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1、2023-3-31多边形面积和重心多边形面积和重心2023-3-32基本问题（基本问题（1）：）：n给定一个简单多边形，求其面积。给定一个简单多边形，求其面积。n输入输入：多边形（顶点按逆时针顺：多边形（顶点按逆时针顺序排列）序排列）n输出输出：面积：面积S S2023-3-33思考如下图形：思考如下图形：2023-3-34先看最简单的多边形先看最简单的多边形三角形三角形2023-3-35计算几何的方法：计算几何的方法：n在计算几何里，我们知道，ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。ABC成左手系，负面积ABC成右手系，
2、正面积BCACBA2023-3-36大功告成：大功告成：nArea(A,B,C)=1/2*(AB)(AC)=/2特别注意：以上得到是有向面积（有正负）有向面积（有正负）！Xb X a Yb Y aXc X a Yc Y a2023-3-37凸多边形的三角形剖分凸多边形的三角形剖分n很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积：A=sigma(Ai)(i=1N-2)P1P2P3P4P5P6A1A2A3A42023-3-38凹多边形的面积？凹多边形的面积？P1P4P3P22023-3-39多边形面积公式
3、：A=sigma(Ai)(i=1N-2)结论：“有向面积”A比“面积”S其实更本本质质！2023-3-310任意点为扇心的三角形剖分任意点为扇心的三角形剖分：n我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？n比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角形。P0P1P2P6P5P4P32023-3-311前面的三角剖分显然对于多边形内部前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！任意一点都是合适的！我们可以得到：A=sigma(Ai)（i=1N）即：A=sigma /2 （i=1N）Xi X0 Yi Y0X(i+1)X0 Y(i+1)Y02023-3-
4、312能否把扇心移到多边形以外呢？能否把扇心移到多边形以外呢？P0P1P2P3P42023-3-313既然内外都可以，为什么不设既然内外都可以，为什么不设P0为坐标原点呢？为坐标原点呢？OP1P2P3P4现在的公式？2023-3-314简化的公式：简化的公式：A=sigma /2（i=1N）Xi YiX(i+1)Y(i+1)面积问题面积问题搞定！搞定！2023-3-315基本问题（基本问题（2）：）：n给定一个简单多边形，求其重心。给定一个简单多边形，求其重心。n输入输入：多边形（顶点按逆时针顺：多边形（顶点按逆时针顺序排列）序排列）n输出输出：重心点：重心点C C2023-3-316从三角形
5、的重心谈起：从三角形的重心谈起：三角形的重心是：(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3可以推广否？Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N (i=1N)?2023-3-317看看一个特例：看看一个特例：.2023-3-318原因：原因：n错误的推广公式是“质点系重心公式”，即如果认为多边形的质量仅分布在其顶点上，且均匀分布，则这个公式是对的。n但是，现在多边形的质量是均匀分布在其内部区域上的，也就是说，是与面积有关的！2023-3-319Solution:n剖分成N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。n不过，要稍微改一改，改成加权平均加权平均数，因为质量不是均匀分布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（有向面积有向面积！），这就是权！2023-3-320公式：公式：nC=sigma(Ai*Ci)/A (i=1N)nCi=Centroid(O Pi Pi+1)n =(O+Pi+Pi+1)/3nC=sigma(Pi+Pi+1)(Pi Pi+1)/(6A)
输入多边形顶点按逆时针顺序排列课件
