观测量权ppt课件

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1、觀測量的權權的觀念與計算緒言n觀測量含有誤差，而各觀測量的誤差大小也不一样。n為了滿足某些幾何條件，各觀測量必須加以矫正。n就誤差理論而言，誤差大的其矫正量也要大，誤差小的則矫正量小。n觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種指標。權是用來在平差中控制觀測量矫正的大小量。n精度愈高的權愈大，反之則權愈小。n因此，權與變異數成反比。換言之，矫正量的大小與權成反比。n權是相對的，因此，協變方矩陣中的變異數與協變方，可以用餘因子(cofactor)替代。其關係式如下20ijijq 第ij個觀測量的餘因子參考變異數，用來決定比例緒言n餘因子矩陣Q可寫為n其中為協變方矩陣n因此，權矩陣為201Q2

2、222122121211nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx 1201QW120220232022202120000000000000Wxnxxx220iiw在非相關觀測量中權矩陣為對角矩陣可用單位權(觀測量)變異數取代加權平均值n觀測兩次，其中一次是另一次的二倍好，假设較差的那一次的權值為1，則較好的那一次的權值應為2。n在計算平均值時，權值為2的觀測量應被加兩次，而權值為1的觀測量則被加1次，再除以總次數3。n例如，以EDM丈量距離其精度為以捲尺丈量的兩倍，以EDM丈量的結果為152.5m，而以捲尺丈量良的結果為151.9m，則其加權平均值為3.152215.15229.15113.1

3、5235.1525.1529.151MM加權平均值n假設z有m個獨立的觀測量zi，每個觀測量的標準差為，則觀測量平均值為n假设將觀測量分成兩組，一組的數量為ma另一組的數量為mb，且m=ma+mb，則平均值為n總平均值則為mzzmii1bmmiibamiiamzzmzzaa11bammiimiimmiimiimmzzmzzzaaaa1111加權平均值wwzwwzwzwzmmmzmzzbabbaababbaa第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或是值例例9.1 假設一段距離假設一段距離d量測三次，得以下結果：量測三次，得以下結果：92.61,權為權為3、92.60,權為權為2、92.62,權為

4、權為1；試計算其權平均。；試計算其權平均。解：加權均值為608.92123)62.92(1)60.92(2)61.92(3d假设忽略權，則三個量測之簡單平均值為：92.61權與標準差的關係)14.9(222222212aamaaazzzzzzz)15.9(m1m1m m1 m1m12a22aa22a22a22a2za由誤差傳播定律知將對各觀測量的偏導數值代入，得同理，得)16.9(122bzmb權與標準差的關係azbz(9.15)與(9.16)二式中，為常數，由(9.13)式，與 之權分別為ma與mb，而因權為相對的，故由(9.15)與(9.16)二式，可得：)17.9(1w 1w2zb2za

5、ba與可得結論：對非相關之觀測量，權與量測之變方成反比。加權觀測量的統計學n標準偏向n由定義知，當某觀測量的精度等於w個單位權觀測量的平均值時，則該觀測量的權為w。n假設0為單位權的標準誤差，假设y1、y2、yn維觀測量，其標準差分別為1、2、n，權則分別為w1、w2、wn，則由(9.5)式，可得)18.9(w w wnon2o21o1，加權觀測量的統計學標準偏向則為(9.20)11122222211nvwnvwvwvwSniiinn(9.19)n/wnwwwn1i2ii2nn222211不等權的標準誤差則為因為等權的標準誤差為nnii12加權觀測量的統計學nnnonoonwwwnwwnwww

6、nwwnwwwnww22222222121211 1 1 1n 權為w的標準誤差與加權平均的標準誤差由權與變異數關係知)1(,)1(,)1(2n222121nwwvSnwwvSnwwvSn同理得標準偏向加權觀測量的統計學)1(2nwwSM假设令上式分母中的權為1，則得加權觀測量的單位權標準偏向(參考標準偏向)S0加權平均的參考標準誤差與標準偏向分別為wnwM2角度量測的權333222111 nnn，2322222121 1 1321SnSSnSSnS，在觀測條件一样下，某平面三角形的三個內角：1、2與3，分別被量測了n1、n2與n3。那麼這些角度的相對權為假设干？為分析權與角度觀測次數之間關係

7、，設S為角度單一觀測之標準偏向，三個角度之平均值如下：平均值的變異數為因觀測量的權與觀測變異數成反比，且為相對的，故三個角度的權為：2323222221213211 1 1SnSwSnSwSnSw，權與觀測次數成正比逐差水準測量的權)(222/22DrhNDDlNi2(1)(2)(3)BM A=100.00BM X水準網右圖所示為水準網，水準線1、2與3的長度分別為2公里、3公里與4公里。水準線長度不同，其相應的高差誤差也會不一样，因此各水準線的權也會不同。而其相對權應為假设干？因為逐差水準測量高差的標準誤差為同一水準線為常數klDkihDr222/逐差水準測量的權klwklwklw33221

