第章自动控制系统的数学模型ppt课件

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1、1第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型引言引言控制系统的微分方程时域控制系统的微分方程时域微分方程的建立微分方程的建立非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化控制系统的传送函数复域控制系统的传送函数复域Laplace变换变换传送函数传送函数控制系统的构造图控制系统的构造图信号流图信号流图脉冲呼应函数脉冲呼应函数2数学模型 是描画系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。对于同一个系统而言，数学模型不是独一的。数学模型的方式：假设只需求反映系统静态关系，就可以用代数方程；假设要表示系统输入和输出之间的动态关系，就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。建立模型的方法：机理建模和实

2、验建模。系统 多个元部件经过某种方式组合在一同所构成的整体。集中参数系统：变量仅仅是时间的函数。动态数学模型通常是微分方程。分布参数系统：变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。动态数学模型通常是偏微分方程。引言引言3线性系统线性系统:满足叠加原理加和性满足叠加原理加和性f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)与与齐次性齐次性f(kx)=kf(x)f(kx)=kf(x)的系统。的系统。叠加原理阐明两个不同的作用函数同时作用于系统的呼应，叠加原理阐明两个不同的作用函数同时作用于系统的呼应，等于两个作用函数单独作用的呼应之和。等于两个作用函数单独作用的呼应之

3、和。非线性系统：不满足叠加原理的系统。非线性系统：不满足叠加原理的系统。线性定常系统：线性微分方程的各项系数为常数。线性定常系统：线性微分方程的各项系数为常数。线性时变系统：线性系统的微分方程的系数为时间的函数。线性时变系统：线性系统的微分方程的系数为时间的函数。本章讨论的系统：本章讨论的系统：单输入单输出集中参数线性定常系统单输入单输出集中参数线性定常系统可以线性化的非线性单输入单输出集中参数定常系统可以线性化的非线性单输入单输出集中参数定常系统引言引言4建立控制系统微分方程的普通步骤在建立系统微分方程模型时，应留意各元件的信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级的单

4、向传送；前后衔接的两个元件中，后级对前级的负载效应。最后化成规范方式：与输入量相关的写在方程右边，与输出量相关的写在方程左边，两端变量的导数项均按降幂陈列。系统原理方块图确定输入输出量各元件的微分方程整理规范方式消去中间变量I/O之间的微分方程简化控制系统的微分方程控制系统的微分方程5控制系统的微分方程控制系统的微分方程对任何线性定常系统，假设它的输出为c(t)，输入为r(t)，那么系统微分方程模型的普通方式如下：有时将输出的0阶导数项的系数化为1。对于实践的系统，nm，而且大多数系统nm。)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadt

5、tdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn6试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)首先确定输入和输出。然后根据物理定律列写方程dttdyftF)()(12221)()()()(dttydmtFtFtF质量块的运动阻尼器的阻力F1(t)弹簧的恢复力F2(t)则令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT消去中间变量，化为规范方式式中，T为时间常数，为阻尼比，K为比例系数。f 阻尼系数 k 弹性系数22()()1()()m d y tf dy ty tF tkdtkdtk2()()F tky t 微分方程

6、的建立微分方程的建立 例例7首先确定输入和输出。设回路电流为i(t),由克希霍夫定律写出回路方程为：消去中间变量 得到描画电路输入输出关系的微分方程为 i tRLCurucR-L-C电路与前面建立的弹簧-质量-阻尼器系统的微分方程比较，crudtdiLRiuCidtduc tuudttduRCdttudLCrccc22二者的构造有类似之处，称为类似系统。)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT令RC=T2，L/R=T1，那么 tuudttduTdttudTTrccc22221微分方程的建立微分方程的建立 例例8首先确定输入和输出。设回路电流为i1(t)、i2(t)，由克希霍夫

7、定律写出回路方程为：urR1R2ucC2i1i2C1ccuiRu221)(12111iiCdtduc111cruiRu221iCdtduc消去中间变量i1(t)、i2(t)、uc1，得到描画网络输入输出关系的微分方程为rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR)(212211222211rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221令 T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2那么有负载效应微分方程的建立微分方程的建立 例例9列写微分方程要留意：确切反映系统的动态性能、遵照物理定律。忽略次要要素，简化分析计算。系统由几个储能元件就是几阶微分方程。微分方程的建立微分方程的建立

