第7章有限长单位抽样响应数字滤波器的设计

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1、第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计1/178第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计2/178IIR数字滤波器的优点：数字滤波器的优点：n可以利用模拟滤波器的设计结果可以利用模拟滤波器的设计结果IIR数字滤波器的缺点：数字滤波器的缺点：n非线性相位非线性相位n若需线性相位，要采用全通网络进行相若需线性相位，要采用全通网络进行相位校正位校正第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计3/17

2、8FIR数字滤波器的优点：数字滤波器的优点：1）可以做到严格线性相位）可以做到严格线性相位2）可以具有任意的幅度特性）可以具有任意的幅度特性3）对一个信号滤波，相当于）对一个信号滤波，相当于 可以用可以用FFT计算计算 4）总可以用一个因果系统来实现）总可以用一个因果系统来实现5）无反馈运算，运算误差小。无反馈运算，运算误差小。x nh n 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计4/178FIR数字滤波器的缺点数字滤波器的缺点 1）不能用模拟滤波器的设计方法，无解）不能用模拟滤波器的设计方法，无解析设计公式，要借助计算机辅助设计；析设计公式，要借助

3、计算机辅助设计；2）由于没有极点，同样幅频特性，要获）由于没有极点，同样幅频特性，要获得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代得较好的过渡带特性，需较高的阶数做为代价。价。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计5/178FIR滤波器的设计方法滤波器的设计方法设计方法：设计方法：窗函数法窗函数法 频率采样法频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法设计任务：设计任务：选择有限长度的脉冲响应选择有限长度的脉冲响应h(n)，得，得到系统函数到系统函数H(z)，使幅频特性满足技术指标，使幅频特性满足技术指标，同时使相频特性达到线性相位。同时使相频特

4、性达到线性相位。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计6/1787.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 本节主要介绍本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：()01h nnN10()()NnnH zh n z 系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z=0 处是处是N 1 阶极点阶极点 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响

5、应数字滤波器的设计7/1787.1.1.线性相位的定义线性相位的定义 FIR滤波器的频率响应函数滤波器的频率响应函数1()0()()()Njj njjnH eh n eH ee ()()()()jjjH eeHe 幅度响应（幅度响应（+，实函数）实函数）幅度函数（可幅度函数（可+可可-，实函数）实函数）相位函数相位函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计8/178线性相位是指线性相位是指()是是的线性函数的线性函数()()满足满足()dd 第一类线性相位第一类线性相位第二类线性相位第二类线性相位群延时为常数群延时为常数第第7 7章章 有限长单位抽

6、样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计9/1787.1.2.线性相位的条件线性相位的条件第一类线性相位成立的充分必要条件第一类线性相位成立的充分必要条件 12()(1)01Nh nh NnnN 第二类线性相位成立的充分必要条件第二类线性相位成立的充分必要条件 122()(1)01Nh nh NnnN 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计10/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：充分性充分性 FIR滤波器的系统函数滤波器的系统函数10()()NnnH zh n z 10(1)Nnnh Nnz ()(1)h

7、 nh Nn 11mNnnNm 11(1)(1)00()()NNNmNmmmh m zzh m z第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计11/178(1)1()()NH zzH z 证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：(1)11(1)01()()()21()2NNnNnnH zH zzH zh n zzz 1(1)0()()1()2jjz eNjnj NjnnH eH zh neee z=e j第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计12/17811()2011()201()cos21

8、()cos2NNjnNNjnNeh nnNeh nn 1(1)01()()2Njjnj NjnnH eh neee 11()()1122()20()2NNj nj nNNjneeeh n 证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计13/178幅度函数幅度函数101()()cos2NnNHh nn 相位函数相位函数1()()2N 严格的线性相位严格的线性相位1()2N (1)N 0)(2证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单

9、位抽样响应数字滤波器的设计14/178证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：必要性必要性()10()()()Njjj nnH eHeh n e 实部、虚部分别相等实部、虚部分别相等10()cos()()cos()NnHh nn 10()sin()()sin()NnHh nn 两式相除两式相除第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计15/1781010()sin()sin()cos()()cos()NnNnh nnh nn 10()sin()0Nnh nn 关于关于 奇对称奇对称(1)2Nn h(n)关于关于 偶对称偶对称(1)2Nn

