,则则 E/G=8/3=8/3，2416(1)815AqlhwEIl 不计剪切变形不计剪切变形4*8AqlwEI l/h=3,e=10.4%l/h=5,e=4.27%l/h=10,e=1.07%,相对误差相对误差*AAAwwew 结论：对一般实心截面梁，结论：对一般实心截面梁，当当l/h5时，可不计剪力的时，可不计剪力的影响。影响。第十三章第十三章 能量法能量法材料力学能量法材料力学能量法PPT课件课件85作业作业13-42