土的应力分布及计算

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1、第五讲土中应力分布及计算和土的压缩性与地基沉降 一、内容提要：本讲主要讲述土中应力分布及计算部分包括土的自重应力、基础底面压力、基底附加压力、土中附加应力；土的压缩性与地基沉降部分包括压缩试验、压缩曲线、压缩系数、压缩指数、回弹指数、压缩模量、载荷试验、变形模量、高压固结试验、土的应力历史、先期固结压力、超固结比正常固结土、超固结土、欠固结土、沉降计算的弹性理论法、分层总和法、有效应力原理、一维固结理论、固结系数、固结度； 二、重点、难点：基底与土中自重应力与附加应力的计算、土的压缩试验、利用分层总和法进行地基变形计算、有效应力原理 三、内容讲解： 第一节土中应力分布及计算 一、土中应力 土中

2、应力指土体在自身重力、建筑物和构筑物荷载，以及其他因素(如土中水的渗流、地震等)作用下，土中产生应力。土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏，甚至使土体发生滑动失去稳定。此外，土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉降，倾斜以及水平位移。 土是三相体，具有明显的各向异性和非线性特征。为简便起见，目前计算土中应力的方法仍采用弹性理论公式，将地基土视作均匀的、连续的、各向同性的半无限体，这种假定同土体的实际情况有差别，但其计算结果尚能满足实际工程的要求。 用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向相同时，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负，若剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴正方

3、向相反时，则剪应力的方向与坐标轴正方向相反时为正，反之为负。二、土的自重应力 由土体重力引起的应力称为自重应力，自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。 1.均质土的自重应力 土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在剪应力。因此，在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力，(称竖向自重应力)等于单位面积上土柱体的重力W，如图15-5-1所示。在深度z处土的自重应力为： 式中土的重度，kNm3；F土柱体的截面积，m2。 从公式(15-5-1)可知，自重应力随深度Z线性增加，呈三角形分布图形。 2.成层地基土的自重应力 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚

4、度为，重度为，则在深度z处土的自重应力计算公式为： 式中n从天然地面到深度z处的土层数。 3.土层中有地下水时的自重应力 当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。通常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的。粘性土则视其物理状态而定，一般认为，若水下的粘性土其液性指数IL1，则土处于流动状态，土颗粒之间存在着大量自由水，可认为土体受到水浮力作用，若IL0，则土处于固体状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用，若0IL1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考

5、虑。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按有效重度计算，其计算方法同成层土体情况。4.水平向自重应力 土的水平向自重应力，可用下式计算 式中K0侧压力系数，也称静止土压力系数。K0值可通过室内试验测定。 【例题1】某土层及其物理性质指标如图15-5-2所示，地下水位在地表下1.0m，计算土中a、b、c、d各点处的自重应力。 三、基础底面压力 建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力，又称地基反力。 (一)地基反力分布 基底地基反力的分布规律主要取决于基础的刚度和地基的变形条件。对柔性基础，地基反力分布与上部荷载分布基本相同，而基础底面的沉降分布则是中央大而边缘小，如由土筑

6、成的路堤，其自重引起的地基反力分布与路堤断面形状相同。对刚性基础(如箱形基础或高炉基础等)，在外荷载作用下，基础底面基本保持平面，即基础各点的沉降几乎是相同的，但基础底面的地基反力分布则不同于上部荷载的分布情况。刚性基础在中心荷载作用下，开始的地基反力呈马鞍形分布；荷载较大时，边缘地基土产生塑性变形，边缘地基反力不再增加，使地基反力重新分布而呈抛物线分布，若外荷载继续增大，则地基反力会继续发展呈钟形分布。 【例题2】基底地基反力的分布规律与下列哪些因素有关（）。 A.基础的刚度B.地基的变形条件C.上部荷载大小D.基础面积大小 答案：A、B 【例题3】刚性基础在中心荷载作用下，开始的地基反力呈