10、 证明（第一类线性相位条件）：证明（第一类线性相位条件）：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计16/178通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相通过类似的推导，可以得到满足第二类线性相位条件的系统函数位条件的系统函数(1)1()()NH zzH z 频率响应函数函数频率响应函数函数112201()()sin2NNjjjnNH eeh nn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计17/178幅度函数幅度函数101()()sin2NnNHh nn 相位函数相位函数1()()22N 广义的线性相位广义的线

11、性相位)23(N(2)2N)(202第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计18/178结论结论、第一类线性相位、第一类线性相位()(1)h nh Nn 101()()cos2NnNHh nn 1()()2N 、第二类线性相位、第二类线性相位()(1)h nh Nn 101()()sin2NnNHh nn 1()()22N 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计19/178第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计20/1787.1.3 线性相位线性相位FIR滤波

12、器幅度特性滤波器幅度特性1、h(n)为偶对称为偶对称，N为奇数为奇数101()()cos2NnNHh nn 11coscos221cos(1)2NNnnNNn 关于关于 偶对称偶对称(1)2Nn 关于关于 偶对称偶对称(1)2Nn 以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并为中心，把两两相等的项进行合并第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计21/178 (3)/2011()2cos()22NnNNHhh nn 12Nnm(1)/21112cos()22NmNNhhmm (1)/20()()cos()NnHa nn 1(0)()211()2()

13、,1,2,3,22NahNNa nhn n -10123-2002040/Hr()cos()0,2 n 对对，呈呈偶偶对对称称()0,2 H对对呈呈偶偶对对称称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计22/1782、h(n)为偶对称为偶对称，N为偶数为偶数101201()()cos212()cos2NnNnNHh nnNh nn 2Nnm/2112cos22NmNhmm 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计23/178/211()()cos2NnHb nn ()22Nb nhnn=1,2,3,N/2=时

14、，时，H()对对=呈奇对称呈奇对称1cos02n=0时，时，H()对对=0呈偶对称呈偶对称1cos12n H()对对=2呈偶对称呈偶对称-10123-40-2002040/Hr()不适合设计高通不适合设计高通滤波器、带阻滤滤波器、带阻滤波器波器第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计24/1783、h(n)为奇对称为奇对称，N为奇数为奇数101()()sin2NnNHh nn 11sin(1)sin22NNNnn 1sin2Nn 11sin22NNn 对对呈呈奇奇对对称称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的

15、设计25/178(3)/2111()2()sin()22NnNNHh nnh 12Nnm=012112sin()2NmNhmm (1)/21()()sin()NnHc nn 11()2(),1,2,22NNc nhn n第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计26/178(1)/21()()sin()NnHc nn -10123-40-2002040/Hr()0,2 sin()0()0nH时时，所所以以()0,2H 故故对对，呈呈奇奇对对称称sin()0,2 n 因因对对，呈呈奇奇对对称称不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器不适合低通滤波器、高通

16、滤波器、带阻滤波器 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计27/1784、h(n)为奇对称为奇对称，N为偶数为偶数101201()()sin()212()sin()2NnNnNHh nnNh nn 2Nnm2112()sin()22NmNhmm 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计28/178/211()()sin2NnHd nn ()22Nd nhn1,.,2Nn -10123-40-2002040/Hr()10,2 sin02n时时，()0,2H 对对呈呈奇奇对对称称()H 对对呈呈偶偶对对称称不

17、适合于低通滤波不适合于低通滤波器、带阻滤波器器、带阻滤波器 h(n)为奇对称时，有为奇对称时，有90o相移，适用于微分器和相移，适用于微分器和90o移相器，而选频滤移相器，而选频滤波器采用波器采用h(n)为偶对称为偶对称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计29/178结论：P267表7.1.1 偶对称：偶对称：nN为奇数时，对 呈偶对称。nN为偶数时，对 呈偶对称。奇奇 奇对称：奇对称：nN为奇数时，对 呈奇对称。nN为偶数时，对 呈奇对称。偶偶)21N()()1()(nNhnh)1()(nNhnh2)21N()()H()H()H()H0,00,

