微积分06定积分PPT课件

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1、第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念二、定积分的概念 三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义四、定积分的性质四、定积分的性质引例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形 设函数设函数f(x)在区间在区间 a,b(a，也可能，也可能，但一定要，但一定要求满足求满足 ，即，即 对应于对应于 ，对应于对应于 .ba)(,)(tax tbx.dcossin204xxx例1 求，则时，当时，当1200txtx104204ddcossinttxxx，则令txxtxddcossin解.5151105t204204)

2、d(sinsindcossinxxxxx方法二方法二205sin51x.5151 0sin2sin55112 d(1ln)exxx例计算1111:dd(1ln)(1ln)1ln ln 1lnln21eexxxxxex解303 sinsindxxx例计算32001201122202sinsindsin(1 sin)d sincos d sincos dsincos d xx xxxxxxxxx xxx x解:11222023322220 sind(sin)sind(sin)22224 sinsin33333 xxxxxx.d194xxxtttd)111(232例例4 求求，则令ttxxtxtd2

3、d,2解，时，当时，当3924txtx3223294d1112d21d1 tttttttxxxln4.7 1ln22322ttt2205 d0aaxxa例计算22222220002220dcos d,dcosd1 cos2 d21sin2:sin,0,0,.2422axatxtxatxat taaxxat tttaatt解 设则时当时于是当ln206 1dxex例计算222ln21122000102 d:1,ln 1,d10,0,ln2,1,211dd21d112(arctan)22xxt tetxtxtxtxttextttttt 解 设则当时当时于是.0d)(,)()2(,d)(2d)(,)

4、()1(0aaaaaxxfaaxfxxfxxfaaxf则上连续，且为奇函数，在若则上连续，且为偶函数，在若证明例例7txtxxxfadd d)(0，令对于aaaaxxfttfttfxxf0000d)(d)(d)(d)(aaaaaxxfxfxxfxxfxxf000d)()(d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(证明证明，有时，当时，则当00txatax，则是偶函数，即如果)()()()1(xfxfxf.d)(2d)(0aaaxxfxxf，则是奇函数，即如果)()()()2(xfxfxf.0d)(aaxxf 例例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在

5、对称区间a,a上上的积分性质，即偶函数在的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算间上的定积分的计算.例例8 8.d1)(arctansin1122xxxx,0d1sin 1,11sin1122xxxxx上为奇函数，则有在区间其中,d1)(arctand1sind1)(arctansin11221121122xxxxxxxxxx解解上为偶函数，则有在区间而1,1122)(

6、arctanxxxxxxxxd1)arctan(2d1)arctan(10221122.96d1)(arctansin31122xxxx)(arctand)arctan(2 102xx,9632)(arctan3103x例例9 证明证明,dcosdsin2020 xxxxnn，则时，当时，当，则令02,20dd2txtxtxtx证明证明ttxxnnd2sindsin0220.dcosdcos2020 xxttnn，则有、上具有连续导数在区间设函数)()(,)(),(xvxubaxvxu.d|d bababaxvuuvxuv 应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可

7、.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限.二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法例例10.de102xxxxxxxxxxde2121de 102102102e代入分部积分公式，得,21ddddee22xxvxuxvxu，；，令解解).1(414121eee21022x111 lndeexx例 计算111111111111:,lnd(ln)dln d11(ln)d(ln)d11d2 1.eeeeeeeeeeexxxxxxxxxxxxxxxxxedxee 解 先去掉绝对值符号 再用分部积分公式例例12 求求.darcsin210 xx2102210210d1arcsi

8、ndarcsinxxxxxxx代入分部积分公式，得21022)1d(1121421xx,d11d,ddarcsin 2xvxuxvxux，令解.122821822102x例例13 求求.de10 xxe210et，则令ttxxtxtd2d,2解解101010de2 de2dettxtttx，则时，当时，当1100txtxttttde221010e.21)e(e2第四节第四节 广义积分广义积分一、无穷区间上的广义积分一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分 (),)lim()dbab+f xabaf xx 设函数在区间上连续，取极限称为 函数f(x)在无穷区间 上的广

9、义积分，记作 ，即定义1axxfd)(，babaxxfxxfd)(limd)(若上述等式右端的极限存在,则称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散.axxfd)(axxfd)(,)a 一、无穷区间上的广义积分 类似地，无穷区间 上的广义积分定义为,(b).(d)(limd)(baxxfxxfbaab),(无穷区间 上的广义积分定义为，aaxxfxxfxxfd)(d)(d)(.d)(d)(d)(d)(发散否则称广义积分收敛，都收敛，则称广义积分和两个广义积分此时，如果上式右端的xxfxxfxxfxxfaa上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.de03xx例1 求bxb03eli

10、m31xxbxbxdelimde0303解)3d(elim3103xbxb.31 11lim31e3bb例2 求.d112xx，根据定义，有xxxxxxd11d11d1102022解xxxxbbd11limd110202xxxxaad11limd110202，2)2(0arctanlim0aax，202 arctanlim0bbx所以，广义积分 收敛，且xxd112.22d112xx11d 11.pxppx证 明 广 义 积 分当收 敛，当时 发 散例3111,11ddlimbppbpxxxx 当时11111ddlimbpbpxxxx 当时，则证明,ln1limbbx111,1111,1lim

11、bpbppxpp当，当，11d1 11 1.pxxppp所以,广义积分当时收敛，且其值为，当时发散若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分发散.定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，且)(limxfax0lim()d baf xx ，极限0 ()dlim()dbbaaf xxf xx 即，baxxfd)(baxxfd)(称为无界函数称为无界函数 在在(a,b)(xf上的积分上的积分,记为记为二、无界函数的广义积分 类似地，函数f(x)在a,b)上连续，且 广义积分定义为)(limxfbx0).(d)(limd)(0babaxxfxxf如果极限，0)(d)(li

12、m0baxxf存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分 发散.baxxfd)(baxxfd)(此时，如果上式右端两个广义积分 都收敛，则称广义积分 收敛，否则称广义积分 发散.bccaxxfxxfd)(d)(和baxxfd)(baxxfd)(上述三种积分统称为无界函数的广义积分,也称为瑕积分.函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续，且 ，则广义积分定义为)(limxfcx.d)(d)(d)(bccabaxxfxxfxxf1024 d xx例计算11100000:0,22dlimd2 lim 2 4 lim(1)4xxxxxx解是瑕点 于是例5 计算.dln10 x

13、xxxxxdlndln110lim0.0ln函数的广义积分时无界，所以这是无界当因为被积函数xx解.1dln10 xx，1ln0d1ln0111limlimxxxxxx12116 d.xx例讨论瑕积分的收敛性12121122212101222110012210000110020012:0 111ddd11limdlimd111lim()lim()lim(1)11lim(1)lim(1)xxxxxxxxxxxxx 解是瑕点,于是由于上面两个极限都不存在由于上面两个极限都不存在,所以所以发散发散.1211d xx例7101d 1 1.qxqqx证明瑕积分当收敛,当时发散1101,11 dd0limqqqxxxx 当时1 1 1.1qqq故当时收敛，且其值为，当时发散111001,11 ddln 0limqqxxxxx 当时，解1,1111,1.101limqqxqqq 当，当