7、（）分布。 A.马鞍形B.矩形C.三角形D.梯形答案：A (二)地基反力的简化计算 实用上，通常将地基反力假设为线性分布情况按下列公式进行简化计算： 地基平均反力 地基边缘最大与最小反力式中F作用在基础顶面通过基底形心的竖向荷载，kN； G基础及其台阶上填土的总重，kN，G=Ad，其中为基础和填土的平均重度，一般取=20kNm3，地下水位以下取有效重度，d为基础埋置深度； M作用在基础底面的力矩，M=(F+G)e，e为偏心距； W基础底面的抗弯截面模量，W=，l、b为基底平面的长边与短边尺寸。 将W的表达式代入(15-5-4b)式得 【例题4】某矩形基础底面尺寸为3m6m，上部结构传至基础顶面

8、的荷载为1800KN，基础埋深为自然地坪下1.5m，自地表至以下5.0m均为粉质粘土，土的天然重度为18.6KN/m3，饱和重度为20.1KN/m3，地下水位在自然地坪下3.0m，试确定： 1、地表下5m处土的自重应力值为（）。 A.93kpaB.96kpaC.78.1kpaD.76kpa答案：D 2、按轴心荷载考虑，地基的平均反力为（）。 A.100kpaB.30kpaC.130kpaD.128kpa答案：C 【解析】基础及回填土自重为：GAd20361.5540KN， 地基平均反力为3、如在0.00基础轴心处垂直于长边方向上受到120KN的水平力作用，则地基边缘最大反力为（），最小反力为（

9、），偏心距为（）。 A.140kpa；120kpa；0.10mB.140kpa；120kpa；0.08m C.140kpa；130kpa；0.10mD.130kpa；120kpa；0.08m 答案：B 四、基底附加压力 基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土层在自重作用下的变形已经完成，故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形，使地基产生附加变形的基底压力称为基底附加压力p0。因此，基底附加压力是上部结构和基础传到基底的地基反力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算： 式中P基底地基反力，为区别于附加压力，又称基底总压力；基底处自重应力；基底标高以上天然

10、土层按分层厚度的加权重度；基础底面在地下水位以下，地下水位以下的土层用有效重度计算； d基础埋置深度，简称基础埋深。 【例题5】某条形基础宽度为1.5m，上部结构传至基础的荷载为120KN/m，基础埋深为2m，持力层及以上土的天然重度为19.0KN/m3，求基底处的附加压力p0。五、土中附加应力 土中的附加应力是由建筑物荷载所引起的应力增量，一般采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上的局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。 (一)集中力作用下土中应力计算 在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力Q时，半无限体内任意点M的应力(不考虑弹性体的体积力)可由布西奈斯克(J。V。Bo

11、ussinesq，1885)解计算，其任意点竖向正应力及地表上距集中力为r处的竖向位移凹(沉降)可表示成如下形式： 供查用。E，v分别为土的弹性模量及泊松比。 (二)分布荷载作用时的土中应力计算 对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，通常可采用如下方法处理： 当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力。当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解得相应的土中应力。 如图15-5-3所示，在半无限土体表面作用一分布荷载p(x,y)，为了计算土中某点M(x，y，z)的竖向正应力值，可以在基底范围

12、内取单元面积dF=dd，作用在单元面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示，dQ=p(x，y)dd。这时土中M点的竖向正应力值可用式(15-5-7)在基底面积范围内积分求得，即当已知荷载、分布面积及计算点位置的条件时，即可通过求解上式获得土中应力值。 1.圆形面积上作用均布荷载时土中竖向正应力的计算 为了计算圆形面积上作用均布荷载p时土中任一点M(r，z)的竖向正应力，可采用原点设在圆心o的极坐标，由公式(15-5-9)在圆面积范围内积分求得 上式可表达成简化形式：可由相应表格查得。 (2)矩形面积角点下土中竖向应力计算 在图15-5-5所示均布荷载作用下，计算矩形面积角点c下深度z处N点的竖向应

13、力时，同样可其表示成如下形式： 算点的竖向应力值。这种计算方法一般称为角点法。 3.矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力计算 当地基表面作用矩形面积(lb)三角形分布荷载时，为计算荷载为零的角点下的竖向应力值可将坐标原点取在荷载为零的角点上；若要计算荷载最大值的角点下的竖向应力值，则将坐标原点取在荷载最大值的角点上。相应的竖向应力值和用下式计算：应注意这里b值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长。4.均布条形分布荷载下土中应力计算 (1)竖向应力计算 条形分布荷载下土中应力计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比lb10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理。 如图1

