第三章-向量简版10.8.3

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1、第三章 向量组的线性相关性历年试题分类统计及考点分布分值 考点年份 向量组的线性组合与线性表示线性相关、无关的定义性质及判别向量组的极大无关组与向量组的秩等价向量组、向量的秩与矩阵的秩向量空间、基变换、坐标变换、过渡矩阵标准正交基，正交矩阵其他合计873388338933903391927310936694339596339755984379933003301448020344804440506440744081010093471044合计4483221554本章知识脉络图考点分析1. 向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。2. 矩阵的秩（其中有一道是关于空间解析几何的应用题）

2、及其与向量组的秩的关系考过4次。3. 满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果为n阶方阵，则下列条件相互等价：1) （为非奇异方阵）2) 可逆（为可逆矩阵）3) （为满秩方阵）4) 与同阶单位矩阵行（列）等价5) 可以表示成若干个初等方阵的乘积6) 齐次线性方程只有零解7) 对任意n维列向量，非齐此线性方程组有唯一解8) 的行（列）向量组线性无关.利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵的秩是否小于m的问题，或转化为齐此线性方程组是否有非零解的问题）。特别地，由1)与8)的等价性，提供了n个n维向量

3、是否线性相关的判别方法归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。大纲要求向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试内容与要求1 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。2 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。3 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及

4、秩。4 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。5 了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。6 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。7 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。8 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。基本内容一、向量的线性关系1.线性组合定义 若，则称可由线性表示，或称是向量组的线性组合.注意: 零向量是任意向量组的线性组合.定理可由线性表示非齐次方程组有解2.线性相关性定义 设是m个n维向量，若有不全为零的数使则称线性相关，否则称线性无关.注意：（1）无论线性相关，还是线性无关，当时，都有

5、（2）线性相关当且仅当除去全为零的以外，还有一组不全为零的使（3）而线性无关当且仅当时（4）充要条件是只要不全为0，则性质与判别法(1)线性相关齐次组有非零解.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.(2)线性无关齐次组只有非零解.中任一向量都不能由其余个向量线性表示.(3)只有一个向量组成的向量组，向量组线性相关;向量组线性无关.(4) 两个向量组成的向量组，其中，线性相关(5)若向量组中含有零向量，则向量组必线性相关.(6)若向量组线性无关，则该向量组的部分组必线性无关； 若向量组部分组线性相关，则向量组线性相关.(7)设是s维向量是t维向量则，是维向量,若线性无关，则线性无关;若线性相关

6、，则线性相关.(8)若向量组中向量的个数向量的维数，则向量组线性相关.(9) n个n维向量线性无(相)关矩阵的(10)正交的非零向量组，必线性无关.3.线性表示与线性相关性的关系(1)若线性无关，线性相关，则可由线性表示，而且表法唯一.(2)设()，()，若，且()可由()线性表示，则向量组()线性相关(3) 若()线性无关，且向量组()可线性表出()，则 .二、极大无关组与向量组的秩1.向量组的等价定义 若向量组()和向量组()可以相互线性表示，则称向量组()和()等价.性质(1) 向量组等价具有反身性、对称性、传递性.(2)两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同.2.极大无关组定义

7、在向量组中若存在r个向量线性无关，且向量组中任意个向量都线性相关，则称为向量组的极大无关组.性质(1)向量组中任一向量都可由极大线性无关组表出.(2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组.(3)线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身.(4)向量组和它的极大无关组等价.(5)向量组的任意两个极大无关组等价.(6)向量组的任意两个极大无关组的向量个数相同.(7)两个等价的向量组的极大无关组必等价.3.向量组的秩向量组的极大无关组中向量个数性质(1)等价的向量组的秩相等(2) 向量组线性无关 向量组线性相关(3)设向量组() 向量组()若()可由()线性表出，则(4)若向量组的秩为，则向量组中任

8、意个线性无关的向量都是极大无关组.4. 向量组的秩和矩阵的秩的关系(1) 矩阵的秩矩阵行(列) 向量组的秩.(2)对矩阵的行向量线性无关的行向量线性相关的列向量线性无关的列向量线性相关5.极大无关组的求法定理 初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系.证 设A的列向量为线性相关（无关）有非零解（只有零解）而初等行变换，把方程组变为同解方程组，并且对列向量组的部分组也有同样的结论.求极大无关组步骤(1) 把向量组写成矩阵的列向量组；(2) 对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵；(3) 设行阶梯形矩阵的非零行的行数为，则任取非零阶子式，其对应的原来的列向量就是极大无关组，通常取行首非零元所在的列向量

9、做为极大无关组.三向量空间（仅数学一要求）1.向量空间：对加法和数乘封闭的非空集合.例：是向量空间.2.子空间：向量空间中对加法和数乘封闭的非空子集.3.基底：若是向量空间S中的一个线性无关组，且S中任一向量均可由线性表示，则称为向量空间的一个基底.4.维数：向量空间基底中所含向量的个数.5.坐标：设是的一个基底，若，存在唯一的一组数使则称为向量在基下的坐标.6若与是中的两组基，则称为基变换公式，其中可逆矩阵P称为由基到基的过渡矩阵.若向量在基()和()下的坐标分别为则或称为坐标变换公式.7.内积： 若，则称与是正交的.的长度为8.施密特正交规范化方法9.规范正交基：若是的一组基，且满足，则称

