概率论与数理统计：第二章随机变量及其分布-1

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1、第二第二 章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 一、随机变量一、随机变量 二、离散型随机变量及其分布二、离散型随机变量及其分布 三、三、随机变量的分布函数随机变量的分布函数 四、连续型随机变量及其分布四、连续型随机变量及其分布 五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布 为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规实数对应起来，实数对应起来，将随机试验结果数量化将随机试验结果数量化。律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与第一节第一节 随机变量随机变量1.随机变量概念的产生随机变量概念的产生2.引入

2、随机变量的意义引入随机变量的意义3.随机变量的分类随机变量的分类一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念表示，由此就产生了随机变量的概念.1.1.有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如：例如：掷一颗骰子面上出现的点数；掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入图书馆的人数；每天进入图书馆的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2.2.在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我在有些试验中

3、，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是也就是说，说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的员的而叫而叫一样，二者建一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.这种对应关系数学上理解为定义了一种实值单值函数这种对应关系数学上理解为定义了一种实值单值函数.定义定义1 1 设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间,()XX在在上的实值单值函数，称上的实值单值函数，称()XX是定义是定义为为随机变量。随机变量。随机变量的定义随机变量的定义(简记为简记为 r.v.)把把样本点

4、发生的概率转化为随机变量取得某个数字的样本点发生的概率转化为随机变量取得某个数字的概率概率，一般，一般事件发生的概率转化为数字集合的概率。事件发生的概率转化为数字集合的概率。样本点样本点数字数字.X()R随机变量定义在样本空间随机变量定义在样本空间上上,定义域可以是数也可定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2.取值不同取值不同随机变量函数的取值有一定的概率；随机变量函数的取值有一定的概率；而普通函数却没有。而普通函数却没有。随机变量函数和普通函数的区别随机变量函数和普通函数的区别1.定义域不同定义域不同这种实值函数与在高等数学中大家

5、接触到的函数不这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！一样！而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,u,v,w等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,U,V,W 等表示等表示有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来通过随机变量的关系式表达出来.二、二、引入随机变量的意义引入随机变量的意义如：如：用用X表示单位时间内某电话交换台收到的呼叫表示单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数，它是一个随机变量次数，它是一个随机变量.事件事件 收到不少于收

6、到不少于1 1次呼叫次呼叫 没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 随机变量随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量其它其它三、随机变量的分类三、随机变量的分类我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收收到的呼叫数到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实，实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同

7、或相似之处；但因其取值方式不同，有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点又有其各自的特点.学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.例例1 1 对一均匀硬币抛一次，对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。观察正反面情况。,H T 1,()0,.HXXT设设为随机变量。为随机变量。11,2P X 即即1X 事件事件A：结果出现正面结果出现正面，样本空间样本空间1()2P A 10.2P X 同理同理例例2 2 测量某工厂一天生产灯泡的寿命。测量某工厂一天生产灯泡的寿命。样本空间样本空间|0,t t 设设t，其中，其中，则，则 X 为随机变量。为随机变

8、量。()XXt寿命寿命(100,150)X 表示一事件表示一事件A，()10015020%P APX例如例如()1000150078%P BPX例例3 3 某战士射击命中率为某战士射击命中率为 p,设首次击中目标所需射击设首次击中目标所需射击 次数为次数为 X,则随机变量则随机变量 1,2,3,X 解解例例4 4 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元.报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回出的报纸退回.设设X为报童每天卖出的报纸份数，为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式

9、表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱 故故报童赔钱报童赔钱 X 666报童赔钱报童赔钱 卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对究，就由对事件及事件概率的研究事件及事件概率的研究扩大为对扩大为对随机随机变量及其取值规律的研究变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机变量及其随机变量及其取值规律取值规律第二节第二节 离散型随机变量及其分布离

10、散型随机变量及其分布 一、离散型随机变量的定义一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量二、常用的离散型随机变量 从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是是一个一个随机变量随机变量.(1)X 可能取的值是可能取的值是0,1,2;(2)取每个值的概率分别为取每个值的概率分别为 看一个例子：看一个例子：一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义33351010CP XC2132356110C CP XC1232353210C CP XC定义定义1 若随机变量若随机变量X的所有可能取值是有限多个或的所有可能取值是有限多个或可列无限多个可列无限多个,则称则称X为