18、0()h n()h n在 处，两者完全一样在 处，当N为奇数，两者完全一样；偶数相反0对称性与对称性与 在在 处对称性的比较处对称性的比较()H()h n(1)/2N 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计30/1787.1.4.线性相位线性相位FIR滤波器的零点分布滤波器的零点分布1、零点的分布原则零点的分布原则(1)1()()NH zzH z 若若z=zi 是是H(z)的零点，则的零点，则 也是也是H(z)的零点的零点1iizz *1*iizz h(n)为实序列时为实序列时线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭

19、对即共轭成对且镜像成对对即共轭成对且镜像成对第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计31/178 1*1*iiiizzzz j1-j*-j1*j*1111iiiiiizrezezrzrezerz 4种种零点零点第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计32/1782、零点的位置零点的位置1）零点零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上既不在实轴上，也不在单位圆上jeizr 1-j1eizr -jeizr 1j1eizr 4 4个零点成对出现个零点成对出现第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位

20、抽样响应数字滤波器的设计33/1782）零点零点zi不在实轴上，在单位圆上不在实轴上，在单位圆上jeiz 1-jeiz -jeiz 1jeiz 2 2个零点成对出现个零点成对出现存在共轭对，但倒数是其本身存在共轭对，但倒数是其本身第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计34/1783）零点零点zi在实轴上，不在单位圆上在实轴上，不在单位圆上izr 11izr izr 11izr 2 2个零点成对出现个零点成对出现存在倒数，但共轭是其本身存在倒数，但共轭是其本身第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计35/1

21、784）零点零点zi在既实轴上，又在单位圆上在既实轴上，又在单位圆上1iz 4 4个互为倒数、共轭的零点合为个互为倒数、共轭的零点合为1 1点点N为偶数时的偶对称为偶数时的偶对称1iz N为偶数时的奇对称为偶数时的奇对称1iz N为奇数时的奇对称为奇数时的奇对称第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计36/178（1）四种）四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，的对称性，而与而与h(n)的值无关；的值无关；（2）幅度特性取决于）幅度特性取决于h(n)的取值；的取值；（3）设计线性相位）设计线性相位FIR

22、滤波器时，在保证滤波器时，在保证h(n)对称的条件下对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即，只要完成幅度特性的逼近即可。可。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计37/1787.2 窗函数设计法窗函数设计法频域给出指标频域给出指标给出理想滤波器的频率响应给出理想滤波器的频率响应 jd(e)H 设计设计FIRFIR滤波器，求其频率响应滤波器，求其频率响应 1j-j0(e)eNnnHh n 逼近逼近设计在时域进行设计在时域进行 1DTFTjdd(e)Hhn hd(n)无限长，非因果无限长，非因果设计设计h(n)，有限长，因果，有限长，因果 dh nhn

23、w n 逼近逼近第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计38/1787.2.1 设计方法（以低通滤波器设计为例）设计方法（以低通滤波器设计为例）()0jcjdceHe c()jdHe c 理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响100为群延时为群延时()第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计39/178()1()2sin()12()ccccjj ndcj ncch neednedn 单位抽样响应单位抽样响应相位相位()n hd(n)偶对称，对称中心偶对称，对称中心hd(n)无限长的非因果序列无限长的非因果

24、序列第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计40/178设计可设计可实现实现FIR滤波器的单位滤波器的单位脉冲响应脉冲响应()()()dh nh n w n 窗函数窗函数先选取最简单的窗函数先选取最简单的窗函数1,01()()0,RNnNwnRn 其其它它()01()()()0ddh nnNh nh n w nn 其其它它第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计41/17812N 按第一类线性相位条件，得按第一类线性相位条件，得 1sin201 120cccNnnNh nNnn 其其它它第第7 7章章 有限

25、长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计42/17811()201()2sin2()sin/2()NNjjj nRnNjRNWeeeWe 7.2.2 加窗处理对频谱性能的影响加窗处理对频谱性能的影响理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响1()2dd()()NjjHeHe d1,()0,ccH 矩形窗的频响矩形窗的频响第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计43/178sin2()sin2RNW 主瓣宽度主瓣宽度4N ()()()dh nh n w n d()()*()jjjRH eHeWe 第第7 7章章 有限长单位抽样响应

