重积分应用举例PPT课件

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1、第四节第四节 重积分应用举例重积分应用举例v一、曲面的面积一、曲面的面积v二、质心和转动惯量二、质心和转动惯量v三、引力三、引力)0,(00yxMLPRQzON)0,(00yxMLxPRQyzON一、曲面的面积一、曲面的面积v例例1 1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截，设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面的法向量为如果截面的法向量为 cos,cos,cosnexoyS1cosS 底面位于底面位于面，证明截面（平行四边形）的面，证明截面（平行四边形）的与底面的面积与底面的面积有如下的关系：有如下的关系：面积面积证证 不妨设截面不妨设截面MPQR与底面与底面MNOL的位的位置关系如图所示，

2、其中点置关系如图所示，其中点M的坐标为的坐标为00,0 xy00coscoscos00 xxyyz00,xyy0coscoszx00cos0,cosyx。由解析几何知，截面。由解析几何知，截面MPQR有点法式方程有点法式方程将点将点P的坐标的坐标代入上式，得代入上式，得，即点，即点P的坐标为的坐标为又将点又将点R的坐标的坐标0,0 xxy0coscoszy00cos,0,cosxy000coscos,0,1,0,coscosMPxxx 000coscos0,0,1,coscosMRyyy 00coscos,1coscosSMPMRx y 代入上式，得代入上式，得，即点，即点R的坐标为的坐标为因

3、而得因而得于是得截面面积于是得截面面积1cos设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),(dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS.dsdAdAdsszd 则则有有，为为；截截切切平平面面为为柱柱面面，截截曲曲面面轴轴的的小小于于边边界界为为准准线线，母母线线平平行行以以如图，如图，d),(yxMdAxyzs o,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：

4、曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA ,1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,(yx面面积积dxdyzzADyx 122

5、14 12224Ddxdyyxaa2cos220014aadda.4222aa 例例2 2 求旋转抛物面求旋转抛物面22zxy09z22,9Dx y xy222223200221414137 3716DDSxydxdyxydxdydd 位于位于之间的那一部分的面积。之间的那一部分的面积。解：解：设设由公式知由公式知例例3 3 求半径为求半径为a a，高度为，高度为0hha222,zaxyx yD222,2Dx y xyahh22222222220012xyDDah haSzzdxdydxdyaxyaddaha 由公式得球冠的面积由公式得球冠的面积其中其中解：解：设球冠的方程为设球冠的方程为的球

6、冠的面积。的球冠的面积。二、质心和转动惯量二、质心和转动惯量1 1、质心、质心：当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx.1 DydAy DdA 其中其中,),(),(DDdyxdyxxx .),(),(DDdyxdyxyy 由元素法由元素法例例3 3 设一正棱锥体设一正棱锥体的底面位于的底面位于xoy面上，底面中心为面上，底面中心为坐标原点，顶点位于正坐标原点，顶点位于正z z轴上，高度为轴上，高度为h h，求该正棱锥，求该正棱锥体的形心。体的形心。解：设解：设的形心坐标为的形心坐标为,x y z且0,0 xyzdvzv,其中其中v v是是的体积的体积00z

7、hhzDzdvdzzdxdyzDdz2,zhzDAh2220,12hAAhzdvz hzdzh2112.43AhzhAh解解先先求求区区域域 D的的面面积积 A，20t，ax 20 adxxyA20)(20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a)(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax ,DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为),(65 a.由由于于区区域域关关于于直直线线ax 对对称称，设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点，它它们

8、们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处，质质量量分分别别为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次为为 niiixymI12，niiiyxmI12.2 2、转动惯量、转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于x轴轴和和y轴轴的的转转动动惯惯量量为为薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于

9、 轴的转动惯量轴的转动惯量y解解设三角形的两直角边分别在设三角形的两直角边分别在x轴和轴和y轴上，如图轴上，如图aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02.1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为dxdyyIDx 2.1213 ab 三、引力三、引力222000rxxyyzz其中其中例例6 6 求半径为求半径为R R的均匀圆盘的均匀圆盘222,0 xyRz面密度为常数面密度为常数 ，对位于，对位于0,0,a单位质点的引力单位质点的引力aR解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知0 xy

10、FF又按公式，所求引力沿又按公式，所求引力沿z z轴的分量为轴的分量为3 22222201120zDGaFdGaaRaxya解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112,0,022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）四、小结思考题思考题.)0(cos,

11、cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x,0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答一、一、求锥面求锥面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面积曲面面积.二、二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域设 薄 片 所 占 的 闭 区 域D是 介 于 两 个 圆是 介 于 两 个 圆 cos,cosbrar )0(ba 之间的闭区域之间的闭区域,求求均匀薄片的重心均匀薄片的重心.三、三、设有一等

12、腰直角三角形薄片设有一等腰直角三角形薄片,腰长为腰长为a,各点处的各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片求薄片的重心的重心.四、四、设均匀薄片设均匀薄片(面密度为常数面密度为常数 1)1)所占闭区域所占闭区域D由抛物由抛物线线xy292 与直线与直线2 x所围成所围成,求求xI和和yI.练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片:0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(,0,0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F.六、设由六、设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板(密度密度1),1),求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小?一、一、2.二、二、)0,)(2(22bababa .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(,0221222aRaRfa练习题答案练习题答案