四元数是1843年由英国数学家哈密顿(W

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1、摘要摘要四元数是1843年由英国数学家哈密顿（W. R. Hamilton）发现或者说发明的，至今已一个半世纪了。但在相当长的一段时间里它没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。近年来，四元数矩阵在刚体力学、量子力学、控制理论和陀螺技术中的应用日趋重要和广泛，随着上述四元数力学的不断发展，对四元数矩阵的进一步认识和研究就显得越来越重要。本文对四元数矩阵的实表示的相关研究成果进行了总结和归纳，并进行了一些推广工作：1、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质；2、利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式并讨论了行列式的运算性质；3、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的可逆性

2、以及逆矩阵的一种计算方法；4、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的Cramer法则；5、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质在四元数矩阵方程的有解判别定理以及通解的表示研究中的一些应用。关键词：实表示，四元数矩阵，行列式，四元数矩阵方程IIIABSTRACTQuaternion had been discovered or invented by W. R. Hamilton who was a mathematician of Britain in 1843. But it was free from a value in a long time, even more actua

3、l of application. The family of quaternions plays a role in quantum physics, geostatics, control theory and peg-top technology. It is important to know and research quaternions as the development of quaternions. Thus the real representation of quaternion matrices has been appeared.This paper conclud

4、es and summarizes the production the real representation of quaternion matrices, and extends something in this article.1、Concluding and summarizing the real representation of quaternion matrices and its characters in this article.2、Utilizing the real representation of quaternion matrices and its cha

5、racters defines the determinant of quaternion matrices and discusses operation characters of its determinant in this article.3、Utilizing the real representation of quaternion matrices and its characters discusses the reversibility of quaternion matrices and a account way of athwart matrix in this ar

6、ticle. 4、Utilizing the real representation of quaternion matrices and its characters discusses the Cramer theorem of quaternion matrices in this article.5、Concluding and summarizing the application of the real representation of quaternion matrices and its characters in the equation of quaternion mat

7、rices.Key Words: real representation, quaternion matrices, determinant, equation of quaternion matrices目录目录1 引言.12 四元数矩阵的实表示及其性质.23 四元数矩阵的行列式.24 四元数体上的Cramer法则.55 实表示在四元数矩阵方程中的应用.65.1 四元数矩阵方程.65.2 其它四元数矩阵方程.8致谢.11参考文献.12四元数矩阵的实表示及其应用1 引言四元数是1843年由英国数学家哈密顿（W. R. Hamilton）发现或者说发明的，至今已一个半世纪了。但在相当长的一段时间

8、里它没有为人们所重视，更没有得到实际的应用。随着刚体动力学理论的发展，人们发现利用四元数和四元数矩阵可以较好地处理刚体运动学特别是刚体运动分析的理论问题和运动控制的实际问题，尤其是发现其中的旋转矩阵运算和单位四元数运算非常相似，从而使四元数方法在理论力学中开始获得应用，四元数也日益引起人们浓厚的兴趣。近年来，四元数矩阵在刚体力学、量子力学、控制理论和陀螺技术中的应用日趋重要和广泛，随着上述四元数力学的不断发展，对四元数矩阵的进一步认识和研究就显得越来越重要。由于四元数乘法的不可交换性，使四元数领域的研究工作受到很大限制。在文献1-4中，作者定义了重行列式的概念，并基于重行列式的理论，讨论和研究

9、了四元数矩阵的逆矩阵、特征值和特征向量、Jordan标准形、Cramer法则和Cayley-Hamilton定理等内容，从而奠定了四元数力学的数学基础，但是在实际的四元数力学的研究和数值计算应用中，力学工作者仍感到虽然有了数学理论，也提供了一些数学方法，但是四元数乘法的非交换性使得数学计算过于复杂，很难实现数据的计算机处理，这在一定程度上也制约了现代四元数力学的发展。为了解决上述问题，文献5-10介绍四元数和四元数矩阵的复表示，通过复表示方法，研究了四元数矩阵的行列式、逆矩阵、特征值和特征向量、对角化问题、Jordan标准形、Cramer法则、Cayley-Hamilton定理以及四元数矩阵方