14、5-5-7所示，在土体表面作用分布宽度为b的均布条形荷载p时，土中任一点的竖向应力可采用弹性理论中的弗拉曼(Flamant)公式在荷载分布宽度范围内积分得到： 六、成层地基中附加应力的分布规律 在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。对双层地基的应力分布问题，有两种情况值得研究：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况。当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时(薄压缩层情况)，即ElE

15、2，则土中附加应力将发生扩散现象。在实际地基中，下卧刚性岩层将引起应力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。在坚硬土层下存在软弱下卧层时，土中应力扩散的现象将随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。因土的泊松比因变化不大，其对应力集中和应力扩散现象的影响可忽略。 双层地基中应力集中和扩散的概念有着重要工程意义，特别是在软土地区，表面有一层硬壳层，由于应力扩散作用，可以减少地基的沉降，故在设计中基础应尽量浅埋，并在施工中采取保护措施，以免浅层土的结构遭受破坏。【例题6】对于双层地基的应力分布，下列各项叙述中正确的选项为（）。 A.当ElE2时，土中附加应力分布将发生应力集中的现象； C.当El

16、E2时，土中附加应力将发生扩散现象； D.当ElE2时，土中附加应力将发生扩散现象；答案：A、C 第二节土的压缩性与地基沉降 一、土的压缩试验与压缩性指标 (一)室内压缩试验 土的室内压缩试验亦称固结试验，是研究土压缩性的最基本的方法。 室内压缩试验原理 室内压缩试验采用的试验装置为压缩仪。试验时将切有土样的环刀置于刚性护环中，由于金属环刀及刚性护环的限制，使得土样在竖向压力作用下只能发生竖向变形，而无侧向变形。在土样上下放置的透水石是土样受压后排出孔隙水的两个界面。压缩过程中竖向压力通过刚性板施加给土样，土样产生的压缩量可通过百分表量测。常规压缩试验通过逐级加荷进行试验，常用的分级加荷量p为

17、：50、100、200、300、400kPa。 根据压缩过程中土样变形与土的三相指标的关系，可以导出试验过程孔隙比与压缩量H的关系，即 这样，根据式(15-6-1)即可得到各级荷载P下对应的孔隙比e，从而可绘制出土样压缩试验的ep曲线及elgp曲线等。(二)压缩性指标 1.压缩系数通常可将常规压缩试验所得的ep数据采用普通直角坐标绘制成ep曲线，如图15-6-1所示。设压力由p1增至p2，相应的孔隙比由e1减小到e2，当压力变化范围不大时，可将MlM2一小段曲线用割线来代替，用割线MlM2的斜率来表示土在这一段压力范围的压缩性，即： 式中压缩系数，Mpa-1；压缩系数愈大，土的压缩性愈高。 从

18、图15-6-1还可以看出，压缩系数。值与土所受的荷载大小有关。工程中一般采用100200kPa压力区间内对应的压缩系数1-2来评价土的压缩性。即1-20.1Mpa-1属低压缩性土； 0.1Mpa-11-20.5Mpa-1属中压缩性土； 1-20.5Mpa-1属高压缩性土。 【例题7】已知某土样在进行压缩试验时获得如下数据：p1=100kpa时孔隙比e1=0.805，在p2=100kpa时孔隙比e1=0.755，则该土样在100200kpa压力段的压缩系数为（），并判断该土的压缩性属于（）。 A.0.0005；低压缩性土B.0.05；低压缩性土C.0.15；中压缩性土 D.0.5；高压缩性土答案

19、：D 【例题8】在室内压缩试验时，土样受压后向外排出孔隙水是通过（）个界面。 A.1B.2C.3D.4答案：B 【例题9】在进行室内压缩试验时，土样受压后将产生（）变形。 A.竖向B.横向C.横向和竖向D.不确定答案：A 2.压缩模量Es 根据ep曲线，可以得到另一个重要的侧限压缩指标侧限压缩模量，简称压缩模量，用来Es表示。其定义为土在完全侧限的条件下竖向应力增量(如从p1增至p2)与相应的应变增量的比值 式中Es侧限压缩模量，MPa；H应力增量p内的土样压缩量，mm； H1荷载为Pl时对应的土样高度，mm。 在无侧向变形，即横截面积不变的情况下，同样根据土粒所占高度不变的条件，土样变形量H