26、数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计44/178()d11()()()22d1()2d1()21()()()21()()21()()21()2ccjjjRNNjjRNjRNjRH eHeWedHeWedeHWdeWd 线性相位线性相位幅度函数幅度函数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计45/178窗函数的频率特性窗函数的频率特性WR(ej)决定了决定了H(ej)对对Hd(ej)的逼近程度。的逼近程度。幅度函数幅度函数1()()2ccRHWd d()*()RHW 相位函数相位函数1()2N 一般情况一般情况2cN 第第7 7章章 有限

27、长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计46/178c()/(0)0.5cHH 正肩峰正肩峰2/cN2/cN负肩峰负肩峰2/cN2/cN0 1(0)()2RHWd 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计47/178加窗函数的影响：加窗函数的影响：形成过渡带形成过渡带 Hd(ej)在截止频率处有陡峭的边沿在截止频率处有陡峭的边沿H()在截止频率处连续曲线在截止频率处连续曲线边沿加宽，边沿加宽，形成过渡带形成过渡带窗频谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。窗频谱的主瓣越宽，过渡带也越宽。4N 过渡带：正肩峰与负肩峰的间隔过渡带：正肩峰与负

28、肩峰的间隔过渡带宽过渡带宽=窗频谱窗频谱WR(ej)主瓣宽度主瓣宽度第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计48/178正、负肩峰位置正、负肩峰位置2cN 截止频率两侧截止频率两侧窗谱函数旁瓣多窗谱函数旁瓣多起伏振荡多起伏振荡多窗谱函数旁瓣相对幅度大窗谱函数旁瓣相对幅度大起伏振荡幅度大起伏振荡幅度大 H()形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡形成正、负肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计49/178改变改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣

29、与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定。函数形状决定。sin(/2)sin(/2)sin()sin(/2)/2RNNxWNx 主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加主瓣幅度增加，旁瓣幅度也增加第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计50/178吉布斯效应：（截断效应吉布斯效应：（截断效应）在矩形窗情况下，最大相对肩峰为在矩形窗情况下，最大相对肩峰为8.95%，N 增加时，增加时，减小，故起伏变密，而最大相减小，故起伏变密，而最大相对肩峰却总是对肩峰却总是8.95%，这种现象称为吉布斯，这种现象称为吉布斯效应。效应。2

30、N 肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。肩峰值的大小，直接影响通带特性和阻带衰减。h(n)代替代替 hd(n)引起的误差，在频域上表现为引起的误差，在频域上表现为第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计51/178图7.2.4 增大N增大增大N对矩形窗幅度特的影响对矩形窗幅度特的影响 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计52/178引出原因：引出原因：矩形窗阻带最小衰减矩形窗阻带最小衰减20lg(8.95%)21dB 在工程上，衰减量不够在工程上，衰减量不够要加大阻带衰减，需要改善窗口函数形状要加

31、大阻带衰减，需要改善窗口函数形状改善窗口函数形状的标准改善窗口函数形状的标准窗函数不仅起到截断作用，还能起到平滑作用。窗函数不仅起到截断作用，还能起到平滑作用。7.2.3 几种典型的窗函数几种典型的窗函数 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计53/178窗函数的要求：窗函数的要求：（1）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡）窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带带 （2）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，以减小肩峰和波纹以减小肩峰和波纹第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计54

32、/178（1）最大旁瓣峰值）最大旁瓣峰值 （dB）。）。（2）主瓣宽度）主瓣宽度 ，窗函数频谱的主瓣宽度。，窗函数频谱的主瓣宽度。（3）过度带宽）过度带宽 ，窗函数设计得到，窗函数设计得到FIR滤波滤波器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频器的过度带宽，即通带截止频率与阻带截止频率之差。率之差。（4）阻带最小衰减）阻带最小衰减 （dB）。窗函数设计得）。窗函数设计得到到FIR滤波器的阻带最小衰减。滤波器的阻带最小衰减。窗函数参数：窗函数参数：n 20lg()/(0)jW eW B st 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计55/1781.矩形窗

33、矩形窗(Rectangle Window)傅里叶变换傅里叶变换幅度函数幅度函数101()()0NnNw nRn 其其它它主瓣宽度最窄：主瓣宽度最窄：4N 旁瓣幅度大旁瓣幅度大 1120()()NNjjj nRnW ew n eWe sin2()sin2NW 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计56/17813dBn 4/N 1.8/BN 21dBst 矩形窗及加窗处理后波器波形矩形窗及加窗处理后波器波形 0510152000.51nw(n)00.20.40.60.81-50-130/dB05101520-0.200.20.4nh(n)00.20.

