关于几何直观的教学讲义[1]

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1、一、（一）11关于几何直观的教学北京教科院基教研中心北京教科院基教研中心 吴正宪吴正宪北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院 郑卫红郑卫红北京教育学院宣武分院北京教育学院宣武分院 朱朱 洁洁吴正宪吴正宪北京教科院基础教育研究中心小学数学教研室主任国家督学、全国人大代表、特级教师、享受国务院政府特殊津贴专家。郑卫红郑卫红“北京市小学数学教师专业研修远程培训”项目指导专家“促进北京市小学数学教师专业发展培训”项目指导教“北京市小学数学教师专业研修培训”项目指导专家朱朱 洁洁北京教育学院宣武分院小学数学教研员活动流程活动流程14:00-16:10 专家讲座专家讲座16:10-16:20 休休 息息

2、16:20-16:50 互动问答、视频研讨互动问答、视频研讨16:50-17:00 下期活动预告下期活动预告宁夏的吕霞老师宁夏的吕霞老师围绕模型思想在教学中的作用展开了深围绕模型思想在教学中的作用展开了深入的思考。入的思考。天津的李惠民老师天津的李惠民老师围绕具体教学实例阐述了如何在教学围绕具体教学实例阐述了如何在教学中以构建数学模型为核心，培养学生解决问题的能力。中以构建数学模型为核心，培养学生解决问题的能力。内蒙海拉尔的张妍老师内蒙海拉尔的张妍老师针对小学阶段的两个典型模型针对小学阶段的两个典型模型“路程速度路程速度时间时间”、“总价单价总价单价数量数量”从四个从四个方面提出了有针对性的建

3、议。方面提出了有针对性的建议。数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想。十个核心概念一、对“几何直观”的整体认识二、“几何直观”在教学中发挥的作用三、思考与建议一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。17

4、5 3（组）2（个）2分了分了1515个个 余下余下2 2个个 1 7531 5要分要分1717个个 一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。2+3+4 43一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：一要提倡“做数学”的学习方式，在具体的操作中实现几何直观思维的提升。的的个数是个数是 的的2倍倍。的个数是的个数是 的的2倍。倍。标 准：比较量：一、对“几何直观”的整体认识从课标看“

5、几何直观”：教学中必须加强学生对图形的认识、理解、感悟能力。教学中必须加强学生对图形的认识、理解、感悟能力。a3a2.5a0.7a一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：借助几何直观进行教学，理解数学问题的本质。借助几何直观进行教学，理解数学问题的本质。数的认识、数的运算数的认识、数的运算数位数位计数单位计数单位进率进率4238210.32284+45768831471.92440借助几何直观进行教学，理解数学问题的本质。一、对“几何直观”的整体认识从课标看“几何直观”：利用信息技术展示几何直观。一、对“几何直观”的整体认识一、对“几何直观”的整体认识通过“教育大家”再认识“几何直观

6、”：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”数学家克莱因 一、对“几何直观”的整体认识通过“教育大家”再认识“几何直观”：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”弗莱登塔尔一、对“几何直观”的整体认识通过“教育大家”再认识“几何直观”：“缺乏概念的直观是 空虚的，缺乏直观的概念 是盲目的。”康德一、对“几何直观”的整体认识通过“教育大家”再认识“几何直观”：“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。”徐利治

7、一、对“几何直观”的整体认识 我们对几何直观的理解：让几何直观更宏观一些，我们这里把“几何直观”界定为：“让看得见的东西来帮忙，使学生在数学学习过程中能够利用直观来理解问题、进行数学思考、进行交流、解决问题”，这里“看得见的东西”不仅包括几何图形还包括一些实物图。”二、“几何直观”在教学中发挥的作用数与代数图形与几何统计与概率综合与实践 让抽象的数概念形象化 让形式的数运算内涵化 让单调的计量单位丰富化 让纷杂的数学信息关联化 让复杂的数量关系明朗化 让抽象的数概念形象化连一连 让抽象的数概念形象化折一折 让抽象的数概念形象化猜一猜 让抽象的数概念形象化 让抽象的数概念形象化近似数改写 让抽象

8、的数概念形象化甲、乙两个数，将甲数用四舍五入法省略“万”后面的尾数约是6万，将乙数改写成以“万”为单位的数是6万。甲数和乙数比大小，（）。A.甲数=乙数 B.甲数乙数 C.甲数乙数 D.无法确定5000060000550006500050000 55000 60000 65000 让抽象的数概念形象化20个小球，一份一份地数，数到最后一份恰好数完，每份可以是几个？让形式的数运算内涵化在运算教学中的“理”与“法”都是我们应该也必须关注的，但对于学生来讲运算的形式是显性的，而运算的道理则是隐性的。因此我们的教学还要思考如何让这些“隐性”的理崭露头角，进而内化为学生的认知。让形式的数运算内涵化加法交