8、 例例10非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化问题的提出模型精度越高，模型就越复杂，通常会产生非线性。通常在建立模型时，会在模型准确性和可行性之间做出折衷思索。在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处置方法称为非线性数学模型的线性化。线性化的条件：小偏向实际或小信号实际。在工程实际中，控制系统都有一个额定的任务形状和任务点，当变量在任务点附近作小范围的变化时，就满足这个条件。在任务点附近存在各阶导数或偏导数。线性化的方法：在给定任务点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶项后，就可得到只包含偏向的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏向法。11非线性微

9、分方程的线性化非线性微分方程的线性化设非线性函数y=f(x)如下图，假设在给定任务点y0=f(x0)处各阶导数均存在，那么在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：202200)()(!21)()()()(00 xxxxfxxxxfxfxfyxx假设偏向x=x-x0很小，那么可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为xKxxxxfxfxfyyyxxxxfxfxfyxx)()()()()()()()(0000000K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在任务点处可以用该点的切线方程线性化。yy=f(x)y0 x0 x12非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化J在处置线

10、性化问题时，需求留意以下几点：J上述的线性化是针对元件的某一任务点进展的，任务点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必需确定元件的任务点。J在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，假照实践系统中输入量变化范围较大时，采用小偏向法建立线性模型必然会带来较大的误差。J线性化后的微分方程通常是增量方程，在适用上为了简便通常直接采用y和x来表示增量。J假设描画非线性特性的函数具有延续点，折断点或非单值关系而无法作线性化处置时，那么控制系统只能运用非线性实际来研讨。13非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化不满足展开成泰勒级数的条件的非线性特性，不能运用“小偏向线性化的

11、概念进展线性化的非线性特性叫做本质非线性。14Laplace变换变换定义 设有函数f(t),t为实变量，s=+j为复变量。假设线性积分存在，那么称它为函数f(t)的拉普拉斯变换，称F(s)是f(t)的象函数，称f(t)是F(s)的原函数。变换后的函数是复变量s的函数，记作F(s)或Lf(t)即0()()stF sf t edt()()L f tF s在上式中，其积分下限为零，但严厉说有0-和0+之分。对于在t=0处延续或只需第一类延续点的函数，0-和0+型的拉氏变换是一样的，但对于在t=0处有无穷腾跃的函数，两种拉氏变换的结果是不一致的。为了反映这些函数在0-，0+区间的表现，商定式中的积分下

12、限为0-。15Laplace变换变换 例例10t例：求单位阶跃函数例：求单位阶跃函数1(t)的拉氏变换的拉氏变换单位阶跃函数的拉氏变换为11()()1|00ststR sL r tedtess 0001)(1ttt例：单位脉冲函数的拉氏变换例：单位脉冲函数的拉氏变换0t1ttttr和000/1)(单位脉冲函数，记为000)(ttt单位脉冲函数的拉氏变换为()()1R sL r t16常见的拉氏变换常见的拉氏变换st1)(121st set122sinst22cossst)0()()(fssFtfdtd)0()0()()(222fsfsFstfdtdsfssFdttf)0()()(22cosba

13、sasbteat22sinbasbbteat17Laplace变换的根本定理变换的根本定理线性定理设F1(s)=Lf1(t),F2(s)=Lf2(t),a和b为常数，那么有Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)=aF1(s)+bF2(s)微分定理时的值。及其各阶导数在为函数）（式中0)()0(),0(,0)0()0()0()()()1()1(21ttffffffsfssFsdttfdLnnnnnnn)()(0)0()0()0()1(sFsdttfdLfffnnnn时，有当18Laplace变换的根本定理变换的根本定理积分定理(1)()1(1)(2)()111()()(0)

14、(0)(0),(0),(0)()0nnnnnLf t dtF sffsssffff tt 式中，为的各重积分在时的值。(1)(2)()(0)(0)(0)1()()nnnfffLf t dtF ss 如果，则有位移定理。位移定理亦称延迟定理（复域中的位移定理）（时域中的位移定理）)()()()(00asFtfeLsFetfLats0t0f(t)f(t-0)19Laplace变换的根本定理变换的根本定理终值定理假设函数f(t)的拉氏变换为F(s)，且sF(s)在复平面右半部及除原点外的虚轴上解析，那么有终值定理)(lim)(lim0ssFtfst条件。处有极点，不满足应用在不存在，且，因为jsss