20、可用相应的孔隙比的变化e=e1-e2来表示： 由此还可导出压缩系数与压缩模量Es之间的关系：式中e0为初始孔隙比（或天然孔隙比） 同压缩系数一样，压缩模量Es也不是常数，而是随着压力大小而变化。因此，在运用到沉降计算中时，比较合理的做法是根据实际竖向应力的大小在压缩曲线上取相应的孔隙比计算这些指标。 【例题10】某土样的压缩系数为0.15Mpa-1，其天然孔隙比为0.752，则该土的压缩模量为（）。 A.11.68KpaB.1.53MpaC.11.68MpaD.15.3Mpa答案：C 3.压缩指数Cc 当采用半对数的直角坐标来绘制室内侧限压缩试验ep关系时，就得到了elgp曲线(见图15-6-

21、2)。在e1gp曲线中可以看到，当压力较大时，e1gp曲线接近直线。 将e1gp曲线直线段的斜率用Cc来表示，称为压缩指数，它是无量纲量： 压缩指数Cc与压缩系数不同，它在压力较大时为常数，不随压力变化而变化。Cc值越大，土的压缩性越高，低压缩性土的Cc一般小于0.2，高压缩性土的Cc值一般大于0.4。【例题11】下列关于压缩指数的叙述，正确的是（）。A.ep曲线直线段的斜率B.ep曲线割线的斜率 C.e1gp曲线直线段的斜率D.e1gp曲线割线的斜率答案：C 4.回弹指数Ce 卸载段和再压缩段的平均斜率称为回弹指数或再压缩指数Ce。通常Ce1.0，则该土属于（）。 A.正常固结土B.超固结土

22、C.欠固结土答案：B 【例题17】某地层自地表以下10m范围内均为粉土，其天然重度为18.5KN/m3,地下水位在16m处，已知该土层在10m处受到的先期固结压力为200kpa，则该处粉土属于（）。 A.正常固结土B.超固结土C.欠固结土答案：B 五、地基沉降计算 (一)弹性理论法 弹性理论法计算地基沉降是基于布辛奈斯克课题的位移解，其基本假定为地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体；此外还假定基础整个底面和地基一直保持接触。需要指出的是布辛奈斯克课题是研究荷载作用于地表的情形，因此可以近似用来研究荷载作用面埋置深度较浅的情况。当荷载作用位置埋置深度较大时(如深基础)，则应采用明德林课题的

23、位移解进行弹性理论法沉降计算。 对矩形均布荷载下的角点沉降、中心点沉降和平均沉降以及圆形均布荷载下的刚性基础沉降可归纳成下式表示： 式中e合力的偏心距K计算系数，可按lb由有关图表查得。 【例题18】地基沉降计算时所采用的弹性理论法，其基本假定为()。 A.地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体；基础整个底面和地基一直保持接触； B.地基是不均质的、各向异性的、线弹性的半无限体；基础整个底面和地基一直保持接触； C.地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体； D.地基是均质的、各向同性的、线弹性的半无限体；基础整个底面和地基部分保持接触； 答案：A (二)分层总和法 1.基本假设 分层总

24、和法一般取基底中心点下地基附加应力来计算各分层土的竖向压缩量，认为基础的平均沉降量s为各分层土竖向压缩量si之和。在计算出si时，假设地基土只在竖向发生压缩变形，没有侧向变形，故可利用室内侧限压缩试验成果进行计算。 2.计算步骤 (1)地基土分层。成层土的层面(不同土层的压缩性及重度不同)及地下水面(水面上下土的有效重度不同)是当然的分层界面，分层厚度一般不宜大于0.4b(b为基底宽度)。 (2)计算各分层界面处土自重应力。土自重应力应从天然地面起算。 (3)计算各分层界面处基底中心下竖向附加应力。(4)确定地基沉降计算深度(或压缩层厚度)。一般取地基附加应力等于自重应力的20()深度处作为沉