9、换律（连一连：一一对应）让形式的数运算内涵化乘法交换律（转一转：一一对应）3行4行“3545”和“（34）5”acbc （ab）c35453行蓝方块的个数4行绿方块的个数总个数(34)57行=如果方块是这样摆的，一共有多少块？3行5行 综合算式怎么列？还能像刚才一样，合起来算吗？345644466666345644466666 让形式的数运算内涵化2.54.5J.L.Martin：只有当孩子们对乘积过程很自信了，然后再鼓励他们使用较短的（竖式）书写形式。让单调的计量单位丰富化从某种意义上来讲，“计量单位”只是一种规定，是一种大家定好的标准。既然是规定好的，也就是“既成事实”的，大家只要知道了并

10、按规定使用也就可以了。如果我们只是这样认为，那么对“计量单位”的认识就会略显单薄，只有丰富了学生的感悟才能让这种“规定”深入人心。让单调的计量单位丰富化 让单调的计量单位丰富化选一选：保证密铺 圆形不行！拼在一起有缝隙。1.选出合适的测量标准。2.把所选的图形分别覆盖在两个长方形上，测量它们的面积，比较大小。让单调的计量单位丰富化 摆一摆：选择更好选择正方形更好！让单调的计量单位丰富化 比一比：找到最好边长2边长1边长39664选择边长为1的正方形最好！让纷杂的数学信息关联化 在相同数据中辨别关系 让纷杂的数学信息关联化 在动态展示中突出关系 让纷杂的数学信息关联化 第一天第二天第三天在图示对

11、比中强化关系 让复杂的数量关系明朗化在数学教学中，联系的看问题，建立起数量之间关系尤为重要。对于稍复杂的数量关系，单凭语言描述和逻辑推理，学生很难真正感悟到关系背后的“道理”。让复杂的数量关系明朗化 让复杂的数量关系明朗化 让复杂的数量关系明朗化 让复杂的数量关系明朗化98679966 让复杂的数量关系明朗化 让复杂的数量关系明朗化一个数的倒数一定比这个数小。（一个数的倒数一定比这个数小。（）舍去“旁枝末节”，聚焦研究核心舍巧借留下痕迹，实现直观感悟 留追求独具匠心，突破认知难点 求舍去“旁枝末节”，聚焦研究核心舍关注点跑偏了，怎么办？活动设计设问水平竖直倾斜？两条直线是怎样的关系？设问从熟悉

12、的情况中入手，初步认识 情况变化了，图中两条直线还互相平行吗？设问在变化的表象中对比，揭示本质长长度度方方向向 能画出与下面这条直线有平行关系的直线吗？设问在画图的过程中提升，丰富理解巧借留下痕迹，实现直观感悟 留空间想象空间想象有形有形无形无形借助现代信息技术实现“动过留痕”1 1 借助现代信息技术实现“动过留痕”1 1 借助现代信息技术实现“动过留痕”1 1 借助画图策略实现借助画图策略实现“思维留痕思维留痕”2 2巧借留下痕迹，实现直观感悟 留复杂问题复杂问题追求独具匠心，突破认知难点 求 数学课常常要用到教具，而数学课常常要用到教具，而“独具匠心独具匠心”的教具设计往往能帮我们达到的教

13、具设计往往能帮我们达到“事半功倍事半功倍”的教学效果，尤其是能帮我们很好的教学效果，尤其是能帮我们很好的的突破认突破认知难点。知难点。空间想象空间想象 此图非彼图统计图此数非彼数平均数 统计图不是简单的图案，而是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具。表现统计数字大小和变动的各种图形总称。其中有条形统计图、折线统计图、扇形统计图、象形图等。此图非彼图统计图 从统计学来讲，平均数是一个极具实用价值的统计量。在数学课程标准（2011年版）的十个核心概念中也明确提出了“数据分析能力”。而这种抽象、深奥、虚实交融的统计学概念，学生并不好理解为什么“平均数”不是一个

14、实在的表示一个具体数量的数。此数非彼数平均数环节一：看图找范围环节二：平均数是小数借助“几何直观”变独立问题为一类问题借助“几何直观”变复杂操作为简单示意借助“几何直观”变独立问题为一类问题借助“几何直观”我们可以很好地将一个一个独立的问题或者数据，整理为一串、一类的问题和数据。连一连 一起掷两个骰子，一起掷两个骰子，朝上的面得到两个数朝上的面得到两个数，这两个数的和可能，这两个数的和可能有哪些？哪些和出现有哪些？哪些和出现的可能性大？哪些和的可能性大？哪些和出现的可能性小？为出现的可能性小？为什么？什么？整理借助“几何直观”变复杂操作为简单示意现代汉语词典中对示意图的释义是：为了说明内容较复

15、杂的事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。课堂教学的时间毕竟是有限的，我们希望让学生经历学习的过程而不是凡事都要“动手实验”。一些实操活动我们可以发挥示意图的功效，把复杂的实验活动用略图来呈现，这样不仅避免了操作中技巧的“干扰”，也便于学生将注意力集中到数学研究的核心本质当中。三、思考与建议1.正确处理好直观和抽象之间的关系。正确处理好直观和抽象之间的关系。2.正确处理好手段与能力之间的关系。正确处理好手段与能力之间的关系。作业：作业：结合实例谈一谈结合实例谈一谈“几何直观几何直观”在教学在教学中发挥的作用中发挥的作用互动研讨互动研讨下期活动预告下期活动预告时时 间：间：2013年年11月月15日周五日周五