《平面直角坐标系》知识讲解

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1、平面直角坐标系复习与巩固知识讲解【知识网络】【要点梳理】 要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活 中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入， 可用(13, 2000), (17, 190), (21, 330)，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收 入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4, 5), (20, 12), (13, 2),，用来 表示电影院的座位,其中前一数表示排数,后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系,如下图：II3

2、第二象限2-第-象限一3 -2 -1OIII12第匸象限_31 2 3 xIV.第四象限要点诠释：(1) 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、 第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其他区域之间均没有 公共点.(2) 在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对(x, y)之间建立了一 一对应关系，这样就将形与数联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： X轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零. 平行于 x 轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横

3、坐标相等，纵坐标不相等. 关于 X 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于 y 轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数. 象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.注：反之亦成立.（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： 坐标平面内点P（x，y）到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|. X 轴上两点 A（X1， 0）、B（X2， 0）的距离为 AB=|X1 - X2|； y 轴上两点 C（0, y” D（0, y2）的距离为 CD=|yi - y2| . 平行

4、于x轴的直线上两点A（xy）、B（x2, y）的距离为AB=|x厂X2|； 平行于Y轴的直线上两点C（x,片）、D（x, y2）的距离为CD=|y；- y：|.（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 要点三、坐标方法的简单应用1. 用坐标表示地理位置（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.要点诠释：（1）我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点 的位置.（2）确定比例尺是画平面示意图

5、的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.2. 用坐标表示平移（1）点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点（x, y）向右（或左）平移a个单 位长度，可以得到对应点（x+a, y）（或（x-a, y）；将点（x, y）向上（或下）平移b个单位长度， 可以得到对应点（x, y+b）（或（x, y-b）.要点诠释： 上述结论反之亦成立,即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换.（2）图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a,相应 的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或 减去）一个正数a,

6、相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度.要点诠释： 平移是图形的整体运动,某一个点的坐标发生变化,其他点的坐标也进行了相应的变化, 反过来点的坐标发生了相应的变化,也就意味着点的位置也发生了变化,其变化规律遵循： “右加左减,纵不变；上加下减,横不变”.【典型例题】类型一、有序数对a1.数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a, b）进入其中时，会得到一个新的数： a2 + b +1 .例如把（3, -2）放入其中，就会有32 + （-2）+1 = 8,现将数对（-2, 3）放入其中得 到数m,再将数对（m, 1）放入其中，得到的数是【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对

7、得到新的数，只要按照新定义的数的运 算，把数对代入a2 + b +1求值即可.【答案】66 .【解析】解：将（-2, 3）代入,a2 + b +1，得（-2）2+3+1 = 8, 再将（8，1） 代入，得 82 +1+1= 66，故填： 66.【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2, 3）放入其中得到实数m,解出m的值，即 可求出把（m, 1）放入其中得到的数.举一反三：【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4 米，再向北走6米，记作（4，6），则向 西走5米，再向北走3米，记作；数对（-2，-6）表示.【答案】 （-5，3） ；向西走2米，向南走6米.类型二、平面直角坐标系输尸2.

8、（滨州）第三象限内的点P（x, y）,满足|x|=5, y2 = 9，则点P的坐标为.【思路点拨】点在第三象限，横坐标V0,纵坐标V0.再根据所给条件即可得到x, y的具 体值.【答案】 （-5，-3）.【解析】因为|x|=5, y2=9.所以x=5, y=3,又点P（x, y）在第三象限，所以xV0, yV0,故点P的坐标为（-5, -3）.【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象 限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）.举一反三：【变式1】（乐山）在平面直角坐标系中，点P（-3, 4）到x轴的距离为（）A. 3B. -3C. 4 D.

9、 -4【答案】 C.【变式 2】（长春）如图所示，小手盖住的点的坐标可能为（） .A. （5，2）B. （-6，3）C. （-4，-6）D. （3，-4）【答案】 D.类型三、坐标方法的简单应用Os.如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标.【思路点拨】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定X轴、y轴，建立不同的直 角坐标系，各顶点的坐标也不同.【答案与解析】解：建立直角坐标系如图所示，则各点的坐标为(-4, 0), (-3, 0), (-3, -4), (3, -4), (3， 0)， (4， 0)， (0， 3)，再建立不同的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标. (读者自

10、己 试试看)【总结升华】选择适当的直角坐标系可方便解题,一般尽可能使大多数的点的坐标为整数且 易表示出来.【高清课堂：平面直角坐标系单元复习8 (1)】 4.已知 A (-1, 0), B (5, 0), C (-2, -4),求AABC 的面积.【思路点拨】观察图形可知，三角形ABC的边AB在x轴上，根据点A、B两点横坐标的 差可计算出AB的长，AB边上的高等于点C的纵坐标的绝对值，由此可计算出 ABC的面 积.【答案与解析】解：由图可知，AB=5-( - 1)=6,高=4 = 4,1所以 ABC的面积=2 x 6x4二12 .答：AABC的面积为12平方单位.【总结升华】本例通过图形的转化

11、，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题点 的坐标能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分 广泛.5. ABC三个顶点坐标分别是A(4, 3), B(3, 1), C(1, 2).(1) 将厶ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得 A1B1C1的三个顶点坐标分 别是什么?(2) 将厶ABC三个顶点的横坐标都减去5,纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接 A2、B2、C2各点，所得 A2B2C2与厶ABC的大小、形状和位置上有什么关系？(3) 将厶ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、

12、C3各点，所得 A3B3C3与厶ABC的大小、形状和位置上有什么关系？【答案与解析】解：(DA/5, 1), B1(4, -1), C1(2, 0).(2) A2B2C2与厶ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把AABC向左平移5个单 位得到.(3) A3B3C3与厶ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把AABC向下移5个单位 得到.【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中， 横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵 坐标增大等价于向上平移.【高清课堂：平面直角坐标系单元复习 5】举一反三：【变式】33(1)

13、将点P( 25 ,-5)向左平移5个单位，再向上平移4个单位后得到的坐标为.3(2) 将点P向左平移匚个单位，再向上平移4个单位后得到P (2,-1),则点P的坐标为.51(3) 将点P(m-2, n+1)沿x轴负方向平移3个单位，得到P (1-m, 2),则点P坐标.1(4) 把点P/2, -3)平移后得点P2(-2, 3),则平移过程是.12肿【答案】(1)(2, -1)(2)( 2 ,-5) (3) (1,2)(4) 先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度；类型四、综合应用6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A (2, -1)、B (1, -3)、C (4, -3.5

14、).(1) 在直角坐标系中画出三角形ABC；(2) 把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC,试 写出三角形A.B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；(3) 求出三角形A1B1C勺面积.【思路点拨】(1)建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可.(2) 把三角形A.B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三 角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化 规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.写出三角形 A1B1C1三个顶点的坐标, 从坐标系中

15、画出图形(3) 把厶ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得A1B1C勺面积.【答案与解析】1 1 1解: (1)如图 1，C2）如图 2， A1（-2， 2）， B1（-3， 0）， C1（0， -0.5）C(3) 把厶A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去， 即可求得厶ABC的面积=3X2.5-1-2.5-0.75=3.25./.A1B1C的面积=3.25.【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换.注意平移时，要找到三角形各 顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。举一反三：【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的 坐标分别为(-3， 2)和(3， 2)，则矩形的面积为().A. 32 B. 24C. 6 D. 8【答案】 B.