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1、探究余弦函数多倍角公式成都七中 高2014级10班 李成蹊序近期,通过三角函数恒等变换一章的学习,我们初步了解并掌握了三角函数恒等变换的基本方法，包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式,倍角公式,半角公式,辅助角公式,降幂公式,积化和差与和差化积公式，万能公式（正切半角公式）等.面对诸多的公式,我们应该怎样牢固地记忆并熟练地运用它们呢?我想,关键有以下三点:熟知它们的推导过程;着眼于联系与区别,发现特点,总结规律,简化记忆;熟悉基本题型的处理方式,在练习时总结方法,加强记忆.事实上,对待任何一门学科,我们都应该做到“知其然,而知其所以然”.因为,只有理解了的东西,我们才能更好地记忆它,运用它.另
2、外,还要有意识地建立一套属于自己的知识体系,这样才能做到真正地驾驭知识,体验到诗人杜甫所说的“会当凌绝顶,一览众山小的感受”.引入数学4P138.习题3.1B组第1个问题是这样的:问题1 证明: ；.这道题比较容易.首先分析第问.我们知道,两角和的正弦公式是正弦函数的倍角公式是容易想到,先将3分解成2+,用和角公式展开；再用倍角公式统一成单角；最后化简成一种函数(即只含有的表达式)，从而完成证明.过程如下:证明： 按照第问的思路,第问同理可证.这里请读者自己试一试.我们的思考并没有就此止步.有了问题一的解决,我们容易产生这样一个疑问:既然有二倍角公式,三倍角公式(问题一的结论),那么,一般地,
3、是否有n倍角公式？思考每当我们面临一个新的问题,都应该问问自己:这个问题有意义吗?这个问题有价值吗?实际上,可以想见,当n的值越大时, n倍角的正弦或余弦的展开式会变得愈来愈复杂, 人们使用它的几率也会越小.换句话说,n倍角公式的应用价值会随着n的增大而减小.以上谈的是研究问题的表观价值.然而,我们还应该关注到它的附属价值.我们知道,历史上许多科学家做出的重大发现往往不是有意而为,一开始就树立了明确的目标.事实常是这样:由于某个看似普通的问题的解决,而引出了其他惊人的结论.历史上牛顿在研究万有引力的时候发明了微积分就是一个很好的例子.分析对于这个问题,一般的思路是沿用之前的办法多举几个例子,以
4、便发现规律或找到好的解题方法.我们不妨先研究的展开式.我们取 n = 4,5,6, 以同样的方式计算、的展开式.解题似乎到此陷入困境.我们发现,除了项的次数在以+2的方式依次递增外,在项的系数方面找不到任何明显的规律.继续往下算下去,只会越算越复杂,越算越没有头绪,这想必也不是好的办法.最后,我们要懂得放弃.靠自己的能力解决不了问题,可能是问题的难度已经大大超出了我们的能力范围.此时,我们要学会向老师,书籍或网络求助.查找资料进入百度网址,输入“三角函数”,点击搜索后我们可以找到大量的有关三角函数的知识.经过阅读筛选,笔者从中选取了与我们研究的问题相关的一些资料,供作参考.初中学过两倍角公式，
5、很多参考书也介绍过三倍角公式，我们自然而然就会想到n倍角公式.我想好奇心强的同学肯定干过这样的事：用和的公式将四倍五倍展开，然后观察他们的规律，不过都是无功而返.这个问题的解决，得要归功于著名的棣莫弗公式，涉及到复数的内容，不过你只要知道复数符号“i”是什么意思就足够了： 这个公式的作用可不单单是拿来进行复数运算，若我们对右边用二项式定理展开后，对比左右两边的实部和虚部，将得到n倍角公式： 且看下面一行，当k取偶数的时候，这一项就是实数；当k取奇数的时候，这一项就是虚数.到最后所有的实数就构成结果的实部，所有的虚数项就构成结果的虚部.根据复数相等的规则，左右两边的虚部和实部应该相等，那么就有：
6、 这后面就一直写，直到写不下去为止. 这个就是n倍角公式，维基百科里有常用的n倍角公式，大家可以参考参考.其实就算是要推导的话也不会太难，只要知道二项式定理就不在话下.注：数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行.比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围.形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i（imaginary）为虚数单位，且(a、b为任意实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数).在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数.定义为.但是虚数是没有算术平方根这一说的，所以.对于,也可以
7、表示为的次方的形式，其中是常数，i为虚数单位，为虚数的幅角，即可表示为 (著名的欧拉公式).实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数.虚数没有正负可言.不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小. 著名的棣莫弗公式：.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克牛顿于1664-1665年间提出.二项式定理(Binomial Theorem)是指在n为正整数时的展开式.公式为：其系数亦可表示为我们熟知的杨辉三角或帕斯卡三角形:二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用.回顾经过了一番深入的探究,我们不仅解决了n倍角正余弦的展开式的问题,而且通过搜集资料,还有许多意想不到的收获.这便是我在前文中所提到的一个问题的附属价值.这些数学花园中的奇珍异宝,如棣莫弗公式、二项式定理、复数的概念、欧拉公式等,都是前辈们为后人留下的宝贵的文化遗产,我们应该为能拥有这样神奇的精神宝藏而为人类的智慧感到自豪.经历了这此探究过程,我对数学的兴趣更加浓厚了,同时也学到了不少研究问题的方法和科学探究的精神.这或许是此次研究性课题我最大的收获吧.
探究余弦函数多倍角公式