11、为离散型随机变量离散型随机变量.其中其中 (k=1,2,)满足满足：kp,0kp k=1,2,（1）kkp1（2）定义定义2 设设 xk(k=1,2,)是离散型随机变量是离散型随机变量 X 所取的所取的一切可能值，称一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律的分布律.用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律1 2,kkP Xxpk解解 依据分布律的性质依据分布律的性质1kP XkPX=k0,1!0aekakk a0,从中解得从中解得即即 ea例例2 2设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：,!kP Xkakk=0,1,2,试确定常数试确定

12、常数a.00kkke!离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法（1）公式法公式法（2）列表法列表法1 2,kkP XxpkXkp12kxxx12kppp例例1 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解解 X的可取值为的可取值为 0,1,2;PX=0=0.10.1=0.01 PX=1=20.90.1 =0.18 PX=2=0.90.9=0.81常常表示为：常常表示为：Xkp0120 010 180 81.这就是这就是X的分布律的分布律.例例2 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号设一汽车

13、在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率灯，每盏信号灯以概率1/2p 允许汽车通过允许汽车通过,变量变量X表示汽车停车次数表示汽车停车次数(设各信号灯的工设各信号灯的工作是相互独立的）作是相互独立的）,求求X的分布律。的分布律。3(1)pXkp3102解解 由题意可知由题意可知0,1,2,3XR X的分布律为的分布律为，则，则3p213)1(ppCppC223)1(将将1/2p 带入可得带入可得X的分布律为的分布律为Xkp310281838381例例3 3 设一均匀的硬币抛三次为一次试验，设一均匀的硬币抛三次为一次试验，X为正面为正面出现的次数，求随机变量出现的次数，求随机变量X

14、的分布律。的分布律。解解=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT0,1,2,3XR 3/8Xkp1/81/83103/82则则例例4 4 设设X为离散型随机变量，其分布律为：为离散型随机变量，其分布律为：Xp-1-10 01 11/21/21-21-2qq2 22112)12qq（解解 1 q=1 2解方程得21 q=1+1 21 q=1-2q 若则矛盾求求 q 的值的值某射手连续向一目标射击，直到命中为止，某射手连续向一目标射击，直到命中为止，解解 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2,1,2,，PX=1=P(A1)=p,为计算为计算 PX=k，k=1,2,

15、=1,2,，Ak=第第k次命中次命中，k=1,2,=1,2,，设设于是于是pp)1(122()P XP A A1233()P XP A A App 2)1(已知他每发命中的概率是已知他每发命中的概率是p，求射击次数求射击次数X的分布列的分布列.例例5 5 ,2,1k1(1),kP Xkpp可见可见这就是所求这就是所求射击次数射击次数X 的分布律的分布律.若随机变量若随机变量X的分布律如上式，的分布律如上式，不难验证不难验证:11(1)1kkpp几何分布几何分布.则称则称X 服从服从.(01)分布分布定义定义1.1.如果随机变量如果随机变量X的分布律为的分布律为1(1),0,1,(01).kkP

16、 Xkppkp则称则称X服从参数为服从参数为p的的(01)分布分布。即即01 1PXX或或011P XP X二、常用的离散型随机变量及其分布二、常用的离散型随机变量及其分布pXkp1p10（01）分布的分布律也可写）分布的分布律也可写成成 注注 服从（服从（01）分布的随机变量很多，如果涉及的试）分布的随机变量很多，如果涉及的试验只有两个互斥的结果：验只有两个互斥的结果：AA、，都可在样本空间上定，都可在样本空间上定义义一个服从（一个服从（01）分布的随机变量：）分布的随机变量：不发生，发生，AAX0,1 下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的分布分布

17、-二项分布二项分布 1.伯努利伯努利概型概型（概率论中最早研究的模型之一，也是（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）它推导）n重独立试验重独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。“重复重复”是指这是指这n次试验中次试验中P(A)=p保持不变保持不变.“独立独立”是指各次试验的结果互不影响是指各次试验的结果互不影响 .伯努利概型伯努利概型设随机试验设随机试验

18、E只有只有AA和两种可能结果，且两种可能结果，且()P Ap(01)p将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验重伯努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”一般地，设在一次试验一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 .A 这样的试验这样的试验E E称为称为伯努利试验伯努利试验 .2.二项分布二项分布引例引例：某人打靶单发命中率为某人打靶单发命中率为0.7,p 现独立重

