正项级数及其审敛法IV

《正项级数及其审敛法IV》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正项级数及其审敛法IV（28页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 Interrogate of positive term series微微积积分分电电子子教教案案pxy1 x012.nn 1 y三、比值审敛法三、比值审敛法二、比较审敛法二、比较审敛法四、根值审敛法四、根值审敛法一、正项级数的定义一、正项级数的定义 与收敛准则与收敛准则2/29、比较法的极限形式、比较法的极限形式定理：定理：设设 与与 都是正项级数都是正项级数,且且 1nnu 1nnvlvunnn lim 若若 ,则则 1nnu 与与 有相同的敛散性有相同的敛散性;1nnv l0 若若l=0,且且 收敛收敛,则则 也收敛；也收敛；1nnv 1nnu ，且且 发散，则发散，则 也发散。也发散

2、。若若 1nnv 1nnu l 1nnu(在这个判别法中在这个判别法中,未知的未知的 ,已知的已知的 )1nnv3/29解解 2321321limnnnnn 3lim22 nnn,1 原级数发散原级数发散.)2(nnnn13lim2 32lim232 nnnnn,1,1123收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.例例7 7 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:1212321)2(;3)1(nnnnnnn,11发发散散 nn4/29解解 221)11ln(limnnn ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1)11ln(lim ,1,112收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.例例8

3、 8 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:121)11ln()2(;)11ln()1(nnnn,11发发散散 nn5/29例例.判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：先猜敛散性先猜敛散性,再找已知敛散性的级数再找已知敛散性的级数,最后下结论最后下结论1)1)收，收，2)2)收，收，3)3)发。发。1111tan)3(,)1cos1()2(,2sin)1(nnnnnn 6/29例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 1121)/sin()3ln)2)1()1nnnnnnnnn 解：解：1)1111)1(nnnnnn2/11/111lim nn 1)1(nnn所以所以 发散发

4、散.11nn又又 因因 发散，发散，nnnnnnnn 1lim1/11lim7/29nnnnnn1ln1222 它在收敛和发散级数之间它在收敛和发散级数之间xxxxxx211limlnlim xx2lim 0 0lnlim nnn收收敛敛而而 1231nn收收敛敛 12lnnnn例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 1121)/sin()3ln)2)1()1nnnnnnnnn 解：解：2)找找 比较，因为比较，因为 12/31nn/ln/lnlimlim/23 21nnn nnnn 8/29 因为因为 所以所以nn sin2)/sin(nnn 1/)/sin(lim2 nnnn 又

5、又 因因 收敛收敛，12nn 所以所以 也收敛也收敛 1)/sin(nnn 例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 1121)/sin()3ln)2)1()1nnnnnnnnn 解：解：3)9/29例例10.10.若若 则正项级数则正项级数0lim nnun 1nnu发散发散0lim1lim nnnnunnu证明证明：因为：因为又又 发散，由比较判别法知发散，由比较判别法知 发散发散 11nn 1nnu例例11.11.证明证明:若正项级数若正项级数 收敛，则收敛，则 收敛收敛 但反之不真（举例说明）但反之不真（举例说明）1nnu 12nnu证：证：因为因为 收敛，所以收敛，所以 1n

6、nu0lim nnu又又 ，由比较判别法得由比较判别法得 收敛收敛0lim/lim2 nnnnnuuu 12nnu例如：例如：发发散散收收敛敛，但但是是 11121211nnnnnnnunu10/29 nnnnnuuu11lim为为正正项项级级数数，若若有有设设则则(1)1,级数收敛；级数收敛；(2)1(2)1 +,级数发散；级数发散；(3)=1,此法失效此法失效.*比值判别法也称为达朗贝尔判别法比值判别法也称为达朗贝尔判别法定理定理.,!常常用用比比值值法法时时或或的的指指数数函函数数当当级级数数一一般般项项含含有有nann比值判别法的适用范围：比值判别法的适用范围：.,1lim1也也可可能

7、能发发散散则则级级数数可可能能收收敛敛注注意意：若若 nnnuu.1,1121收收敛敛发发散散例例如如：nnnn11/29 11121)2)(1(1)4(,!)3(,2)2(,10!)1(:nnnnnnnnnnnnn判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性解：解：例例1 1nnnnnnnnuu10!10)!1(limlim)1(11 101lim nn1 .原原级级数数发发散散nnnnnnnnuu22)1(limlim)2(2121 121)1(21lim2 nnn.原原级级数数收收敛敛nnnnnnnnnnuu!)1()!1(limlim)3(11 nnnnn)1(lim nnn)11(1li

8、m 11 e.原原级级数数收收敛敛12/29 11121)2)(1(1)4(,!)3(,2)2(,10!)1(:nnnnnnnnnnnnn判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性解：解：例例1 1)2)(1(1)3)(2(1limlim)4(1 nnnnuunnnn31lim nnn1:,用用比比较较法法比比值值法法失失效效)21)(11(1lim1)2)(1(1lim2nnnnnnn 1,112收收敛敛而而 nn.)2)(1(1:1收收敛敛由由比比较较法法知知 nnn13/29例例2 2的的敛敛散散性性判判别别级级数数 1223cosnnnn 解：解：nnnnn223cos2 13cos n