15、ssFtttft22)(sinlimsin)(存在，)(limtft终值定理只适用于sF(s)在复平面右半部包括虚轴上)没有极点的情况。如20Laplace反变换反变换01110111)()()(asasasabsbsbsbsNsMsFnnnnmmmmF(s)通常是复变量s的有理分式函数，普通方式为拉普拉斯反变换：jjstdsesFjsFLtf)(21)()(1式中各系数为实数，m、n为正数，可将F(s)写成因式分解的方式)()()()()()()(2121nmpspspszszszsksNsMsF的极点和零点。是及)(,2121sFzzzpppmn对于F(s)含有极点的不同情况，展开成部分分

16、式的方式也不同，下面分三种情况讨论。21Laplace反变换反变换 F(s)只含有不一样的实极点niiinnpsApsApsApsAsNsMsF12211)()()(ipsiipssNsMA)()()(ninitpiiiieApsALsFLtf1111)()(Ai是常数，它是s=pi的留数，可按下面方法求得确定了待定系数Ai，就可求得F(s)的拉氏反变换：22Laplace反变换反变换 F(s)包含共轭复数极点方法一：仍可用上面单极点的处置方法来分解F(s)，只是Ai是复数。假设p1、p2是共轭复数极点，那么A1、A2也是共轭复数极点，那么A1、A2只求一个即可。方法二：11)()()()21

17、21pspspspssNsMAsA则有（nnpsApsApspsAsAsNsMsF332121)()()()(上面方程式一个复数方程，令两边实部与虚部分别相等，即可求得A1、A2。23Laplace反变换反变换 F(s)中包含有多重极点 假设p1是F(s)的r重极点，其他极点互不一样，那么)()()()()()()()()()()()(1111111111nnrrrrrrnrrpsApsApsBpsBpsBpspspssMsNsMsF重极点对应的各项待定系数可分别由下式计算。11)()()(,)()()(111psrrpsrrpssNsMdsdBpssNsMBLaplace反变换反变换 例例2

18、41231(),().(1)(1)sF sLF sss求,21)(1(13lim)(limiisssissFbisis.21)(1(13lim)(limiisssissFcisis().1abcF sssisi解：设21131lim()(1)lim2,1sssaF s ssLaplace反变换反变换 例例25cossinitetit欧拉公式欧拉公式11222()1iiF sssisi 1()2(1)(1)22tititiiLF seee 12()()22cossin.2tititititteeeeeetti26Laplace反变换反变换 例例21()965sF sss求的拉氏逆变换.解2221

19、11()129659()()33ssF ssss222212133.12129()()()()3333sss111331212()()cossin.9393ttf tLF setetLaplace反变换反变换 例例2722222()()saF ssa求的拉氏逆变换.2222222222222()()()()sasaF ssasasa解212221(sincos)()2sLatatatsaa212221(sincos)()2aLatatatsaa22122 2()cos.()saf tLtatsa28用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯变换求解微分方程的普通步骤是：对线性微分方

20、程的每一项进展拉氏变换，使微分方程变成以s为变量的代数方程；留意初始条件的处置。求解代数方程，得到输出变量象函数的表达式；将象函数展开成部分分式；对部分分式进展拉氏反变换，得到微分方程的解。29用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程 例例知系统的微分方程为xydtdydtyd2322。，求系统的输出，为，初始条件为输入变量，设为系统的输出变量，式中)(15)0(5)0()(120tyyytxxy【解】对微分方程进展拉氏变换得ssYyssYysysYs20)(2)0(3)(3)0()0()(2统输出的拉氏反变换为将初始条件代入可得系)2)(1(20305)23(20305)(222ssss

21、sssssssY2101510)(ssssY将上式展开成部分分式tteety210510)(进行拉氏反变换得30用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程 例例 100 dyTyrrtdty用拉氏变换解微分方程整理得【解】方程两边进展拉氏变换得方程两边进展拉氏反变换得Ttetty)(1)(TteTty1)(r tt假设11/T sRsYsTsY TsssTsTssRsY/1111111那么 TsTTssY/1111131问题的提出定义：线性定常系统的传送函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。几点阐明：线性定常系统不是线性定常的系统能否有传送函数？零初始条件的含义