34、40.60.81-60-210/dB第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计57/178频率响应频率响应 2.三角形窗三角形窗(Bartlett Window)210(1)12()212(1)112nnNNw nnNnNN 2121sin()24()1sin(/2)NjjNW eeN 8N 主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣幅度较小旁瓣幅度较小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计58/17825dBn 8/N 4.2/BN 25dBst 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字

35、滤波器的设计59/178利用欧拉公式利用欧拉公式 3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗2()0.51cos()()1Nnw nRnN 22110.51()2nnjjNNNeeRn 利用利用DTFT的频移特性的频移特性12121212212()0.5()0.25120.251NNjjjNRRNjNRW eWeWeNWeN 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计60/178121222()0.5()0.2511()NjjRRRNjW eWWWeNNWe 幅度函数幅度函数22()0.5()0.2511RRRWWWWNN三部分矩形窗频谱相加，

36、使旁瓣互相抵消，能三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1 1倍。倍。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计61/1788N 主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：旁瓣幅度小旁瓣幅度小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计62/17831dBn 8/N 6.2/BN 44dBst 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计63/1784.汉明汉明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗

37、 2()0.540.46cos()()1Nnw nRnN 幅度函数幅度函数主瓣宽度宽：主瓣宽度宽：8N 旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小121222()0.54()0.2311()NjjRRRNjW eWWWeNNWe 22()0.54()0.2311RRRWWWWNN第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计64/17841dBn 8/N 6.6/BN 53dBst 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计65/1785.布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗在升余弦窗的定义式中再加上一个二次谐波的在升余弦窗的定

38、义式中再加上一个二次谐波的余弦分量得到的，故又称二阶升余弦窗。可进余弦分量得到的，故又称二阶升余弦窗。可进一步抑制旁瓣的效果一步抑制旁瓣的效果24()0.420.5cos0.08cos()11Nnnw nRnNN121222()0.42()0.2511440.0411()jRRRNjRRNjW eWWWNNWWeNNWe 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计66/178幅度函数幅度函数12N 主瓣宽度最宽：主瓣宽度最宽：旁瓣幅度最小旁瓣幅度最小22()0.42()0.2511440.0411NRRRRWRWWNNWWNN第第7 7章章 有限长单位

39、抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计67/17857dBn 12/N 11/BN 74dBst 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计68/1786.凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window)前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数前面介绍的窗函数统都是固定窗，即用每种窗函数设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的，而且都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的，这两个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗个指标不

40、能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性函数，可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控能需求的目的。在相同的性能指标下，通过调整控制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保制参数可以达到不同的阻带最小衰减，同时可以保证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在证最小的主瓣宽度，即有最陡峭的过渡带，实现在主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之，给定指标，凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗，凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此，凯塞窗是一种近似最佳的窗函数。是一种近似最

41、佳的窗函数。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计69/178 20021(1)1()()()NnINw nRnI 是一个可选参数，是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来，关系，一般说来，越大越大,过渡带越宽，阻过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。带越小衰减也越大。2011()1()!2kkxIxk I0()是第一类修正是第一类修正零阶贝塞尔函数。零阶贝塞尔函数。一般取一般取1525项就项就可满足精度要求。可满足精度要求。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应

42、数字滤波器的设计70/178 参数可以控制窗的形状。一般参数可以控制窗的形状。一般加大，主瓣加宽，加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小，典型数据为旁瓣幅度减小，典型数据为4 9。当。当=5.44时，时，窗函数接近哈明窗。窗函数接近哈明窗。=7.865时，窗函数接近布莱时，窗函数接近布莱克曼窗。克曼窗。图图7.2.13 凯塞窗波形（凯塞窗波形（N=21）第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计71/178图图7.2.14 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换参数变化时凯塞窗的傅里叶变换 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设

