高等数学课件：1-1映射与函数（一）

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1、2023-2-271第一节第一节 映射与函数映射与函数二二 函数基本概念函数基本概念一一 问题的提出问题的提出三三 函数的几种特性函数的几种特性四四 复合函数、反函数复合函数、反函数五五 小结与思考判断题小结与思考判断题(Mapping and Function)2023-2-272一 问题的提出微积分是一门以变量为研究对微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如

2、曲边梯形的面积等涉及法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。微积分研究的主要对象就是函数。2023-2-273二、集合(Set):Set):1.1.集合概念集合概念我们把具有某种特定性质的事物所组我们把具有某种特定性质的事物所组成的总体称为一个集合。成的总体称为一个集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。组成这个集合的事物称为该集合的元素。,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM ,

3、Ma,Ma 注：集合的表示方法主要有列举法和描述法。2023-2-2742.2.区间区间(interval):interval):介于某两个实数之间的全体实数构成介于某两个实数之间的全体实数构成区间区间.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 开区间开区间),(ba记作记作bxax 闭区间闭区间,ba记作记作oxaboxab2023-2-275bxax bxax 左闭右开区间左闭右开区间左开右闭区间左开右闭区间),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb注注:两端点间的距离称为区间的长度两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间无

4、穷区间2023-2-2763 3 邻域邻域.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a),(aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.),(axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.),(axxaU0,邻邻域域的的称称为为点点数数集集 aaxx 记作记作2023-2-277三三 映射映射(Mapping)1 映射概念映射概念到到的的映映射射，从从为为与与之之对对应应，则则称称确确定定的的元元素素中中有有唯唯一一的的在在，按按法法则则中中每每个个元元素素使使得得对对，存存在在一一个个法法则则是是两两个个非非空空集集合合，如如果果设设Y

5、XfyYfxXfYX,)(),(y,:xfyxfYXf 即即称称为为元元素素的的像像，并并记记为为其其中中记记作作,fDfXyx的的定定义义域域，记记作作称称为为映映射射的的一一个个原原像像；集集合合称称为为元元素素而而元元素素,fRfX的的值值域域，记记作作的的集集合合称称为为映映射射中中所所有有元元素素的的像像所所组组成成集集合合2023-2-278()0 x)(0 xf对应法则对应法则f1 1）映射的三要素）映射的三要素:定义域、对应法则和值域定义域、对应法则和值域xyXW。像不一定是唯一的像不一定是唯一的的原的原元素元素一个一个，而对每，而对每是唯一的是唯一的像像的的元素元素对每一个对

6、每一个 ,)yRyyxXxf 2.)(,:21xxfRxRRf 对对每每个个设设例例/,0 yyRRDfff是一个映射，是一个映射，2023-2-279),),(,:,|),(,|),(与之对应。（有唯一确定的对每个设例YxXyxYXfxxYyxyxX0101222YRXDfff ,是一个映射，是一个映射，.sin)(,:xxfxf 2211223对对每每个个设设例例.,1122 ffRDf是是一一个个映映射射，2023-2-2710是是满满射射，不不是是单单射射）如如例例的的单单射射；从从到到为为则则称称都都有有中中任任意意两两个个不不同同元元素素若若22121(),()(,YXfxfxfx

7、xX 是是双双射射）（如如例例是是一一一一映映射射或或双双射射；则则称称既既是是满满射射又又是是单单射射若若映映射射3ff,非非满满射射、非非单单射射）如如例例上上的的映映射射或或满满射射；从从到到为为中中某某元元素素的的像像，则则称称是是都都中中任任一一元元素素即即若若的的映映射射从从到到为为设设满满射射、单单射射和和双双射射1(,2YXfXyYYRYXff 2023-2-2711 3 逆逆映映射射与与复复合合映映射射.,:.)(,)(,:,)(,XRRDffgyxfxxygRyXRggXRyxfXxyYRyYXffffffff 111的的逆逆映映射射，记记作作为为称称满满足足规规定定对对每

8、每个个即即的的新新映映射射到到则则定定义义一一个个从从，适适合合都都有有唯唯一一素素中中任任一一元元即即若若的的一一一一映映射射从从到到为为设设,arcsin)(.sin)(,:112211221 xxxfxxfxf对对每每个个比比如如映映射射注意：只有单射才注意：只有单射才 存在逆映射存在逆映射2023-2-2712gffgxgfXxZXfgYYZYfYXg记记作作构构成成的的复复合合映映射射，和和这这个个映映射射称称为为映映成成将将每每个个的的对对应应法法则则，到到可可以以定定义义一一个个从从和和则则由由映映射射其其中中设设有有两两个个映映射射),(.,:,:2121 .),()(:Xxx

9、gfxgfZXgf 如如：Rxxxguuuf ,sin)(,)(1112xxxgfxgfcossin)()(212023-2-2713因变量因变量自变量自变量.),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 变变量量 y y 按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它对对应应，则则称称 y y 是是 x x 的的函函数数，记记作作 设设 D D 是是一一个个给给定定的的数数集集，x x和和y y是是两两个个变变量量,数集数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域)(xfy 如如果果对对于于每每个个数数Dx,四四 函数函数（Func

10、tion)1 函数概念函数概念2023-2-2714()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f1 1）函数的三要素）函数的三要素:定义域、对应法则和值域定义域、对应法则和值域xyDW注注:定义域是自变量所能取的使算式有意义的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值一切实数值.24xy 例例如如，,:22 D241xy 例例如如，),(:22 D2023-2-2715如果自变量在定义域内任取一个数值如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如

11、，例如，222ayx 22xay函数的表示方法函数的表示方法：1）表格法）表格法2）图形法）图形法3）解析法）解析法 2）单值函数与多值函数单值函数与多值函数2023-2-2716 1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当2 分段函数分段函数（Piecewise-defined Functions)1-1xyo符号函数的定义域是实数集，值域符号函数的定义域是实数集，值域-1，0，12023-2-27172)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyox453 11 13

12、075.,2023-2-2718 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo3)狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)2023-2-2719 0,10,12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.2023-2-27203 函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1）有界性）有界性(Boundedne

13、ss):.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf2023-2-27212）单调性）单调性(Monotonicity):,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI2023-2-2722)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数

14、设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有2023-2-27233）奇偶性）奇偶性(Odd and Even):偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf2023-2-2724有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 2023-2-27254）周期性）周期性(Periodicity):（通常说周期函数

15、的周期是指其最小正周期）（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl思考：是否存在无周期的周期函数思考：是否存在无周期的周期函数？2023-2-27263、复合函数、复合函数(Composite Functions)设函数设函数)(ufy )(xgu 的定义域与的定义域与的值域的的值域的交集非空，则交集非空，则)(xgfy 是是),(ufy)(xgu 的复合

16、函数的复合函数。如如：2xyarcsin 可看作由可看作由2xuuy ,arcsin复合而成复合而成注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。2023-2-2727)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 4、反函数、反函数(Inverse Functions)2023-2-2728五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,映射映射,单射，双射，满射，函数单射，双射，满射，函数函数的特性函数的特性有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.复合映射，复合函数、逆映射，反函数复合映射，复合函数、逆映射，反函数2023-2-2729思考与判断题思考与判断题 ）是否存在既奇又偶的函数？）是否存在既奇又偶的函数？）是否周期函数的周期有无穷多个）是否周期函数的周期有无穷多个？）任何周期函数，必有最小正周期？）任何周期函数，必有最小正周期？