22、：1、系统的输入在t0时才作用于系统。即在t=0-时系统输入及各项导数均为零。2、输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在t=0-时输出及其一切导数项为零。不满足零初始条件的系统能否有传送函数？传送函数传送函数32传送函数传送函数式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai(i=1,2,n)和bj(j=1,2,.m)是与系统构造和参数有关的常系数。设r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时的值为0，即满足零初始条件，那么对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)=Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：由定义得系统的传送函数为 sRbsbsbsCasasammmmnnnn01

23、1011 sNsMasasabsbsbsRsCsGnnnnmmmm011011 trbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn01110111设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描画：33传送函数传送函数 例例2(1)()()crLCsRCsUsUs2()1()()1crUsG sUsLCsRCs22()()()()cccrd u tdu tLCRCu tu tdtdtRLC无源网络的传送函数其传送函数为：在零初始条件下对上述方程中各在零初始条件下对上述方程中各项求拉氏变换，并令项求拉氏变换，并令Ur(s)和和Uc(s)分别为分别为ur(t)和和uc(t

24、)的拉的拉氏变换，那么有：氏变换，那么有：【解】由前面知RLC微分方程为RLCuruc弹簧-质量-阻尼器系统二者为类似系统，其传送函数为：22()()1()()m d y tf dy ty tF tkdtkdtk 21G smsfsk34传送函数的表示方式传送函数的表示方式n 是分子多项式的零点，称为传送函数的零点；(1,2,.,)iz im 为分母多项式的零点，称为传送函数的极点。(1,2,.,)jpjnnk称为根轨迹增益。零极点方式：传送函数的分子多项式和分母多项式可经因式分解后可写成如下方式：n零极点分布图：传送函数的零极点分布图是在复数平面上零极点分布图：传送函数的零极点分布图是在复数

25、平面上表示传送函数的零点和极点。普通用表示传送函数的零点和极点。普通用表示零点。用表示零点。用表示表示极点。极点。jnjjmiinmnmpszskpspspszszszsabsRsCsG112121)()()()()()()()()(n传送函数的零极点完全取决于系统参数。n假设是复数，必共轭成对出现。35传送函数的表示方式传送函数的表示方式时间常数方式)1()12)(1()1()12)(1()()()(2222122221sTsTsTsTssssKsRsCsGnm式中一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于共轭复数零极点；i和Tj称为时间常数。K称为传送系数或放大系数，放大系数K和根轨迹增益k

26、之间的关系为 njjmiipzkK11)()(36传送函数分子的阶数m普通低于或等于分母的阶数n，nm(称为物理现实性条件)，且一切系数均为实数。为什么mn不可实现？由于能量有限，系统具有惯性。假设存在G(s)=s，那么当输入信号为单位阶跃信号1(t)时，系统的输出c(t)=L-1C(s)=L-1s/s=(t)，即为单位脉冲函数。在现实世界是不能够的。传送函数反映系统本身固有特性，与输入信号和初始条件无关。传送函数与微分方程有相通性。将微分方程算符d/dt用复数s置换可以得到传送函数。反之亦然。传送函数的性质传送函数的性质微分方程传送函数d/dts零初始条件37传送函数的性质传送函数的性质传送

27、函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传送函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。不同的物理系统能够有一样的传送函数。而同一系统可有不同的传送函数。一个传送函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系，假设是多输入多输出系统，就需求用传送函数矩阵表示。局限性：只适于线性定常系统的表达。不反映初始形状的信息。不反映系统内部的任何信息。38典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数比例环节传送函数比例环节又称无惯性环节或放大环节。K为比例系数。urucKsG)(Kucur构造图)()(tKrtc1Krc惯性环节传送函数ucur构造图1TsKT为时间常数，K为放大系数。惯性环节无零点。RCuruc)

28、()()(tKrtcdttdcT1)()()(TsKsRsCsGr1Kc-1/Tj39典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数积分环节传送函数T为积分时间常数。)()(trdttdcTTssRsCsG1)()()(jKRCurucr(t)c(t)(理想)微分环节传送函数微分环节无极点。sTsGdttdrTtcddRCuruc RCssGRCRCsRCsCsRRsUsUrc时当11/1j测速发电机是典型的微分环节。40典型环节及其传送函数典型环节及其传送函数振荡环节传送函数n叫做无阻尼自然振荡频率。叫做阻尼比。延迟环节传送函数()sG se叫做延迟时间(又称死区时间)。具有延迟环节的系统叫做延迟

