解析与数值解

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1、解析解与数值解在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才 能求得其正确的解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：解析解和数值解。解析解(analytical solution)就是一些严格的公式，给出任意的自变量就可以 求出其因变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题.所谓 的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解 的形式。用来求得解析解的方法称为解析法analytic techniques、analytic methods)，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封 闭形式closed-form)的函数

2、，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析 函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解(closed-form solution)数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，如有限元的方法，数值逼近, 插值的方法，得到的解.别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量 并求出计算值.当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析 的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的 过程中，首先会将原方程式加以简化，以利后来的数值分析。例如，会先将微分 符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解 的形式。

3、这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此 利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值discrete values)，不似 解析解为一连续的分布，而且因为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将 不如解析法来的好。数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值，而解析解为该函数的解 析式解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值； 数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。解析解，即解可以表示为函数表达式的形式；数值解，即解可以表示为离散的解 (数据)形式；对于非线性问题，解析解一般都是近似的，数值解是较精确的解析解一般可以理解为

4、通过已经有的方法，是对应的问题在这个解决域上，进行 变换演绎得到解的一种结果，变换过程也会有增根或漏根。数值解是将问题化解为比较多的子域，然后用比较简单的已知函数来逼近需求函 数的相关问题。解析法要求基本功比较强，对概念理解非常有利，仅适合简单形式问题；数值解 比较简单，要求运算量大，适合工程实际中的复杂问题。解析解是解的形式可以表达为一个显式函数的表达式的解；而数值解其解的形式 不能表达为显式函数，只能通过数值计算的方式求解，得到的是一系列离散的数 值，不能表达为一个明确的函数的形式。对于大多数问题是得不到解析解的，只 能得到数值解。能得到解析解的只是一小部分问题，而且通常有比较严格的限制

5、条件。解析解能够很直观的体现各参数之间的关系，对于定性分析是很重要的。 对于得不到解析解的问题，进行数值计算得到数值解，对于工程应用很重要。 所谓精确解和近似解，是从算法上决定的。一般的力学模型都是有一定的使用和 假设条件的，主要是看在求解有关的问题时，计算的结果与模型的真实值的误差 是否为零，如果为零，则是精确解法，如算法本身不能保证得到真实值，则是近 似解法，与其是否是解析解无关，与是否是手算和机算也无关。简单的例子，如 结构力学中的结构有限元法得出的是精确解，而对于多高层结构的分层法则是近 似解法。以上两种方法都是数值解法，但有限元法（指结构力学中的矩阵位移法） 直接求解的结构的平衡方程

6、，求解过程中没有对方程进行近似的假设，而分层法 对则是利用力矩分配法的研究成果，对于不符和利用力矩分配法的高层结构进行 了近似，所以求得的是近似解。有限元法多在计算机上进行实现，而分层法是早 期计算机没有出现或还不普及的时候，工程师们解决实际问题的时候所采用的方 法。分层法所得到的结果虽然是近似的，与真实结果有一定的误差，但只要误差 在一定的范围内，则是可以作为设计的依据进行使用的。再如有限元法和力矩分 配法，两种算法都是精确解法，只要单元取得足够多，或者分配的次数足够多， 算法本身能够保证其结果是精确解。但是很多情况下是没有必要的，单元太多或 者分配次数太多，往往会带来计算量过大的问题，只要

7、误差在一定的范围内，是 可以满足工程应用的要求的。对于非线性问题，由于计算上的困难，一般得到的是近似的数值解。本文引用地址：.en/s/blog_48c735630100jhgu.html解析解与数值解的区别这段时间一直在听数学学院的课，反反复复听到“解析解”和“数值解”，始终不明白这两者的区别。经学长解释，总算有点眉目：解析解就是给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何对应值; 数值解就是用数值方法求出解，给出一系列对应的自变量和解。e.g.eq: x2-5solution: x=sqrt(5) - analytical solution 这就是解析解x=2.236 numeric

8、al solution 这是约等于 2.236，属于数值解解析解(analytical solution)就是一些严格的公式，给出任意的自变量就可 以求出其因变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题.数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，如有限元的方法，数值 逼近,插值的方法，得到的解.别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变 量并求出计算值.本文引用地址：在解组件特性相关的方程式时，大多数的时候都要去解偏微分或积分式，才能求得其正确的 解。依照求解方法的不同，可以分成以下两类：1. 解析解：所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至

9、无限级数等基本函数的解的 形式。用来求得解析解的方法称为解析法analytic techniques、analytic methods，解析 法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式closed-form的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解 析函数求得正确的相依变量。2. 数值解：当无法藉由微积分技巧求得解析解时，这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解 了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先会将原方程式加以简化， 以利后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方 程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求 得的相依变量为一个个分离的数值discrete values)，不似解析解为一连续的分布，而且因 为经过上述简化的动作，所以可以想见正确性将不如解析法来的好。其他参考：解析解(analytical solution)就是一些严格的公式，给出任意的自变量就可以求出其因 变量，也就是问题的解，他人可以利用这些公式计算各自的问题.数值解(numerical solution)是采用某种计算方法，如有限元的方法，数值逼近,插值的 方法，得到的解.别人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值.