43、计72/178表表7.2.1 对滤波器性能的影响对滤波器性能的影响第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计73/178若阻带最小衰减表示为若阻带最小衰减表示为st，的确定可采用下的确定可采用下述经验公式述经验公式812.285()ststpN 0.40210.5842(21)0.07886(21)21500.1102(8.7)50stststststst 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计74/178nBS第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计75/178

44、7.2.4 窗函数设计法总结窗函数设计法总结(1)确定所希望设计滤波器的确定所希望设计滤波器的hd(n)一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求hd(n)，即设，即设Hd(ej)为理想线性相位滤波器，那为理想线性相位滤波器，那么单位取样响应用下式求出：么单位取样响应用下式求出：dd1()()2jjh nHeed 求解过程中涉及求解过程中涉及Hd(ej)的截止频率的截止频率2pstc 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计76/178(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗

45、函数的形式，并估计窗口长度函数的形式，并估计窗口长度N。一般原则是一般原则是在满足阻带最小衰减的要求下，尽量选择主在满足阻带最小衰减的要求下，尽量选择主瓣窄的窗函数。瓣窄的窗函数。(3)计算滤波器的单位取样响应计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。验算技术指标是否满足要求。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计77/178低通滤波器的设计低通滤波器的设计例例7.3.1 利用窗函数法设计一个利用窗函数法设计一个FIR低通滤波低通滤波器，要求：通带截止频率器，要求：通带截止频率p=0.3，阻带截，

46、阻带截止频率止频率st=0.5，阻带最小衰减，阻带最小衰减st50dB。解解：（：（1）以理想线性相位低通滤波器作为以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器，即逼近滤波器，即d,()0,jcjceHe 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计78/178单位抽样响应为单位抽样响应为dsin()()()cccnh nn 理想低通滤波器的截止频率理想低通滤波器的截止频率c为为0.30.50.422pstc 0.4sin0.4()sin0.4()0.4()()nnnn为了保证线性相位为了保证线性相位12N 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有

47、限长单位抽样响应数字滤波器的设计79/178（2）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。）依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。因为要求因为要求st50dB，查表，查表7.2.1可以看出汉明可以看出汉明窗、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表窗的主瓣最窄，因而我们选择汉明窗，其表达式为达式为2()0.540.46cos()1Nnw nRnN 由过渡带宽确定窗的长度由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过。设计所要求的过渡带宽为渡带宽为0.2stpB 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波

48、器的设计80/178汉明窗的带宽为汉明窗的带宽为6.6N 6.6330.2N 1162N （3）确定所设计滤波器）确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函。依据所选窗函数，得到单位抽样响应为数，得到单位抽样响应为33()()()sin0.4(16)0.540.46cos()(16)16dh nh n w nnnRnn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计81/178（4）由）由h(n)求出求出H(ej)，以便验证设计结果是，以便验证设计结果是否满足要求。否满足要求。051015202530-0.2-0.100.10.20.30.40.5nh(n)

49、单 位 抽 样 响 应0 0.30.4 0.51 -100-53-45-60/dB幅 度 频 率 响 应第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计82/178例例7.3.2 利用窗函数法设计一个利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器，低通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为,0.2()0,0.2jjdeHe 若长度若长度N=21，观察加不同窗函数后滤波器幅，观察加不同窗函数后滤波器幅度特性的变化。度特性的变化。sin0.2(10)()(10)dnh nn 解：解：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波

50、器的设计83/178若选择矩形窗函数，则有若选择矩形窗函数，则有21sin0.2(10)()()()()(10)dnh nh n w nRnn 若选择汉宁窗函数，则有若选择汉宁窗函数，则有21sin0.2(10)2()()()0.5 1cos()(10)1dnnh nh n w nRnnN 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计84/178矩形窗设计的矩形窗设计的FIR滤波器幅度滤波器幅度特性特性；汉宁窗设计的汉宁窗设计的FIR滤波器幅度滤波器幅度特性特性第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计85/17

51、8例例7.3.3 利用凯塞窗设计一个利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器，低通滤波器，要求：通带截止频率要求：通带截止频率p=0.4，阻带截止频率，阻带截止频率st=0.6，阻带最小衰减，阻带最小衰减st60dB。解解：（：（1）确定凯塞窗的参数确定凯塞窗的参数和和N。0.1102(8.7)5.653st8137.2192.285()ststpN 取取N=38第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计86/178203802(5.653 1(1)37()()(5.653)nIw nRnI （2）确定理想低通滤波器的截止频率）确定理想低通滤波器的截止频率c