25、降计算深度的限值；若在该深度以下为高压缩性土，则应取地基附加应力等于自重应力的10()深度处作为沉降计算深度的限值。 (5)计算各分层土的压缩量si 式中，n为沉降计算深度范围内的分层数。 【例题19】某矩形基础底面宽度为8m，当采用分层总和法进行地基变形验算时，地基土的分层厚度不宜超过（）。 A.2mB.3.2mC.4mD.6m答案：B 【例题20】当确定地基的沉降计算深度时，对于中等压缩性土的地基，其沉降计算深度为（）。A.取地基附加应力等于自重应力的20深度处作为沉降计算深度； B.取地基附加应力等于自重应力的10深度处作为沉降计算深度； C.取地表以下基础底面宽度的3倍处作为沉降计算深

26、度； D.取基底以下基础底面宽度的3倍处作为沉降计算深度；答案：A 六、饱和粘性土地基沉降与时间的关系 碎石土和砂土的压缩性小而渗透性大，在受荷后固结稳定所需的时间很短，可以认为在外荷载施加完毕时，其固结变形就已经基本完成。饱和粘性土与粉土地基在建筑物荷载作用下需要经过相当长时间才能达到最终沉降，例如厚的饱和软粘土层，其固结变形需要几年甚至几十年才能完成。因此，工程中一般只考虑粘性土和粉土的变形与时间的关系。 (一)饱和土的有效应力原理 作用于饱和土体内某截面上总的正应力由两部分组成：一部分为孔隙水压力u，它沿着各个方向均匀作用于土颗粒上，其中由孔隙水自重引起的称为静水压力，由附加应力引起的称

27、为超静孔隙水压力(通常简称为孔隙水压力)；另一部分为有效应力它作用，它作用于土的骨架(土颗粒)上，其中由土粒自重引起的即为土的自重应力，由附加应力引起的称为附加有效应力。饱和土中总应力与孔隙水压力、有效应力之间存在如下关系： 上式称为饱和土的有效应力公式，加上有效应力在土中的作用，可以进一步表述成如下的有效应力原理： (1)饱和土体内任一平面上受到的总应力等于有效应力与孔隙水压力之和； (2)土的强度的变化和变形只取决于土中有效应力的变化。 【例题21】饱和砂层受到外力时，由砂与水共同承担和传递，并符合，在地震作用下，下列各叙述正确的是()。 A.孔隙水压力可转变为有效应力，有效应力增大，但总

28、应力保持不变； B.有效应力部分甚至全部转变为孔隙水压力，但总应力保持不变； C.有效应力保持不变，孔隙水压力增大，使总压力增大； D.孔隙水压力保持不变，有效应力减少，使总压力减少；答案：B (二)太沙基一维渗流固结理论 太沙基(K。Ter2aghi，1925)一维固结理论可用于求解一维有侧限应力状态下，饱和粘性土地基受外荷载作用发生渗流固结过程中任意时刻的土骨架及孔隙水的应力分担量，如大面积均布荷载下薄压缩层地基的渗流固结等。 1.基本假设 (1)土是均质的、完全饱和的； (2)土粒和水是不可压缩的； (3)土层的压缩和土中水的渗流只沿竖向发生，是单向(一维)的； (4)土中水的渗流服从达

29、西定律，且土的渗透系数和压缩系数在渗流过程中保持不变； (5)外荷载是一次瞬时施加的。 2.固结微分方程 太沙基一维固结微分方程可表示为如下形式： H孔隙水的最大渗径，单面排水条件下为土层厚度，双面排水条件下为土层厚度之半。 【例题22】关于太沙基一维渗流固结理论的基本假定，不包括的选项为（）。 A.土是均质的、完全饱和的；B.土粒和水是不可压缩的； C.土层的压缩和土中水的渗流只沿竖向发生，是单向(一维)的； D.土中水的渗流服从达西定律，但土的渗透系数和压缩系数在渗流过程中变化； 答案：D (三)固结度 土层在固结过程中，t时刻土层各点土骨架承担的有效应力图面积与起始超孔隙水压力(或附加应力)图面积之比，称为t时刻土层的固结度，用Ut表示，即 由于土层的变形取决于土中有效应力，故土层的固结度又可表述为土层在固结过程中任一时刻的压缩量St与最终压缩量Sc之比，即为便于实际使用，一般将固结度计算公式按不同附加应力分布图形绘制成UtTv关系曲线。在地基固结分析中，通常有二类问题：一是已知土层固结条件时可求出某一时间对应的固结度，从而计算出相应的地基沉降St；二是推算达到某一固结度(或某一沉降St)所需的时间t。