10、为规范正交基.若，则是正交矩阵.典型例题一 线性相关，线性无关的定义，性质及判别（注意：线性相关，线性无关的内容是非常丰富的，此部分内容有时与方程组的内容联系，有时与矩阵的秩联系，有时与行列式相结合形成综合类型题）3.1 设均为维向量，那么，下列结论正确的是 . (A) 若，则线性相关 (B) 若对任意一组不全为零的数，都有，则线性无关(C) 若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有(D) 若，则线性无关.(923)3.2 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 (973)(A)(B)(C)(D)3.3设有任意两个n维向量组和，若存在两组不全为零的数和使则 (A)和都线性相关(B)和

11、都线性无关(C)线性无关(D)线性相关.(964)3.4 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组是线性无关的.(981)3.5 设A是矩阵，B是矩阵，E是n阶单位矩阵，已知，试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？(934)3.6 已知向量组线性无关，设，试讨论向量组的线性相关性.(883)3.7设A是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 .(A) A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关.(922)解由解的判定定理知，仅有零解秩，即A的n个列向量线性无关，故正确选项为(A).3.8设A、B为满足的任意两

12、个非零矩阵，则必有 .(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.(041)3.9 向量组线性无关的充分条件是 .(9034)(A)均不为零向量(B)中任意两个向量的分量不成比例(C) 中任意一个向量均不能由其余个向量表示(D)中有一部分向量线性无关3.10设均为n维向量，下列结论不正确的是 (033)(A) 若对于任意一组不全为零的，都有，则线性无关.(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有.(C)线性无关的充分必要条件是此向量

13、组的秩为s.(D)线性无关的必要条件是其中两个向量线性无关.3.11 设向量组,线性无关，则a，b，c必满足关系式.(024)3.12 试证明n维向量组线性无关的充分必要条件是其中表示列向量的转置，.(913)3.13 设三阶矩阵，三维列向量，已知与线性相关，则.(023)3.14设向量线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由向量线性表示，则对于任意常数k，必有 (A)线性无关(B) 线性相关(C) 线性无关(D) 线性相关.(022)3.15n维向量，线性无关的充要条件是(A)存在不全为零的，使 .(B)添加向量后线性无关.(C)去掉任一向量后，线性无关.(D)线性无关.3.16 设矩阵经过

14、若干次初等列变换后变成了矩阵，则在A、B中 (A)对应的任何部分行向量具有相同的线性相关性(B)对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性(C)对应的k阶子式或同时为零，或同时不为零(D)对应的齐次线性方程组是同解方程组二 .一个向量能否由另外一组向量线性表示可由线性表出有解向量组与等价3.17 已知及(1)a，b为何值时，不能表示为的线性组合？(2) a，b为何值时，有的唯一的线性表示式？并写出该表示式.(911)3.18 设向量组试问：当a，b满足什么条件时，(1) 可由线性表示，且表示式唯一？(2) 不能由线性表示？(3) 可由线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式.(003)3.19

15、设，试讨论当a，b为何值时，()不能由线性表示；()可由唯一地线性表示，并求出表示式；()可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(043)3.20若向量组线性无关；线性相关，则 (A)必可由线性表示(B)必可由线性表示(C)必可由线性表示(D)必不可由线性表示.(984)3.21设向量组线性相关，向量组线性无关，问(1)能否由线性表示？证明你的结论.(2)能否由线性表示？证明你的结论.(921)3.22已知是阶非零矩阵，且中各行元素对应成比例，是的基础解系，不是的解，证明：任一维向量均可由线性表出。3.23设n维列向量线性无关，则n维列向量组线性无关的充要条件为 (A) 向量组可由向量组

16、线性表示(B) 向量组可由向量组线性表示(C) 向量组与向量组等价(D)矩阵与等价.(001)3.24设向量组，(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表示(2) p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组.(992)分析可由线性表示，即有解三 两组向量间的线性表示和相关性常用方法：1、 利用向量组相关定义判别2、 利用矩阵的秩判别，相关，无关3、 利用行列式，个数=维数时， 时，相关，无关4、 利用性质向量组可由线性表示 方程组均有解5、向量组可由线性表出6、两个向量组等价：（1） 向量组与等价，逆不成立（2） 注意向量组等价与矩阵等价的区别3.25

17、设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组()：线性表示，记向量组()，则 (A)不能由()线性表示，也不能由() 线性表示(B)不能由()线性表示，但可由() 线性表示(C)可由()线性表示，也可由() 线性表示(D)可由()线性表示，但不可由() 线性表示.(993)3.26 设向量组()：可由向量组()：线性表示，则(A)当时，向量组必线性相关.(B)当时，向量组必线性相关.(C)当时，向量组必线性相关.(D)当时，向量组必线性相关.(031)3.27 设是矩阵，对矩阵作初等行变换得到矩阵，证明：矩阵的列向量与矩阵的相应的列向量有相同的线性相关性.3.28 讨论维向量组的线性相关性，其中，

