解析几何考试题型分析及解题方法指导

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1、解析几何考试题型分析及解题方法指导解析几何考试题型分析及解题方法指导近年来各地高考试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，考查的知识点约为20个左右。其 命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。题目突出主干知识、注重“知识交汇处”、强化思想方法、突 出创新意识。从题型来看，选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线和参数方程的基础知识。解答题重点考查圆锥 曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系， 求解有时还要用到平面几何的基本知识和向量的基本方法。因此，在复习过程中这一点值得强化。从内容来看，直线与圆的方程是解析几何中最基础的内容，在高考试题

2、中，主要以客观试题的形 式出现，属于低档题，直线以倾斜角，斜率，夹角，距离，平行与垂直，线性规划等有关问题为基本问 题；对称问题（包括点对称，直线对称），要熟记解答的具体方法；与圆的位置有关的问题，其常规的解 答方法是研究圆心到直线的距离；所考查的思想方法仍将是坐标法，数形结合，分类整合，方程的思想和 待定系数法。圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线和圆锥曲线的位置关系等。坐 标法是解析几何的基本方法，已知曲线的方程，通过方程研究曲线的有关性质，通过曲线满足的性质，探 求曲线的轨迹方程及圆锥曲线的参数的取值范围问题是高考的常考常新的话题。关于圆锥曲线问题解决的 基本方法是定义法，

3、配方法，换元法，待定系数法和化归法。本文结合2009年考纲要求和对2008年全国各地解析几何题型和解题方法的分析，期望从中窥见2009 年考试方向。一、09年考纲要求掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。 掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够判断两条直线的位置 关系。理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会 简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。掌握椭圆，双曲线， 抛物线的定义，标准方程，及

4、其简单几何性质，了解椭圆的参数方程，了解圆锥曲线的简单应用。二、2008年高考平面解析几何题型归类分析1. 基础知识、基本运算的考查：例1（2008山东文）若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4工-3y = 和x轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A.（x - 3） 2 + y = 1B. （X-2）2 + （y 一1）2 =1I 3.（3 C. （X 1）2 + （y 3）2 = 1D. X- + （y 1）2 = 1I 2 7解析几何考试题型分析及解题方法指导解析：设圆心坐标为（m,1），由圆心到直线的距离公式可求m=2.故选B点评：本题考查求圆的方程，已知曲线类型求轨迹时常用待定系数法

5、。涉及到圆与直线的位置关系，常用 到几何方法。本题中圆与x轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等。注意用数形结合，画草图帮助理解。 例2. （2008北京理）若点P到直线x = -1的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点P的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C-双曲线 D.抛物线解析：即到点与到直线的距离相等的轨迹为抛物线，选D点评：本题考查抛物线的定义，将点P到x = -1的距离，转化为点P到x=-2的距离，体现了转化与化归的思想。（0为参数）的圆心坐标为（3, 2）,和圆C关于直线x y = 0 x = 3 + 4cos 0, 例3.(。8湖北文15)圆。=-2 + 4sin0对称的圆 C 的普

6、通方程是(x+2) 2+(y3) 2=16 (或 X2+y2+4x6y3 = 0).点评：考查圆的参数方程，及圆的对称问题（一般的曲线对称问题简单。2. 基本方法与基本技能的考查：例4. （2008重庆理）圆O1： x2+y22x =。和圆O2： x2+y24y = 0的位置关系是（）（A）相离（B）相交（C）外切（D）内切解析：由两圆心间的距离在（R1-R2）和（、+R2）间，故选B。点评：两圆的位置关系有五种。此类问题通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较， 确定位置关系.X - 0例5.（安徽理15）若A为不等式组j y 0 表示的平面区域，则当a从一2连续变化到1时，

7、动直、y x 0,b 0），若P为其上的一点，且a 2 b 2解析几何考试题型分析及解题方法指导1 PF= 21 PF2,则双曲线离心率的取值范围为(B )A. (1,3) B. (1,3 C. (3, +8)D. 3, +8)解析：由P | - |PF| = 2a = |PF| c - a可得e 0,b 0)的两个焦点为 a 2 b 2F : (2,0), F : (2,0),点P(3, 3)在曲线 C 上.(I) 求双曲线C的方程；(II) 记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若AOEF的面积为2寸2, 求直线l的方程X 2 V 2解：(I)依题意，

8、由a2+b2=4，得双曲线方程为曲-4a? = 1(0a20,| J3kj3,IVV.*.kG ( v3,1) U (1,3 ).4k6设E(x,y),F(x,y),则由式得x+x =,XX =,于是11221 2 1 k 21 2 1 k 2|EF|=.如X )2 + (y y )2 =212；(1 + k 2)(气X )2=J1 + k2 .侦（X + X ）2 一 4尤尤=.汀17.2声占-k2.11 - k2 |2而原点O到直线l的距离d=.v1 + k 2S =1.l EF 1= 1 .二.K.22E = 2kK.AOEF 2 .2 .1 + k 2 . 11 - k 2 l11 -