29、系统。RLCuruc trtc)()()(2)(222trtcdttdcTdttcdT222222121)(nnnsssTsTsG1rc典型延迟环节主要出如今管道运输过程。41传送函数传送函数 例例知电枢控制直流电动机系统的微分方程如下，求系统分别在两个输入作用下的的传送函数。LaMKuKdtdT21【解】该系统的输入有两个，电枢电压和负载转矩，输出为电机转速，因此需求求两个传送函数。首先对方程两边求拉氏变换得 sMKsUKssTsLa21令负载转矩为0，那么求得电枢电压和输出间的传送函数 11TsKsUsa令电枢电压为0，那么求得负载转矩和输出间的传送函数 12TsKsMsL42构造图的主要

30、组成构造图的主要组成n综合点综合点(比较点比较点)：表示对两个以上的信号进展加：表示对两个以上的信号进展加减运算，减运算，“表示相加，表示相加，“表示相减。表示相减。“可以省略不写。可以省略不写。n注：进展相加或相减的量应具有一样的量纲单位。注：进展相加或相减的量应具有一样的量纲单位。构造图又称为方框图，是每个元件的功能和信号流向的图解表示。优点：可以直观地阐明系统中信号的流动情况。组成：信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。分支点(引出点)：表示信号引出或丈量的位置。n函数方块环节:方框表示对信号进展数学变换。方框中写入元部件或系统的传送函数。G(s)RCCCC+RCR+C43构造图

31、的绘制构造图的绘制步骤如下：建立控制系统各元部件的微分方程，分清输入量、输出量，同时应思索相邻元件之间能否有负载效应。对各元件的的微分方程进展拉氏变换，并做出各元件的构造图。按系统中各变量的传送顺序，依次将各元件的构造图衔接起来，系统的输入信号放在左端，输出放在右端。注：从输入到输出一级一级列方程，方便作图。注：同一系统可以有不同的构造图。注：假设两条信号线没有分支点的关系，但又无法防止的相交，那么应如下作图：44构造图的绘制构造图的绘制 例例 sILssUsUcr1 sIRsUsUcr21R1LR2uruci2i1i sIsIsI21 sURsIc2R2Uc(s)1/R1I2(s)sRRLR

32、RsLRRRRRLsRRLssUsUrc2121221212111111那么系统的传送函数系统的构造图Ls1Ur(s)I1(s)Uc(s)45构造图的绘制构造图的绘制 例例uc sIRsUsUr111urR1R2C2i2iC1i1u1 sIsIsI21 sIRsUsUc21 sUsCsI112/sUsCsIc2/1/(C2s)Uc系统的构造图1/(C1s)U1由该构造图不便于求系统的传送函数，需求进展等效变换。1/R1I1UrU1I2II1/R2Uc46构造图的等效变换和简化构造图的等效变换和简化构造图的变换原那么等效原那么 对构造图的任一部分进展变换时，变换前后输入输出的数学关系坚持不变。构

33、造图的根本组成方式串联：G1G2n反响：反响：n并联：并联：G1G2G1G247构造图的等效变换构造图的等效变换-串联串联 1G s 2Gs R s U s C s串联衔接的等效变换 12Gs G s R s C sn个传送函数依次串联的等效传送函数，等于n个传送函数的乘积。)()()(1sRsGsU)()()(2sUsGsC)()()()()()(21sRsGsRsGsGsC)()()(21sGsGsG48构造图的等效变换构造图的等效变换-并联并联 1G s 2G s R s 1C s 2C s C s并联衔接的等效变换n个传送函数并联的等效传送函数，等于n个传送函数的代数和。12GsG s

34、 R s C s)()()(11sRsGsC)()()(22sRsGsC)()()()()()(2121sRsGsGsCsCsC)()()(21sGsGsG49构造图的等效变换构造图的等效变换-反响反响 G s H s R s C s E s B s反响衔接的等效变换 1G sG s H s R s C sGB(s)称为闭环传送函数。)()()()(sHsGsEsB称为开环传送函数。H(s)=1时称为单位反响。)()()(sEsGsC)()()(sCsHsB)()()(sBsRsE)()()()()(sCsHsRsGsC)()(1)()()()()(sHsGsGsRsCssGB其中G(s)称为