8、11 1 1，因此，3條水準線的權分別為：411 311 211332211lwlwlw，因為權是相對的直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數成正比，所以權與儀器設站次數成反比成正比，所以權與儀器設站次數成反比實例例例9.2 假设三角形假设三角形ABC之三個角由同一個人，利用一样儀器觀測，觀測之三個角由同一個人，利用一样儀器觀測，觀測成果為：成果為：A=451525,n=4,B=833722,n=8,C=510739,n=6；試平；試平差矫正這些角度。差矫正這些角度。解：如表解：如表9.1所示，根據觀測次數來給定

9、權，矫正數則與權成反比；三所示，根據觀測次數來給定權，矫正數則與權成反比；三個角度量測值的和為個角度量測值的和為1800026，故閉合差為，故閉合差為26；在第三欄之矫正；在第三欄之矫正因子裡，為計算方便且避開分數，將矫正因子乘以因子裡，為計算方便且避開分數，將矫正因子乘以24，而因權為相對，而因權為相對者，故此並不影響矫正。最後一列各項總和可用來重複檢核。者，故此並不影響矫正。最後一列各項總和可用來重複檢核。角 n(權)改正因子改正數改正值A4(1/4)24=6(6/13)26=12451513B8(1/8)24=3(3/13)26=6833716C6(1/6)24=4(4/13)26=85

10、10731=13=26=1800000表表9.1 例例9.2之之平平差差改改正正實例例例9.3 類似圖類似圖9.1之水準網，水準線之水準網，水準線(1),(2),(3)之線長分別為之線長分別為2,3,4公里，公里，假设三段線之觀測高差分別為：假设三段線之觀測高差分別為：2.120m,2.123m,2.129m，求各段高，求各段高差之加權平均，與水準點差之加權平均，與水準點BMX之高程之高程(每一段均自每一段均自BMA測至測至BMX)。解：水準線解：水準線(1),(2),(3)之權分別為之權分別為1/2,1/3,1/4，又因權為相對者，上列權，又因權為相對者，上列權可乘上恣意數可乘上恣意數12而

11、得：而得：6,4,3，再應用，再應用(9.13)式，高差之加權平均為：式，高差之加權平均為：m123.2346129.23123.24120.26平均高差故BMX之高程=100.000+2.123=102.123m；假设不考慮加權平均，僅求簡單平均，則平均高差變為2.124m。實例mM716.190421710.1904716.1902741.190例例9.4 利用布卷尺量得一段距離為利用布卷尺量得一段距離為190.741m，權設為，權設為1；又用鋼卷尺量得；又用鋼卷尺量得為為190.716m，權設為，權設為2；再用；再用EDM量得為量得為190.710m，權設為，權設為4。試求線。試求線長之

12、最或是值長之最或是值(即加權平均即加權平均)與加權平均值之標準偏向。與加權平均值之標準偏向。mnwwvSM0074.027000769.0)1(2解：加權平均其中v1=190.716190.741=0.025 w1v12=1(0.025)2=0.00062v2=190.716190.716=0.000 w2v22=2(0.000)2=0.000000v3=190.716190.710=+0.006 w3v32=4(+0.006)2=0.000144wv2=0.000769實例例例9.5 假设自水準點假设自水準點A測至測至B，共四條不同之路線，資料如表，共四條不同之路線，資料如表9.2所示，為所

13、示，為計算方便，權計算成計算方便，權計算成18/li，試求高差之最或是值，試求高差之最或是值(加權平均加權平均)、加權平均、加權平均之標準偏向、與加權觀測之標準偏向。之標準偏向、與加權觀測之標準偏向。m7315.736918711.73736.76745.79727.718平均高差表表9.2 例例9.5水準路線資料水準路線資料路線 線長(km)高差(m)權wvv2wv2標準偏差117.727180.0050.0000230.0004190.008227.7459-0.0130.0001810.0016310.011337.7366-0.0040.0000190.0001120.014467.71130.0200.0004030.0012080.019wv2=0.00337解：解：實例m0335.0300337.01nwvS2m0056.033600337.0)1n)(w(wvS2m1940.03300337.0S m1370.03600337.0Sm1120.03900337.0Sm0079.031800337.0)1n(wwvS432121，標準偏向假设僅求簡單平均，則平均高差變為7.730m。加權平均標準偏向加權觀測量的標準偏向作業n9.2、9.8、9.9