18、.3.29 设是阶矩阵，如果，证明：矩阵的列向量线性无关.3.30维列向量组线性无关，且与非零向量都正交，证明：线性相关，线性无关.练习： 设均为n维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）（A）若线性相关，则线性相关（B）若线性相关，则线性无关（C）若线性无关，则线性相关（D）若线性无关，则线性无关四. 向量组中有未知参数，由向量组的相关性确定参数3.31设(1) 问当t为何值时，向量组线性无关？(2) 问当t为何值时，向量组线性相关？(3) 当向量组线性相关时，将表示为和的线性组合.(893)3.32已知向量组，的秩为2，则.(972)（可做练习）3.33已知向量组，与向量组，具有相同的秩，

19、且可由线性表示，求的值.(002)五 秩秩的定义的理解，秩与表示之间的关系，秩与线性相关、线性无关之间的关系3.34设矩阵的秩，为阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 (A) A的任意个列向量必线性无关(B) A的任意一个阶子式不等于零(C)若矩阵B满足，则(D)A通过初等行变换，必可以化为的形式.(953)3.35已知向量组()，()，()，如果各向量组的秩分别为证明：向量组的秩为4.(954)3.36 设向量组():，其秩，向量组():，其秩为，且，均可由():线性表出，则 (A)向量组的秩为(B)向量组的秩为(C)向量组的秩为(D)向量组的秩为3.37假设A是n阶矩阵，其秩，则在A的n行向量

20、中 (A)必有r个行向量线性无关(B)任意r个行向量都线性相关(C)任意r个行向量都构成极大向量线性无关组(D)任一行向量都可由其他r个行向量线性表示.(873)3.38 已知向量组，,则该向量组的秩是.(901)3.39 若向量组与向量组有相同的秩，证明：可由线性表示.3.40设向量组的秩是，证明：其中任意选取个向量所构成的向量组的秩.3.41设均是阶矩阵，且，则.3.42已知是4阶矩阵，与是线性方程组的两个不同的解，则.3.43已知4维列向量线性无关，若非零且与均正交，则秩.六 过渡矩阵与规范正交基3.44从的基到基的过渡矩阵为.(031)3.45 在中，及是两组基，且.则由到的过渡矩阵是

21、.3.46 已知三维线性空间的一组级基底为则向量在上述基底下的坐标是.(871)3.47设B是秩为2的54矩阵，是齐次线性方程组的解向量，求的解空间一个标准正交基.(971)3.48 设B是秩为2的54矩阵，是齐次线性方程组的解向量，求的解空间一个标准正交基.(971)3.49已知是的一组基，证明也是的一组基，并求由基到基的过渡矩阵. 3.50已知的两组基（1）求由基到基的过渡矩阵.（2）求在这两组基下的坐标；（3）求向量，使它在这两组基下有相同的坐标.3.51设是坐标变换公式，证明的充分必要条件是.3.52 设是秩为2的矩阵，是齐次线性方程组的解向量，求的解空间的一个规范正交基.3.53 已

22、知试把其扩充为的一组规范正交基.七 有关秩与直线平面的综合题3.54 设矩阵是满秩的，则直线与直线的位置是（A）相交于一点 （B）重合（C）平行但不重合 （D）异面分析 初等变换不改变矩阵的秩，由可知，后者的秩仍为3，所以直线的方向向量，线性无关，因此排除（B）（C），究竟是相交还是异面呢？在这两条直线上各取一点与，可构造向量，如果共面，则两直线相交，如不共面，则两直线异面.而三个向量的共面问题可用向量的混合积或线性相关性来判断。例如：或，所以选（A）. 3.55 设，则平面上三条直线交于一点的充分必要条件是（A）（B）（C）（D）线性无关，但线性相关分析 三条直线交于一点的充分必要条件是方程

23、组有唯一解，即可由线性表出，且表示方法唯一，故（D）正确.（B）肯定错，它表示线性无关，于是方程组无解，而（A）（C）均是交于一点的必要条件，仅行列式为0不能排除其中有平行直线，对于（C），因为秩可能是1，也就可能有平行直线，作为充要条件（A）（C）不正确. 3.56 空间中有三个平面如记是平面法向量，是方程组的系数矩阵，是增广矩阵，是的延伸向量.（1）平面两两不平行，有且仅有一个公共点的充要条件是 这可以从方程组有唯一解来推导，也可以从法向量来看，这时的三个法向量不共面，因此，线性无关，即，延伸后仍线性无关，故。（2）三个平面两两相交，围成一个三棱住的充要条件是线性相关，但任两个线性无关，且.法向量在与三棱住的棱垂直的平面上，因而共面，因此线性相关，但任两个线性无关，从而，此时方程组无解，.（3）三个平面两两不平行，并有一条公共直线的充要条件是线性相关，但任两个线性无关，且.（4）两个平面平行（不重合），第三个平面与它们相交的充要条件是线性相关，但不能用线性表出，且.（5）两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是线性相关，但不能用线性表出，且.