19、复射现独立重复射击击3次，求恰好命中次，求恰好命中2发的概率。发的概率。解解iA表示表示“第第i 次命中次命中”,1,2,3,i B表示表示“恰好命中两次恰好命中两次”()0.7,()0.3,1,2,3iiP AP Ai123123123BA A AA A AA A A223 23()(1)0.441P BC pp由此可得：由此可得：n重伯努利试验中重伯努利试验中,“事件事件A恰好发生恰好发生k次次”,即即Xk的概率为的概率为(1),0,1,2,kkn knP XkC ppkn定义定义2 2 如果随机变量如果随机变量X的分布律为的分布律为,0,1,2,kkn knP XkC p qkn则称则称

20、X服从参数为服从参数为,n p的的二项分二项分其中其中01,1,pqp 布布，记为，记为(,).Xb n p0kkn knP XkC p q；容易验证容易验证00()1.nnkkn knnkkP XkC p qpq二项式定理二项式定理特别特别,当当1n 时时,二项分布为二项分布为1,0,1.kkP Xkp qk这就是（这就是（0-1）分布，常记为）分布，常记为(1,).Xbp1111111kkn knkkn knP XknpkC p qqpP XkCpqkq kXP 3.二项分布的分布形态二项分布的分布形态若若(,)Xb n p，则，则由此可知，二项分布的分布律由此可知，二项分布的分布律(右图

21、右图)先是随着先是随着k到其最大值后再随着到其最大值后再随着k的增大而减小的增大而减小.这个使得这个使得kXP达到其最大值的达到其最大值的称为该称为该二项分布的最可能次数。二项分布的最可能次数。的增大而增大的增大而增大,达达0k.0kpk10,0.7np当当(n+1)p 不为整数时，二项概率不为整数时，二项概率P X=k 在在 k=(n+1)p达到最大达到最大值；值；.n=10,p=0.7kpk0当当(n+1)p 为整数时，二项概率为整数时，二项概率P X=k 在在 k=(n+1)p 和和 k=(n+1)p-1处达到最大值处达到最大值.n=13,p=0.5pkk.0二项分布的取值情况二项分布的

22、取值情况设设13(8,)Xb.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8113388()(1),0,1,8kkkP kP XkCk0.273由图表可见由图表可见,当当 时，时，32或k分布取得最大值分布取得最大值273.0)3()2(88 PP此时的此时的 称为称为最可能成功次数最可能成功次数kxP012345678设(20,0.2)Xb.01 .06.14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024

23、681020由图表可见,当 时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.22 51015200.050.10.150.2，于是所求概率为，于是所求概率为(3,0.05)Xb表示所取的表示所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，解解 设设X注注 若将本例中的若将本例中的“有放回有放回”改为改为“无放回无放回”，那那么各么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用古典概型求解古典概型求解.例例4 已知已知100100个产品中有个产品中有5 5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求所取个，求所取

24、3 3个中恰有个中恰有2 2个次品的概率。个次品的概率。223 2320.050.950.007125P XC00618.02310025195CCCXP 古典概型与伯努利概型不同，有何区别？古典概型与伯努利概型不同，有何区别？请思考：请思考：伯努利概型伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，对试验结果没有等可能的要求，（1 1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；（2 2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果:且且（3 3）各次试验相互独立）各次试验相互独立.但有下述要求：但有下述要求：AA或(),()1P Ap P Ap=-例例5 一大批产品中一级品率为一大批产品中一级品

25、率为0.20.2，现随机抽查，现随机抽查2020只，问只，问20只元件中恰好有只元件中恰好有(0,1,20)kk=L只为一级为一级品的概率为多少？品的概率为多少？解解设设X表示表示20只元件中为一级品的只数，只元件中为一级品的只数，(20,0.2)Xb这个试验可以看作伯努利试验。这个试验可以看作伯努利试验。20200.20.8,0,1,20kkkP XkCk例例6 某人射击命中率为某人射击命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试次，试求至少击中求至少击中2次的概率？次的概率？解解 设设X表示击中的次数，则表示击中的次数，则(400,0.02)Xb所以分布律所以分布律4004000.02

26、 0.98kkkP XkC-=则所求概率则所求概率本例题的实际意义：本例题的实际意义：0.9972=1012XPXPXP39940098.002.040098.01 不可忽视不可忽视小概率事件小概率事件，小概率事件虽不易发生，小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件但重复次数多了，就成大概率事件.反过来看，如果一个人射击反过来看，如果一个人射击400次，击中竟不到次，击中竟不到两次，由于两次，由于很小，故怀疑很小，故怀疑“命中率命中率0.02”是否为真，即他的命中率不到是否为真，即他的命中率不到0.02。003.02 XP例如例如：设发行的彩票中奖率是：设发行的彩票中奖率是0.00