35、前向通道传送函数，H(s)称为反响通道传送函数。50构造图的等效变换构造图的等效变换-综合点综合点综合点的前后挪动综合点间的挪动：普通来说，两个相邻的比较点可以恣意挪动。)(/)()()()()()()(sGsQsRsGsQsRsGsC)()()()()()()()(sQsGsRsGsQsRsGsCG(s)+RCQG(s)RCQ1/G(s)+G(s)RCQ+G(s)RCQG(s)+RCQP+RCPQ+前除后乘思索：什么情况下不可以交换？51构造图的等效变换构造图的等效变换-分支点分支点分支点前后挪动分支点间的挪动：两个相邻的引出点间可以恣意挪动。分支点与综合点间的挪动：G(s)R(s)C(s)

36、R(s)()()(sRsGsCG(s)R(s)C(s)C(s)注：引出点与综合点间普通不做挪动。注：引出点与综合点间普通不做挪动。前乘后除G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)52构造图的等效变换构造图的等效变换 例例1/(C1s)I2I1/R1I1U1Ur1/(C2s)1/R2Uc1/(C1s)1/R1U1Ur1/(C2s)1/R2UcUrsRC1111UcsRC2211R1C2s那么系统的传送函数sRCsRCsRCsRCsRCUUr2211122211011111111R1C2s22121212211)(11sCCRRsCRCRCR53构造图的

37、等效变换构造图的等效变换 例例试化简下述系统构造图，并求传送函数C(s)/R(s)。G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H3(s)H1(s)C(s)R(s)1、将G3(S)和G4(s)间的分支点后移到方框的输出端G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)H3(s)1/G4(s)【解】54构造图的等效变换构造图的等效变换 例例2、接着将H3(s)和1/G4(s)的串联化简，并将G3(S)、G4(s)和H3(s)组成的内反响网络简化，其等效传送函数如下，G3(S)H2(s)G4(s)G2(S)G1(S)H3(s)H1(s)C(s)R(s)1/G4(s

38、)G34(S)H3(s)/G4(s)那么G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)()()(1)()()(2434334sHsGsGsGsGsG55构造图的等效变换构造图的等效变换 例例 234233432321Gs Gs GsGsGs Gs HsGs Gs Hs 23424,GsGsHsGs3、然后将 组成的内反响网络简化，其等效传送函数为：G34(S)G2(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)H3(s)/G4(s)得到图为G23(S)G1(S)H1(s)C(s)R(s)4、最后将求得整个闭环系统传送函数为)()()(1)()()(1231231sHsGsGsGsGsG56构造图的等

39、效变换构造图的等效变换 例例试化简下述系统构造图，并求传送函数C(s)/R(s)。【解】将分支点后移，将综合点前移，得到图为G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)1/G2(s)H1(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)H1(s)R(s)分支点后移综合点前移57构造图的等效变换构造图的等效变换 例例G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)1/G2(s)H1(s)R(s)G1(s)G2(s)C(s)1/G1(s)+1/G2(s)+H1(s)R(s)12121211AC sGs GsGsR sGsGsGs Gs Hs并联58由构造图求传送函数由构造图求传送函数确定输入量与输出量，假设有多个

40、输入量或多个输出量，那么应分别进展构造图的简化变换，求得各自的传送函数。假设构造图有交叉，留意综合点和分支点的相互关系。对多回路构造，由内至外进展变换。留意反响回路的正负号。假设构造图中每个回环的前向通道都有公共部分，而且反响都是负反响，那么各个回路的开环传函前向通道传函闭环传函159由构造图求传送函数由构造图求传送函数 例例G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)+G3(s)G4(s)N(s)求该系统的传送函数。每个回环的前向通道都有公共部分G2(s)，根据各个回路的开环传函前向通道传函闭环传函1 421321242132111GGGGGGHGGGGGGGsRsCs 4213212432

41、1GGGGGGHGGGsNsCs60由构造图求传送函数由构造图求传送函数 例例求该系统的传送函数。G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)G3(s)G4(s)G5(s)每个回环的前向通道都有公共部分G5(s)，根据各个回路的开环传函前向通道传函闭环传函1 HGHGGGGGGGsRsCs43542531161由构造图求传送函数由构造图求传送函数 例例C1G1(s)G2(s)+RCC2EG1(s)G2(s)G2(s)C1E+G1(s)G2(s)EC1G2(s)G1(s)G1(s)C2E+G1(s)G2(s)+C2ECR 2121211GGGGGGsRsCs从而得到传函简化如下的图系统框图，并分