52、0.40.60.52c （3）求解）求解hd(n)。sin0.5(18.5)()(18.5)dnh nn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计87/178（4）确定所设计滤波器）确定所设计滤波器h(n)。203802(5.653 1(1)sin0.5(18.5)37()()(18.5)(5.653)nInh nRnnI 0102030-0.200.20.40.6nh(n)单 位 抽 样 响 应00.4 0.5 0.61-80-60-60/dB幅 度 频 率 响 应第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计

53、88/178例例2 设计一个线性相位设计一个线性相位FIR低通滤波器，低通滤波器，给定抽样频率为给定抽样频率为通带截止频率为通带截止频率为阻带起始频率为阻带起始频率为阻带衰减不小于阻带衰减不小于-50dB。解：解：1）求数字频率）求数字频率421.510(/sec)srad 321.510(/sec)prad 32310(/sec)strad /2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计89/1782）求）求hd(n)0.32pstc sin0.3()()()dnh nn 3）选择窗函数：由）选择

54、窗函数：由 确定汉明窗确定汉明窗50dBst 2()0.540.46cos()1Nnw nRnN 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计90/1780.2stp6.6330.2N 1162N 4）确定）确定N 值值6.6BN 选选择择汉汉明明窗窗：5）确定）确定FIR滤波器的滤波器的h(n)33sin 0.316()0.540.46cos()1616nnh nRnn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计91/1786 6）求）求 ，验证，验证()jH e 若不满足，则改变若不满足，则改变N或窗形状重新

55、设或窗形状重新设计计第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计92/1781、线性相位、线性相位FIR高通滤波器的设计高通滤波器的设计理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为,()0,0jcjdceHe 单位抽样响应为单位抽样响应为()()11()()22sin()sin(),()(),ccjj njnjnddcch nHeededednnnnnn 12N 高通滤波器高通滤波器的长度的长度N只能只能取奇数取奇数第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计93/178例例7.3.

56、4 利用汉明窗设计一个利用汉明窗设计一个FIR高通滤波器，高通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：,0.5()0,00.5jjdeHe sin(15)sin0.5(15),15(15)(15)()0.5,15dnnnnnh nn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计94/178选择汉明窗函数，则选择汉明窗函数，则31sin(15)sin0.5(15)2()0.540.46cos()(15)(15)1nnnh nRnnnN第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设

57、计95/1782、线性相位、线性相位FIR带通滤波器的设计带通滤波器的设计理想带通的频响理想带通的频响1221()()1()2jnjndh neded 2121sinsinnnnnnn 其单位抽样响应：其单位抽样响应：120()0jjdeHe 其其它它12N 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计96/178例例7.3.5 利用汉宁窗设计一个利用汉宁窗设计一个FIR带通滤波器，带通滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：,0.40.6()0,00.40.6jjdeHe 、sin0.6(15)sin0.4(1

58、5),15(15)(15)()0.2,15dnnnnnh nn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计97/178所设计带通滤波器的单位抽样响应为所设计带通滤波器的单位抽样响应为31sin0.6(15)sin0.4(15)2()0.5 1cos()(15)(15)1nnnh nRnnnN 0102030-0.2-0.100.10.20.3nh(n)单 位 抽 样 响 应00.40.61-80-44-60/dB幅 度 频 率 响 应第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计98/1783、线性相位、线性相位F

59、IR带阻滤波器的设计带阻滤波器的设计理想带阻的频响：理想带阻的频响：2112()()()1()2jnjnjndh nededed 1212sinsinsinnnnnnnnn 其单位抽样响应：其单位抽样响应：120,()0jjdeHe 其其它它第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计99/178例例7.3.6 利用矩形窗设计一个利用矩形窗设计一个FIR带阻滤波器，带阻滤波器，所希望的频率响应函数为所希望的频率响应函数为取长度取长度N=31。解：解：,00.30.7()0,0.30.7jjdeHe 、sin(15)sin0.7(15)sin0.3(15)