27、1，假定发行的彩票，假定发行的彩票数量巨大，以至于不论别人是否中奖均不会改变你抽数量巨大，以至于不论别人是否中奖均不会改变你抽奖时的中奖率。求买奖时的中奖率。求买n 张彩票能中奖的概率张彩票能中奖的概率pn。此外。此外由于中奖率是千分之一，问买由于中奖率是千分之一，问买1000张彩票中奖概率是张彩票中奖概率是否接近于否接近于1？彩票中奖问题彩票中奖问题解解 设设X表示表示 n 张彩票中中奖的票数，则张彩票中中奖的票数，则(,0.001)Xb n即即0.001(10.001)kkn knP XkC则则 n 张彩票能中奖的概率为张彩票能中奖的概率为解解 设设X表示表示 n 张彩票中中奖的票数，则张

28、彩票中中奖的票数，则(,0.001)Xb n即即0.001(10.001)kkn knP XkCn10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993买买3000张彩票中奖率已达到张彩票中奖率已达到95%，再多买再多买2000张张中奖的概率中奖的概率仅增加仅增加了了4.3%！nnXPXPp999.01011例如例如：保险公司有：保险公司有10 000人参加人身意外保险。该公人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司司规定：每人每年付公司120元，若意外死亡，公司元，若意外死亡，公司将赔偿将赔偿10 000元。若每人每年意外死亡率为元。若每人每年意外

29、死亡率为0.006，试讨论该公司是否会亏本，其利润状况如何。试讨论该公司是否会亏本，其利润状况如何。人身保险问题人身保险问题分析：分析：公司收入为公司收入为 12010 000=120万元万元解解 设设X表示表示10 000人中意外死亡的人数，则人中意外死亡的人数，则(10000,0.006)Xb即即10000100000.006(1 0.006)kkkP XkC公司亏本意味着：公司亏本意味着：死亡人数超过了死亡人数超过了120人。人。则公司亏本的概率为则公司亏本的概率为解解 设设X表示表示10 000人中意外死亡的人数，则人中意外死亡的人数，则(10000,0.006)Xb即即1000010

30、0000.006(1 0.006)kkkP XkC120XP1201XP12001kkXP01012公司几乎不会公司几乎不会亏本亏本!！现在考察该公司利润不少于现在考察该公司利润不少于40万元的概率万元的概率公司的利润状况公司的利润状况解解 设设X表示表示10 000人中意外死亡的人数，则人中意外死亡的人数，则(10000,0.006)Xb即即10000100000.006(10.006)kkkP XkC-=-40120 XP80XP800kkXP995.0公司盈利几乎公司盈利几乎是必然的是必然的!！由此可见日常生活中由此可见日常生活中“提高警惕提高警惕,防火防盗防火防盗”的重要性的重要性.由

31、于时间无限由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌不用奇怪，不用惊慌.同样同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人大可不必怨天尤人,更不要想不开。更不要想不开。例例7 设有设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工

32、人的办法：有四人维护，处理。考虑两种配备维修工人的办法：有四人维护，每人负责每人负责20台；台；三人共同维护三人共同维护80台。比较这两种方法台。比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率。在设备发生故障时不能及时维修的概率。解解 设设X表示表示“第一个人维护的第一个人维护的20台中同时发生故障台中同时发生故障的台数的台数”iA表示表示“第第i个人维护的个人维护的20台中发生故障而不台中发生故障而不能及时维修能及时维修”，1,2,3,4i=所以所以 4个人维护个人维护80台，发生故障而不能及时维修的概率：台，发生故障而不能及时维修的概率：)(4321AAAAP)(1AP2P X=0.01

33、69.设设Y80台同一时刻发生故障的台数，台同一时刻发生故障的台数，则则Yb(80，0.01)4P Y 所求为=0.0087所以，选取第二种。所以，选取第二种。定理定理1（泊松泊松Poisson定理定理)设设是一常数，是一常数，n是是正整数，若正整数，若nnp=，则对任一固定的非负整数，则对任一固定的非负整数k有证证 由由0lim(1)!kkknknnnnC ppeknpn得得(1)kknknnnC pp(1)(1)()(1)!knkn nnkknn对于任意固定的对于任意固定的k，有故有故有lim(1)!kkknknnnnC ppek1211(1)(1)(1)(1)(1)!knkkknnnnn