42、别求出传送函数),(/)(11sRsC，)(/)(21sRsC及)(/)(12sRsC。)()(22sRsCR1R2C1C2G1 s()G2 s()G3()sH2 s()H1 s()G4 s()G5 s()G6()s+-+-由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习62R1R2C1C2G1G2G3H2 G2/H1G4G5G6+-+-由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习63R1R2C1C2G1G21 G1G2/(-)G3H2 G2/H1G41G4/(+)G5G6-+由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习6411()()C sR s令2()0R s 求123123411412

43、12414512()()1GG GGG G GC sR sGGGGG GGG G H H由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习6521()()C sR s令2()0R s 求145622141212414512()()1GG G G HCsR sGGGGG GGG G H H由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习6612()()C sR s令1()0R s 求1234511241212414512()()1GG G G G HC sR sGGGGG GGG G H H由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习6722()()C sR s令1()0R s 求456124562

44、241212414512()()1G G GGG G G GC sR sGGGGG GGG G H H由构造图求传送函数由构造图求传送函数 练习练习6869R(s)与C(s)间的前向通道传送函数为G1(s)G2(s),N(s)与C(s)间的前向通道传送函数为G2(s).反响通道和反响通道传送函数：R(s)与C(s)间的反响通道传送函数为H(s),N(s)与C(s)间的反响通道传送函数为G1(s)H(s).开环传送函数：系统的前向通道传送函数与反响通道传送函数的乘积。R(s)与C(s)和N(s)与C(s)的开环传送函数均为G1(s)G2(s)H(s)注：开环传送函数并不是开环系统的传送函数，而是

45、指闭环系统在开环时的传送函数。闭环系统的典型构造G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)+N(s)前向通道和前向通道传送函数：闭环控制系统的构造图与传送函数闭环控制系统的构造图与传送函数70有用输入下的传送函数有用输入下的传送函数 r(t)作用下系统的闭环传送函数令扰动n(t)=0，这时系统构造图如图，系统输出为闭环传送函数为：G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)+N(s)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsR

46、ssC71扰动作用下的传送函数扰动作用下的传送函数 n(t)作用下系统的闭环传送函数令r(t)=0，这时系统构造图如图，系统输出为闭环传送函数为：G1(s)G2(s)C(s)H(s)N(s)B(s)G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)+N(s)系统总输出)()()(1)()()()()(1)()()()(2122121sHsGsGsNsGsHsGsGsRsGsGsC)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn)()()()(1)()()()(212sNsHsGsGsGsNssCn72闭环系统的偏向传送函数闭环系统的偏向传送函数偏向传送函数是在0初始条件下，把

47、偏向作为输出来调查输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。r(t)作用下的偏向传送函数G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)+N(s)E(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)B(s)E(s)偏向是给定输入r(t)与反响信号b(t)之差，即e(t)=r(t)-b(t)或E(s)=R(s)-B(s)。)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEse73闭环系统的偏向传送函数闭环系统的偏向传送函数总偏向 n(t)作用下的偏向传送函数G1(s)G2(s)H(s)N(s)B(s)E(s)-1+G1(s)G2(s)C(s)H(s)R(s)B(s)+N(s)E(s)()()(1)()(

48、)()()(212sHsGsGsHsGsNsEsen)()()()()(sNssRssEene74闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。称为闭环特征方程。其普通方式如下：0)()()(1)(21sHsGsGsD00111asasasnnn0)()(21npspspsnppp、21)()()(1)()()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCs)()()(1)()()()(212sHsGsGsGsNsCsn令闭环系统传送函数的分母等于0信流图是线性代数方程组的一种图形表达。信流图是线性代数方程组的一种图形表达。设设:一组线性方程式如下：一组线性方程式

49、如下：信流图的表示方式信流图的表示方式75信号流图信号流图 76信号流图信号流图 一、几个定义一、几个定义输入节点输入节点:或源节点：只需输出支路的节点或源节点：只需输出支路的节点,如如x1、x5。输出节点输出节点:或阱节点：只需输入支路的节点或阱节点：只需输入支路的节点,如如x4。混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点,如：如：x2、x3。传传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1x2之间的增之间的增 益为益为a，那么传输也为，那么传输也为a。前向通路：信号由输入节点到输出节点传送时，前向通路：信号由输入节点到