60、,15(15)(15)(15)()0.6,15dnnnnnnnh nn 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计100/178所设计带阻滤波器的单位抽样响应为所设计带阻滤波器的单位抽样响应为31sin(15)sin0.7(15)sin0.3(15)()()(15)(15)(15)nnnh nRnnnn第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计101/1787.4 频率抽样设计法频率抽样设计法频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应频率抽样设计法则是在频域内，以有限个频率响应抽样，去近似所希望的理想频率响应

61、抽样，去近似所希望的理想频率响应Hd(ej)的设计的设计方法。方法。10()()()Njj njdnH eh n eHe1()()2jj nddh nHeed()()()dh nw n h n窗函数设计法：窗函数设计法：第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计102/178对于一个长度为对于一个长度为N的序列的序列h(n)，若知道其频域的，若知道其频域的N个个抽样值抽样值H(k)，则，则h(n)就可以由就可以由H(k)唯一地确定。同唯一地确定。同时，也就可以获得其系统函数时，也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数或频率响应函数H(ej)。设所希

62、望得到的频率响应为设所希望得到的频率响应为Hd(ej)（一般为理想频（一般为理想频率响应），在频域的率响应），在频域的=02之间对其等间隔抽样之间对其等间隔抽样N点（或对点（或对Hd(z)在单位圆上进行等间隔抽样），得到在单位圆上进行等间隔抽样），得到 个抽样值为个抽样值为7.4.1 设计的基本思想设计的基本思想kNjdeHkH2|)()(1,1,0Nk第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计103/178则则重构系统函数重构系统函数H(z)12/01()(),0,1,.,1Njnk Nkh nH k enNN1011112/2/0000112/11

63、00()()11()()1111()()11NnnNNNNjnk Nnjnk NnnkknNNNNjnk NkkkNH zh n zH k ezH kezNNzzH kH kNezNWz(7.4.1)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计104/178将将z=ej代入代入H(z)表达式可得表达式可得式中，内插函数式中，内插函数12/011()20101()(1)()11()sin(/2)sin(2/)/22()()j NNjjnk NjkNkNjNkNkH keH eNeeH kNeNk NH kkN(7.4.2)12sin12()sin2NjNe

64、N 第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计105/178从式（从式（7.4.2）可以看出，在个频率抽样点上，滤波）可以看出，在个频率抽样点上，滤波器的实际频率响应时严格和理想频率响应数值相等器的实际频率响应时严格和理想频率响应数值相等，但是在抽样点之间的频率响应则是个抽样点的加，但是在抽样点之间的频率响应则是个抽样点的加权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼权内插函数的延伸叠加而形成的，因而有一定的逼近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状近误差，误差大小取决于理想频率响应的曲线形状，理想频率响应特性变化越平缓，则内插越接近理，理想频率响

65、应特性变化越平缓，则内插越接近理想值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想值，逼近误差越小；反之，如果抽样点之间的理想频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就想频率响应变化越陡，则内插与理想值之间误差就越大。越大。第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计106/178抽样点上，频率响应严格相等抽样点上，频率响应严格相等抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波

66、器的设计107/1787.4.2 H(k)满足的条件满足的条件关于线性相位关于线性相位FIR滤波器的时域、频域特性，我们滤波器的时域、频域特性，我们已经将其归纳于表已经将其归纳于表7.1.1中。下面将以该表内容为依中。下面将以该表内容为依据，讨论当据，讨论当H(k)的幅度和相位满足什么条件时，才的幅度和相位满足什么条件时，才能使所设计的能使所设计的FIR滤波器具有线性相位。滤波器具有线性相位。为了讨论方便，将所设计滤波器的为了讨论方便，将所设计滤波器的H(ej)、H(k)分分别表示成以下形式：别表示成以下形式：)()()(jjeHeH)()()(kjekAkH(7.4.3)(7.4.4)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计108/178比较上述两式，可知下述关系成立：比较上述两式，可知下述关系成立：)2(|)()(2kNHHkAkN1,1,0Nk)2(|)()(2kNkkN1,1,0Nk(7.4.5)(7.4.6)第第7 7章章 有限长单位抽样响应数字滤波器的设计有限长单位抽样响应数字滤波器的设计109/178从表从表7.1.1中看到，此