34、 lim(1)1,lim(1),knnnennlim(1)1,1,2,1niikn马克劳林级数马克劳林级数,2,1,0,!kkekXPk1.0,0,1,2P Xkk0002.!kkkkkeP Xkekk所以所以P Xk=满足随机变量概率定义的条件满足随机变量概率定义的条件。1ee)!2!11(2xxex问题：问题：能否作为某随机变量能否作为某随机变量X的分布律？的分布律？.泊松分布泊松分布定义定义1.1.设随机变量设随机变量X 所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,而而且概率分布为：且概率分布为：,2,1,0,!kkekXPk0X其中其中，则称，则称服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分

35、布，记，记)(X注：注：二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当1n=时，即为（时，即为（01）分布；当）分布；当np很大，很小时，时，二项分布近似于泊松分布。二项分布近似于泊松分布。泊松分布的图形特点泊松分布的图形特点：)(X当当 n 很大，很大，p 很小时，很小时，泊松泊松定理表明定理表明 泊松分布是二项分布的极限分布泊松分布是二项分布的极限分布，参数参数 =n p 的的泊松分布泊松分布二项分布就可近似看成是二项分布就可近似看成是在实际计算中在实际计算中,当当 n 20,p 0.05时时,可用上述公式近似可用上述公式近似计算计算;而当而当 n 100

36、,np 10 时时,精度更好精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X服从参数为服从参数为 的泊的泊2 (),101 3 XP

37、 XP XP Xe 且31012 P XP XP XP X122222221150.323 1!2!eeee解解 由题意由题意,23eee 求任选一对夫妇求任选一对夫妇,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。松分布松分布,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3 3e-2-2.2 (,0.01)Xb n例例2 某城市有某城市有1%色盲者，问从这个城市里选出多少色盲者，问从这个城市里选出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解解 设选出设选出n个人，个人，n人中色盲患者为人中色盲患者为则则两边

38、取对数两边取对数所以得所以得300n=11010.990.95nP XP X0.990.05nln 0.05299.57ln 0.99n 0.010.99kknknP XkC有产品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法解法1 超几何分布超几何分布29815014850100150002CCP XC解法解法2 二项分布二项分布01.0NMp为次品率，Xb(100,0.01)229810020.010.99P XC211120.36780.18392!2eP X解法解法3 泊松分布泊松分布1pn)(X,例例3近数十年来，泊松分布日益显示其重要性近数十年来，泊松

39、分布日益显示其重要性,成为成为概率论中最重要的几个分布之一。概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用泊松分布的应用在某个时段内：在某个时段内：1.某大卖场的顾客数；某大卖场的顾客数；3.某地区拨错号的电话呼唤次数；某地区拨错号的电话呼唤次数；2.市级医院急诊病人数；市级医院急诊病人数；4.某地区发生的交通事故的次数某地区发生的交通事故的次数.7.一个容器中的细菌数；一个容器中的细菌数；8.一本书一页中的印刷错误数；一本书一页中的印刷错误数；6.一匹布上的疵

40、点个数；一匹布上的疵点个数；5.放射性物质发出的放射性物质发出的 粒子数；粒子数；应用场合：应用场合：解解 (1)设设 需要配备需要配备 N 个维修工人个维修工人,设设 X 为为90 台台设备中发生故障的台数，则设备中发生故障的台数，则 X b(90,0.01)设同类型设备设同类型设备90台，每台工作相互独立，每台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是台设备发生故障的概率都是 0.01.在通常情况下，在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发

41、问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问问3个人共同负责个人共同负责90台还是台还是3个人各自独立负责个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？台设备发生故障不能及时维修的概率低？附例附例909010.010.99kkN kk NP XNC令9.001.090则900.910.9!kk NP XNek919.019.0!9.0!9.0kkNkkkeke19.0!9.0Nkkke01.0查附表查附表3得得 N=4(2)三个人共同负责三个人共同负责90台设备发生故障不能台设备发生故障不能 及时维修的概率为

42、及时维修的概率为900.940.93!kkP Xek919.049.0!9.0!9.0kkkkkeke49.0!9.0kkke013459.0设设30台设备中发生故障的台数为台设备中发生故障的台数为 Y b(30,0.01)设每个人独立负责设每个人独立负责30台设备，第台设备，第 i 个人负责的个人负责的30台台设备发生故障不能及时维修为事件设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则则0.320.3()2!kikP AP Yek0.0369,1,2,3i三个人各独立负责三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修台设备发生故障不能及时维修为事件为事件123AAA312311()iiP AAAP A 1067.0)0369.01(13013459.0故故 三个人共同负责三个人共同负责90 台设备比各自负责好！台设备比各自负责好！作作 业业P57：4,5，6