第一讲二元一次方程组讲解

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1、 第 1 页 第一讲 二元一次方程组【知识点一：二元一次方程的定义】经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是 1，系数都不为 0，这样的整式方程称为二元一次方程。二元一次方程的标准式：00,0axbycab 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yca xb yc（其中1a，2

2、a，1b，2b不同时为零）（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思 4.二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组6252yxyx无解，而方程组2221yxyx 的解有无

3、数个.在下列方程中，只有一个解的是（）A.1330 xyxy B.1332xyxy C.1334xyxy D.1333xyxy【总结升华】在111222a xb yca xb yc（其中1a，2a，1b，2b均不为零），（1）当121222aacabc时，方程组无解；（2）当121222aacabc，方程组有无数组解；（3）当1222aaab，方程组有唯一解 第 1 页 例 1 已知方程：2xy3；x12；x33y5；xxy10；xyz6.其中是二元一次方程的有_（填序号即可）2 若关于 x、y 的方程12mmxy是二元一次方程，则 m=2 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）。A、B、C

4、、D、【巩固练习】1、已知下列方程组：（1）32xyy，（2）324xyyz，（3）1310 xyxy，（4）30 xyxy，其中属于二元一次方程组的个数为（）A1 B.2 C 3 D 4 2、若753313mnmyx是关于 x、y 二元一次方程，则 m=_，n=_ 3 如果（a2）x+（b+1）y=13 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a，b 满足什么条件？【知识 点 2）一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为bayx

5、的形式.例 3、方程组422yxyx的解是（）第 1 页 A21yx B13yx C20yx D02yx【巩固练习】二元一次方程 5a11b=21 （）A有且只有一解 B有无数解 C无解 D有且只有两解 1、当1 mx，1 my满足方程032myx，则m_.2、下面几个数组中，哪个是方程 7x+2y=19 的一个解（）。A、31xy B、31xy C、31xy 3、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A228423119.23754624xyxyabxBCDxybcyxxy 4、若2x23y20（），则的值是 A1 B2 C3 D 5、已知2,3xy 是方程xky1的解，那么k _ 6、已知

6、2x12y10（），且2xky4，则k _ 7、写一个以57xy为解的一个二元一次方程是_ 第 1 页 第二讲 二元一次方程组的解法.代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成baxy（或bayx）的形式；将baxy（或bayx）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；把x（或y）的值代入baxy（或bayx）中，求y（或x）的值；用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(

7、1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未

8、知数的系数绝对值相等的形式；根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；将两个未知数的值用“”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.方法一：代入消元法【典型例题】例 1：用代入消元法解方程组 27838100 xyxy 第 1 页 我们通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这

9、种解法叫做代入消元法。【巩固练习】1、方程x4y15 用含 y 的代数式表示，x 是（）Ax4y15 Bx154y Cx4y15 Dx4y15 2、把方程7x2y15写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，得（）Ax=215152715157.7722xxyxxB xC yD y 3、用代入法解方程组252138xyxy 较为简便的方法是（）A先把变形 B先把变形 C可先把变形，也可先把变形 D把、同时变形 4、将y2x4 代入3xy5可得（）A3x2x45 B3x2x45 C3x2x45 D3x2x45 5、判断正误：（1）方程3x2y22变形得y1 3x （）（2）方程x3y12x写成含y

10、的代数式表示x的形式是x3y12x （）6、把下列方程写成用含 x 的代数式表示 y 的形式：3x5y21 2x3y11;4x3yxy1 2xy3xy1（）（）第 1 页 7、用代入消元法解下列方程组（1）)5(3)1(55)1(3xyyx（2）382101187xyxy 【综合训练】8、已知1331024xaxyyxby 是方程组的解，求 a、b 的值 9、已知方程组43,322,xyxy则xy的值是（）A 1 B 1 C 0 D 2 10、已知31xy和211xy 都满足axby7，则a ，b 11、已知二元一次方程组941175yxxy的解为xayb，则ab（）A1 B11 C13 D1

11、6 第 1 页 方法二：加减消元法 我们知道，对于方程组:20240 xyxy 分析：定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例 1、方程组231534mnmn中，n 的系数的特点是 ，所以我们只要将两式 ，就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的 例 2、用加减法解341236xyxy时，将方程两边乘以 ，把方程两边乘以 ，可以比较简便地消去未知数 【方法掌握要诀】用加减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数，即它们的绝对值相等

12、当未知数的系数的符号相同时，用两式相减；当未知数的系数的符号相反时，用两式相加。方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 (黄冈调考)解方程组2()5335()322xyyxyy 第 1 页 【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事