50、输出节点传送时，每个节点只通每个节点只通 过一次的通路称为前向通路。如：过一次的通路称为前向通路。如：x1x2x3x4。2x3x4x5xabcdef1x77信号流图信号流图 前向通路总增益：前向通路上各支路增益的乘积 如：x1x2x3x4总增益abc。回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节点相交不 多于一次的闭合通路叫回路。回路增益：回路中，一切支路增益的乘积。图中有两 个回 路，一个是x2x3x2，其回路增益为be，另一个回 路是x2x2，又叫自回路，其增益为d。不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。2x3x4x5xabcdef1x78二、信流图的性质及运算法那么二、信流图

51、的性质及运算法那么 1、每一个节点表示一个变量，并可以把一切输、每一个节点表示一个变量，并可以把一切输入支路信号迭加再传送到每一个输出支路。入支路信号迭加再传送到每一个输出支路。2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。系。支路上的箭头方向表示信号的流向。3、可以添加一个增益为、可以添加一个增益为1的传输且传输两端节点的传输且传输两端节点表示的变量一样。表示的变量一样。信号流图信号流图 2x3x4x5xabcdef1x79信号流图信号流图 80由于 x2=ax1+cx3 x3=bx2 用代入法消去中间变量x2得到：1

52、3xbc1abx 对图中的(d)作一简单推导：信号流图信号流图 81三、三、控控制制系系统统的的信信号号流流程程图图 构造图 信号流图82 四、梅逊四、梅逊(Mason)公式公式 输入与输出两个节点间的总传输或叫总增益，输入与输出两个节点间的总传输或叫总增益，可用下面的梅逊公式来求取：可用下面的梅逊公式来求取：式中：式中：信号流图的特征式。信号流图的特征式。=1-(一切不同回路增益之和一切不同回路增益之和)+(一切两个互不接触一切两个互不接触回路增益乘积之和回路增益乘积之和)(一切三个互不接触一切三个互不接触 回路增益回路增益乘积之和乘积之和)+=1-第第k条前向通路的增益；条前向通路的增益；

53、=r个互不接触回路中第个互不接触回路中第m种能够组合的增益乘种能够组合的增益乘积；积；N 前向通道的总数；前向通道的总数；k 与第与第k条前向通道不接触的那部分信流图条前向通道不接触的那部分信流图的的；kkN1kp1G m3mm2mm1mLLLmrLkP信号流图信号流图83例1 利用梅逊公式，求：Cs/Rs 解：画出该系统的信号流程图 信号流图信号流图84该系统中有四个独立的回路：L1=-G4H1 L2=-G2G7H2 L3=-G6G4G5H2 L4=-G2G3G4G5H2互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式 =1-L1+L2+L3+L4+L1 L2该系统的前向通道有三个：P1=G1G

54、2G3G4G5 1=1 P2=G1L6G4G5 2=1 P3=G1G2G7 3=1-L1 kkN1kp1G 信号流图信号流图85因此，系统的闭环系统传送函数C(s)/R(s)为 112233123451643127414127264522345241272C(s)1=G=(pD+p D+p D)R(s)DGGGGG+GGGG+GGG(1+GH)=1+GH+GGH+GGGH+GGGGH+GHGGHkkN1kp1G 信号流图信号流图86例2：画出信号流图，并用梅逊公式求取传送函数C(s)/R(s)。信流图：留意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信号要 用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。

55、信号流图信号流图87标题中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有 L1L2，即：前向通路只需一条，即 所以sCR1L111 sCR1L222 sCR1L123 sCsRCR1LL221121 sCRCR1sCR1sCR1sCR11LL)LL(L1221112221121321 1sCCRR1P1221211 1sCRsCRsCCRR1PGR(s)C(s)21112212111 88脉冲呼应函数脉冲呼应函数u 在初始条件为0时，线性定常系统对单位理想脉冲输入信号的时域呼应函数，称为该系统的脉冲呼应函数。u 系统的脉冲呼应函数等于系统传送函数的拉氏反变换。系统的脉冲呼应函数等于系统传送函数的拉氏反变换。例：知系统的脉冲呼应函数为2()34tg te求系统的传送函数。