9、 k 2 l若 Saoef= 22，即弋一= 2厄 o k4 - k2 - 2 = 0,解得 k=土杈,满足.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y二亍2X + 2和y = -、Jix + 2.点评：本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考 查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。在直 线与圆锥曲线的位置关系处命题一直是个热点，基本方法是联立方程，利用判别式、韦达定理求解，运算 量一般较大。这类综合题中常涉及的问题有弦长问题，面积问题，对称问题，轨迹问题，定点、定值问题， 是历年来高考中的热点问题

10、，复习时要注重通性通法的训练。5. 解析几何相关的应用题例9. （08湖北理10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月 转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个 焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨 进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2匕和2c2分别表示椭 轨道I和I的焦距，用2a和2气分别表示椭圆轨道I和I的长轴 的长，给出下列式子：a +c =a +c ; a -c =a -c ; c aa c 3 2时，点P （x,0）存在无穷多条“相关弦”. 给定xg2.（I）证明：点P （x

11、0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（II）试问：点P （x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若 不存在，请说明理由.解：略点评：定义新概念，知识点发生有效的迁移是解决此题的关键，充分体现了在新情境下考查学生综合运用 知识解决问题的能力，同时一系列的存在性问题，给原本静态的问题赋于了动态活力，使问题更具开放性， 对学生探索能力的考查更直观，区分度更大。7. 解析几何与其它知识综合题 解析几何与立体几何的交汇问题 例：（08浙江理-10）.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得ABP（第10题）的面积为定值，则动点P的

12、轨迹是（B ）A.圆B.椭圆C. 一条直线D.两条平行直线 点评：本题以立体几何为载体考查用平面截圆柱所得的截面这一椭圆的几何定义，这是课本阅读材料当中 的内容，紧扣高考题源于课本的理念。解析几何与平面几何的交汇问题例：（08江西理21）. 设点P（%,*）在直线x = m（y。土m,0 m 1）上，过点P作双曲线x2 -产=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M （，0）.m(1) 过点A作直线x- y = 0的垂线，垂足为N，试求 AMN的重心G所在的曲线方程;(2) 求证：A、M、B三点共线.解：(1)设 A(x , y ), N(x , x ), VAN 直线 y = x，则 L

13、一% =-1A AN Nx 一 X.x =A，N 2.m + y x + y 、N ( A 2 A ,A)，设 G (x, y)，则x1 + x + =A m A 23111+ x + y 3m 2 a 6 ax + y112 a 11y =3= 6 xA+ 2 yA解得933x = x - yA 43494m1，代入双曲线方程x2 - y2 = 1，y =- x+ y + -a 444m9( x )23m9 y 2并整理得-日厂=1，(x )22即g点所在曲线方程为；-乏；=12 92 9(2)设 A(x , y )，B(x , y )，PA 斜率为 k，则切线 PA 的方程为：y - y

14、= k(x- x )112211由j y 一 y1 = *一)，消去y并整理得:I x 2 - y 2 = 1(1 -k2)x2 -2k(y 一kx )x-(y 一kx )2 -1 = 0，因为直线与双曲线相切，从而1111x= 4k2(y -kx )2 + 4(1 -k2)(y - kx )2 + 4(1 -k2) = 0，及x 2 - y 2 = 1，解得k =111111y1因此pa的方程为：y y = xx-1 同理pb的方程为：y y = x x-11122又P(m, y )在 PA、PB 上，. y y = x m 一 1 y y = x m 一 101 012 02即点A(x ,

15、y )，B(x ,y )都在直线y y = mx-1上， 11220又M(m.,0)也在y0y = mx -1上，.A、M、B三点共线点评：本题重点考查直线与直线、直线与双曲线之间的位置关系。数形结合、熟练地进行坐标运算、设而不求的消元思想、用代数方法解决几何问题是解析几何的主题，复习时要注重培养学生的综合运算能力。解析几何与解三角的交汇问题I例：（08重庆理21）如图（21）图，M （-2, 0）和N （2, 0）是平面上的两点，动点P满足：|尸的+ PN = 6./一 r.1心。）a mm（I）求点P的轨迹方程；（II）若PMp PN =与蒂，求点P的坐标.辿:阳1 - cos AMPN解