9、来说，由于来说，由于对于级数对于级数 12nnnnnnnnnnnuu221limlim11 nnn21lim 121 收收敛敛，由由比比值值判判别别法法知知 12nnn.23cos12也也收收敛敛再再由由比比较较判判别别法法知知 nnnn 14/29例例3.3.)0()2(1 xxnnn的的敛敛散散性性判判别别级级数数解：解：112)1(,2 nnnnxnuxnu 21limlim1xnnuunnnn,2012/0 xx由由此时原级数收敛此时原级数收敛,212/xx由由此时原级数发散此时原级数发散,212/xx由由原级数为原级数为 发散发散 1nn综上综上)0()2(1 xxnnn 当当 0

10、x 2时，时，收敛收敛2 x当当 时，时，发散发散2x 15/29定理：定理：设设 为正项级数，若为正项级数，若 1nnurunnn lim则则 r 1,级数发散；级数发散；r=1,此法失效此法失效.*根值判别法也称为柯西判别法根值判别法也称为柯西判别法.,使使用用根根值值法法较较为为方方便便次次方方时时为为某某个个式式子子的的当当级级数数一一般般项项可可以以表表示示n根值判别法的适用范围：根值判别法的适用范围：16/29例例4.4.的的敛敛散散性性判判别别级级数数nnnn 113解：解：3/113limlim nnunnnn故原级数收敛故原级数收敛例例5 5)0()1(1 knknnn的的敛

11、敛散散性性判判别别级级数数解：解：knknunnnn 1limlim 1 10级级数数发发散散级级数数收收敛敛kkk=1时原级数为时原级数为nnnn 11，因因01lim eunn级数发散级数发散一、任意项级数的定义 Interrogate of any term series 微微积积分分电电子子教教案案pxy1 x012.nn 1 y三、绝对收敛与条件收敛二、交错级数敛散性判别法18/29 所谓所谓任意项级数任意项级数，是指级数是指级数 中的每一项都是中的每一项都是任意实数任意实数.1nnu.1)1(.41312111 nn.01010101)2sin(1 nn 例如：例如：任意项级数敛散

12、性的确定比较困难，我们先研究一任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一种特殊的任意项级数：种特殊的任意项级数：交错级数交错级数19/29形如形如 的级数称为的级数称为交错级数交错级数 )0()1(11 nnnnvv其特点在于：其特点在于：级数的各项正、负相间级数的各项正、负相间.例例1.1.指出下列级数中的交错级数：指出下列级数中的交错级数：nnn1)1()1(112 、交错级数的定义、交错级数的定义 1cos1)4(nnnn 2111)1()2(nnn nnn1)1()3(1 20/29定理定理、交错级数判别法、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)(1)0lim nnv(2)

13、,.)2,1(1 nvvnn则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和1vS 若交错级数若交错级数 满足满足:nnnv 11)1(证明：证明：nnnvvvvvvS21243212 nnnvvvvvvvv2121254321)()()(单单调调增增加加表表明明部部分分和和数数列列nS2)1(有有界界表表明明部部分分和和数数列列nS2)2(12vSn 存存在在nnS2lim SSnn 2lim记记为为(1)(2)21/29证明：证明：12212 nnnvSSSSnn lim 总总有有)(limlim12212 nnnnnvSSSSvSnnnn 0limlim122故原级数收敛。故原级数收敛。

14、定理定理(1)0lim nnv(2),.)2,1(1 nvvnn则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和1vS 若交错级数若交错级数 满足满足:nnnv 11)1(、交错级数判别法、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)22/29思考：思考：若条件不满足若条件不满足,交错级数敛散性如何？交错级数敛散性如何？若条件不满足若条件不满足,交错级数敛散性如何？交错级数敛散性如何？发散发散不定不定定理定理(1)0lim nnv(2),.)2,1(1 nvvnn则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和1vS 若交错级数若交错级数 满足满足:nnnv 11)1(、交错级数判别法、交

15、错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)23/29例例2 2 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 11111)1()2(1)1()1(nnnnnnn解解:11,11 nvnvnn显然显然01limlim nvnnn1111 nnvnnv.1)1(11收敛收敛 nnn因为因为1)1(1 nnunn0lim nnu且且由级数收敛的必要条件知原级数发散由级数收敛的必要条件知原级数发散.24/29例例3 3 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 111)1()1()2()1ln(1)1()1(nnnnnnn解解:)1ln(1limlim nvnnn)1ln(1 nvn.原级数收敛原级数

16、收敛)1(limlimnnvnnn nnvn 11.原级数收敛原级数收敛nnn 11lim 1121 nvnn 1)2ln(1 nvn0 0 25/29证明：证明：pnnv1)2 pnnnnv1limlim)1 0 由莱布尼兹判别法知：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛原级数收敛.例例4 4.1)1(,0:11收收敛敛级级数数对对于于所所有有的的证证明明 npnnp1)1(1 npvn 26/29例例5.5.证明证明 收敛收敛 11ln)1(nnnn证证xxxfnnvnln)(,ln 令令由由01limlnlim xxxxx可知可知0lnlimlim nnvnnn又又2ln1)(xxxf 当当x

17、e 时时,0)(xf从而当从而当n2时时,有有 f(n)f(n+1),即即1 nnvv由莱布尼兹判别法可知：由莱布尼兹判别法可知：11ln)1(nnnn收敛收敛条件条件(1),(2)均均不好检验不好检验对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。27/29解解:该级数为交错级数该级数为交错级数1)()2 xxxf设设)1(0 x,1单单调调递递减减故故函函数数 xx)1()(nfnf1limlim)1 nnvnnn0 由莱布尼兹判别法知：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛原级数收敛.例例6 6.1)1(2的敛散性的敛散性判别级数判别级数 nnnn2)1(2)1()1()(xxxxxxf1 nnvv即即28/29作业：作业：习题习题11-2（P451）1(6,7);2(1,2,4);4