13、半功倍的效果 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组16105610 xyxyxyxy 【巩固练习】1、用加减法解方程组326231xyxy时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，以下四种变形正确的是（）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693xyxyxyxyxyxyxyxy A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（4）（1）2、对于方程组2353433xyxy而言，你能设法让两个方程中 x 的系数相等吗？你的方法是 ；若让两个方程中 y 的系数互为相反数，你的方法是 3、用加减消元法解方程组23537xyxy正确的方法是（）

14、A2x5得 B3x12得 C3x75得 Dx3y7x2 先将变为，再得 4、在方程组341236xyxy 中，若要消 x 项，则式乘以 得；式可乘以 得；然后再两式 即可 5、方程组356234xyxy，3-2 得（）A3y2 B4y10 Cy0 D7y8 6、方程组1325yxxy的解是（）第 1 页 A3333.2422xxxxBCDyyyy 7、用加减法解下列方程组：（1）383799215(2)(3)274753410 xymnxyxymnxy 8、用合适的方法解下列方程组：（1）4022356515(2)(3)322242133yxxyxyxyxyxy 1323241yxxy (5)

15、12,32(1)11;xyxy (6)21322,5431320.54xyxy 4513453xyxy (1)(2)(3)x 2y z8x y1x 2z 2y 3 若543zyx，且1823zyx，求zyz35 的值；:3:213532x yxy)()(yxyxxy 第 1 页 在方程bkxy中，当 x=0 时，y=4，当x=1 时，y=0，那么k=，b=。927xyyx ayxayx343525(其中a为常数)解方程组21,399335,222431.33xzyyzxyzx 解方程组312,23,3716.xyzxyzxyz 【提高练习】1 对于 x、y，规定一种新的运算：x*yaxby，其

16、中 a、b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 3*515，4*728，则 ab_.2 已知0)5(2yxyx那么x和y的值分别是（）A、25，25 B、25，25 C、25，25 D、25，25 3.abyx3521和bayx4223是同类项，那么a、b的值为（）A、21ba B、07ba C、530ba D、12ba 第 1 页 4 已知方程组9.30531332baba的解是2.13.8ba，则方程组9.301523131322yxyx的解是（C ）A2.13.8yx B2.23.10yx C2.23.6yx D2.03.10yx 5 二元一次方程组437(1)3xykxky的

17、解 x，y 的值相等，求 k 6 已知方程组22331xykxyk的解 x 和 y 的和等于 6，k=_ 若，则_.解答题 7 已知232xyaxya，求xy的值 8 如果二元一次方程组1532234axbyxaxbyy的解是，则ab=9.方程组yxyx的解也是方程的解，则是（）第 1 页 、10如果方程组的解与方程组的解相同，则的值为（）.A.-1 B.2 C.1 D.0 11 若方程组13yxyx与方程组32ynxmyx同解，则 m=12 若方程组8)1(534ykkxyx的解中x 的值比 y 的值的相反数大 1,则 k 为()A、3 B、一 3 C、2 D、一 2 13 满足方程组myx

18、myx32253 的 x,y 的值的和等于 2，求 m2-2m+1 的值。14、若 4x-3y=0 且 x0，y0,则的值为4545xyxy()A.131 B.31 C.-14 D.32 15 解关于 x,y 的方程组239cyxbyax时，甲正确地解出42yx ,乙因为把 c 抄错了，误解为14yx,求 a，b，c的值 16 已知方程组51542axyxby，由于甲看错了方程中的 a 得到方程组的解为131xy ，第 1 页 乙看错了方程中的 b 得到方程组的解为54xy。若按正确的 a、b 计算，求出原方程组的正确的解。17 对于未知数为x的方程xax21，当a满足_时，方程有唯一解，而当

19、a满足_时，方程无解。18、关于 x 的方程：（p+1）x=p-1 有解，则 p 的取值范围是_ 19.解下列方程：当 m时，方程组21132myxyx有一组解。20 字母系数的二元一次方程组（1）当a为何值时，方程组2133axyxy有唯一的解 分析：（2）2：6x+2y=6 (3)(3)-(1):(6-a)x=5 当 a6 时，方程有唯一的解ax65 （1）当m为何值时，方程组2122xyxmy有无穷多解 分析：（1）2：2x+4y=2 (3)(3)-(2):(4-m)y=0 4-m=0 即 m=4，有无穷多解 第 1 页 21已知方程组531xyaxyb有无数多个解，则a、b 的值等于