10、程的有解判别和解的表示等内容，把四元数体上的非交换的四元数问题归结为复数域上的可交换的复数问题，从而大大简化了四元数力学中的数值计算问题，使得相应的计算机处理也成为可能。在四元数和四元数矩阵的复表示研究的基础上，文献11-15介绍了四元数矩阵的实表示，研究了四元数矩阵的实表示的性质，并且利用四元数矩阵的实表示研究了几类四元数矩阵方程的有解判别定理以及通解的表示，把四元数体上的非交换的四元数问题归结为实数域上的可交换的实数问题，从而简化了四元数力学中的数值计算问题。本文在上述文献的基础上，对四元数矩阵的实表示的相关研究成果进行了总结和归纳，并进行了一些推广工作。本文的主要内容包括：1、总结归纳了

11、四元数矩阵的实表示及其性质；2、利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式并讨论了行列式的运算性质；3、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的可逆性以及逆矩阵的一种计算方法；4、利用四元数矩阵的实表示及其性质讨论了四元数矩阵的Cramer法则；5、总结归纳了四元数矩阵的实表示及其性质在四元数矩阵方程的有解判别定理以及通解的表示研究中的一些应用。2 四元数矩阵的实表示及其性质首先我们给出四元数和四元数矩阵的实表示的定义：根据四元数矩阵实表示的定义，很容易得到下列结论：3 四元数矩阵的行列式本节首先利用四元数矩阵的实表示及其性质定义了四元数矩阵的行列式，然后在四元数矩阵的行列

12、式的定义的基础上，讨论了四元数矩阵的行列式的一些运算性质，最后讨论了四元数矩阵的可逆性问题，并且给出了四元数矩阵的逆矩阵的计算方法。4 四元数体上的Cramer法则5 实表示在四元数矩阵方程中的应用5. 1四元数矩阵方程5. 2其它四元数矩阵方程本节借助四元数矩阵的实表示方法，研究了一般四元数矩阵方程的解的问题，得到了一种求解四元数矩阵方程的算法技巧。同时，还将复数域上的Roths定理推广到了四元数体上。11致谢在本文的写作过程中我得到了章里程老师的细心指导和帮助。在此，对章里程老师的帮助表示深深的感谢。参考文献1 陈龙玄. 四元数体上的逆矩阵和重行列式的性质J. 中国科学, A辑, 1991

13、, 34(5): 528-540.2 陈龙玄等. 四元数矩阵的Jordan标准形J. 应用数学与力学, 1996, 17(6): 533-541.3 Chen Longxuan. Definition of Determinant and Cramer Solutions over the Quaternion FieldJ. Acta Mathematica Sinica, New Series, 1991, 7(2): 171-180.4 陈龙玄. Cayley-Hamilton定理在四元数体上的推广J. 科学通报, 1991, 17(6): 1291-1293.5 姜同松. 四元数的一种

14、新的代数结构J. 力学学报. 2002, 34(1): 116-122.6 Huang Liping. The Matrix Equation AXB-GXD=E Over the Quaternion FieldJ. Linear algebra and its applications, 1996(234): 197-208.7 Zhang Fuzhen. Quaternions and Matrices of QuaternionsJ. Linear algebra and its applications, 1997(251): 21-578 Fan Jiangnan. Determi

15、nants and Multiplicative Functionals on Quaternion matricesJ. Linear algebra and its applications, 2003(369): 193-201.9 李文亮. 四元数矩阵M. 长沙: 国防科技大学出版社, 2002年.10 姜同松, 魏木生. 四元数矩阵的对角化及其算法J. 工程数学学报, 22(1): 179-182.11 连德中. 四元数向量与矩阵的实表示J. 厦门大学学报, 2003, 42(6): 704-708.12 李样明. 实表示矩阵的性质J. 广东教育学院学报, 1996, 32(3):

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