16、：（I）由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2,长半轴a=3，从而短半轴 bf:a2 -c2 =、，X 2V 2所以椭圆的方程为亏+w=1-(I)由 |PM|PN| =21-cos MPN|PM|PN| cos MPN = |PM |PN| - 2.因为cosMPN丰1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在 PMN 中,|MN| = 4,由余弦定理有 |MN|2 = |PM |2 + |PN|2 2|PM|PN| cos MPN.将代入，得42 = |PM|2 + |PN|2 - 2(|PM|PN| 2).故点P在以M、N为焦点，实轴长为2*

17、的双曲线9- y2 = 1上 一X2 V2 0,椭圆方程为 + = 1,抛物线方程为x2 = 8(y-b).如图4所示， 2b 2 b 2过点F(0, b + 2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F.(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2) 设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 ABP为直角x=4三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).解析：(1)由 x2 = 8(y - b)得 y = 1 x2 + b ,8当 y = b + 2得x = 4，二 G 点的

18、坐标为(4,b + 2), y = 1 x ,4过点G的切线方程为y -(b + 2) = x - 4即y = x+b - 2,令y = 0得x = 2-b，点的坐标为(2-b，0)，由椭圆方程得Fi点的坐标为(b，0),2 -b = b即b = 1,即椭圆和抛物线的方程分别为5 + y2 = 1和x2 = 8(y -1)；(2) 过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P, 以ZPAB为直角的R心BP只有一个， 同理以ZPBA为直角的RtAABP只有一个。若以ZAPB为直角，设P点坐标为(x，6x2 +1), A、B两点的坐标分别为(-*2，0)和S20), 8PA,PB = x2 - 2 +

19、(! x2 + 1)2 = x4 + x2 - 1 = 0。8644关于x2的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以ZAPB为直角的RtAABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得AABP为直角三角形。点评：本题主要考查直线、椭圆、抛物线等平面解析几何的基础知识，考查学生综合运用数学知识进行推 理的运算能力和解决问题的能力。在第一问中涉及到切线问题，与导数相联系，难度不大，第二问中涉及 到方程的解的问题，同时考查向量知识运用的灵活性。在向量、导数、函数、方程交汇处设计题目，也是 近几年来高考的热点之一。解析几何与极坐标的交汇问题.一 x 2 y 2例：9(08安徽文22)设椭圆C:云+节=10

20、b 0)其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x = 4 -(I)求椭圆C的方程;(II)已知过点F (-2,0)倾斜角为9的直线交椭圆C于A, B两点，求证: 1AB =4/22 - COS 29(III)过点F(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B和D,E，求|AB + |DE|的最小值c = 2解：(1)由题意得：，竺=4.2 = 8cI。2 = 4a 2 = b 2 + c 2一X 2 V 2 一.椭圆。的方程为有+彳=1由知孕-2,0)是椭圆。的左焦点离心率率%2设l为椭圆的左准线。则l: X = -4作AA 11于A ,BB 11于B , l与x轴交于点H(如图)111

21、1.点A在椭圆上AF =号俱=警+ cos9 )=再+争|AF |cos91(2210 fflAFi22 一 cos 9同理BFi2v2 + cos 9AB = AF1 + BF22=+ =V 2 cos 92 + cos 9422 cos2 9点评：此题以直线与椭圆的位置关系为命题元素，以求弦长为载体将解析几何问题代数化及用三角函数的 方法去解决圆锥曲线中有关求最值及求范围问题。本题同时具备极坐标特征，若用极坐标的思想来解题， 本题第二问就会快速求解。在复习过程中适当地扩充，或在边缘问题上适当补充，不仅可以开阔学生视野， 而且可以为某些解题方法提供更好的思路。三、方法总结及复习建议1. 求直

22、线方程或者判断直线的位置关系时，要注意斜率，截距的几何意义，在判断关系时除用斜率 判断之外注意向量的利用。2. 直线与圆，圆与圆的位置关系关系常用几何方法处理。3. 求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a, b, p等.要充分认识椭圆中参数a, b, c, e的意 义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关 注意各种方程的一般式。4. 涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，或在圆锥曲线中涉及到焦点与到准线的距离时 常常要注意运用定义.5. 直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次 方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.6. 注意

23、弦长公式的灵活运用7. 离心率的思路1、定义法，分别求出a、c或者用第二定义；2、方程法一一即从a、b、c、d、e五 个量中找联系，知二求三8. 中点弦问题点差法”最有效9. 对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征求 轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等10. 与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.四、对2009年高考解析几何题型的预测1. 求曲线（轨迹）方程的常用方法（定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。2. 掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。3.

24、 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省 高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：（1）直线方程、圆方程；（2）圆锥曲线的标准方程；（3）圆锥曲线的几何性质；（4）直线与圆锥曲线的位置关系；（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线 （轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。五、后段复习建议1. 加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方 法。2. 由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答 题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点 问题作深入的研究。3. 在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思 想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。4. 在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。