量子力学：第二章 量子力学原理(Ⅰ)波函数和 Schrödinger 方程B

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1、2.5 2.5 一维定态问题一维定态问题2.5-1 无限深方势阱无限深方势阱2.5-2 一维谐振子一维谐振子2.5-3 势垒穿透势垒穿透0,0()0 xaV xxxa和2.5-1 无限深方势阱无限深方势阱势能函数为势能函数为(1)(1)势阱外势阱外:0 xxa和()()0EV xx束缚在势阱中束缚在势阱中(2)(2)势阱内势阱内:定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为:()0V x 0 xa222()()2EEdxExm dxo aV(x)IIIIIIx记记2mEk 方程的解为方程的解为:()sincosExAkxBkx 0 xa体系的定态体系的定态波函数为波函数为:000sincos()EAkxB

2、kxxaxxxa 和和波函数满足三个标准条件波函数满足三个标准条件:有限有限;单值单值;连续连续00000()()sinEEBaAka 222()()0EEdxkxdx由由 在在x=0 x=0和和x=ax=a处连续处连续,得得()x 0 A 故得故得:1 2 3 ,kann 代入代入k k的定义式的定义式,可得体系定态能量取值为可得体系定态能量取值为:22221 2 32,.nhnEnma 能量取值是量子化的能量取值是量子化的,分立的能级分立的能级相应的定态波函数为相应的定态波函数为:000 sin()nnxaAxxaxxa 和和1 2 3,n 故故nka 0 A 归一化常数归一化常数 :22

3、2012()()|sin()|annnaxx dxAx dxAa 得得:2/Aa 归一化的定态波函数为归一化的定态波函数为:2000 sin()nnxaxxaaxxa 和和1.1.分立能谱，分立能谱，n n为能量量子数为能量量子数.2nEn 讨论讨论:(n(n2)2)，能量再次低的态为第二激发态，能量再次低的态为第二激发态(n=3),(n=3),依次类推依次类推能量最低的态称为基态能量最低的态称为基态(n=1)，能量次低的态为第一激发态，能量次低的态为第一激发态A基态能量为基态能量为:22122 hEEma 基2nEn E 基2.2.体系的零点能体系的零点能:minEEV 零基对于一维无限深势

4、阱对于一维无限深势阱0EE 零基量子现象量子现象4.4.没有简并没有简并:,nnE 一一对应一一对应3.3.束缚态：在势阱中束缚态：在势阱中,运动状态是两端固定的驻波运动状态是两端固定的驻波 (参见图参见图2.5-2)2.5-2)激发态激发态定态波函数定态波函数22()sinnnxxaa (,)()exp/nnnx txiE t(,)(,)mnmnx tx t dx 正交归一性正交归一性()()mnmnxx dx 补补例例2.4-22.4-2:一维无限深方势阱一维无限深方势阱已知初始时刻已知初始时刻(t=0)(t=0)的归一化波函数为的归一化波函数为81 cossin,0(,0)500 xxx

5、axaaaxxa和求求:(1)t0:(1)t0时刻粒子的状态波函数时刻粒子的状态波函数(,)x t(2)(2)粒子能量的可能取值粒子能量的可能取值,取值几率和期望值取值几率和期望值(3)(3)在在t=0t=0和和t0t0时时,在在 区域发现粒子的几率区域发现粒子的几率0/2xa解解:(1):(1)解法一：解法一：(,0)()EEErCr故在一维无限深势阱中改写为故在一维无限深势阱中改写为1(,0)()nnnxcx两边乘以两边乘以后对空间积分后对空间积分*()nx即即*11(,0)()()()nnnnnnnnnnxx dxcxx dxcc*()(,0)nncxxdx1202841sin1 cos

6、sin555annn xxxdxaaaaa1241;,55cct0t0时刻粒子的状态波函数时刻粒子的状态波函数/1(,)()niE tnnnx tcx e即即2222/(2)2/()822sinsin55itmaitmaxxeeaaaa12/1241()()55iE tiE tx ex e0 as 1,2ncn8(,0)1 cossin5xxxaaa解法二：解法二：812sinsin52xxaaa124212241sinsin()()5555xxxxaaaa与与1(,0)()nnnxcx得得124/5;1/5;0 as 1,2ncccn相比较相比较同样可求得粒子在同样可求得粒子在t t时刻的状

7、态波函数时刻的状态波函数(,)x t2222/(2)2/()822(,)sinsin55itmaitmaxxx teeaaaa(2)(2)粒子能量的可能取值粒子能量的可能取值,取值几率和期望值取值几率和期望值222212222;2EEmama能量的可能取值能量的可能取值221241|;|55cc相应的取值几率相应的取值几率期望值期望值22112212222222122241|55414485 25 255EcEcEEEEmamama另一种算法另一种算法：*0*0(,0)(,0)(,0)(,0)ttaEExHxdxxHxdx利用下式计算利用下式计算式中式中2222dHm dx *12002212

8、241(,0)(,0)()()5541()()255aatExHxdxxxdxxdxm dx式中式中222211222222222222()sinsin()222222()sinsin()ddxxxxdxdxaaaaaaddxxxxdxdxaaaaaa 12222()sin;()sinxxxxaaaa而而*2*12002222212141(,0)(,0)()()5524214214()()552555aatExHxdxxxmxxdxEaamaa (3)在在 发现粒子的几率发现粒子的几率2/2/2200812()(0)(,0)sinsin52aaxxatxdxdxaaa1162152222/22

9、02/22/(2)2/()02/2222022()(0)(,)8sincos583sin1 cos2coscos521163cos2152aaitmaitmaabtx tdxxxeedxaaaxxxtdxaaaamatma0/2xa2.5-3 势垒穿透势垒穿透0 aV(x)V0I II IIIE00000(),Vx aV xxx a 势场势场V(x)V(x)为为:x能量为能量为E E的粒子沿的粒子沿x x轴正轴正方向入射到势垒被散射方向入射到势垒被散射经典力学的观点：不能越过经典力学的观点：不能越过量子力学的观点量子力学的观点:有一定几率穿透势垒。有一定几率穿透势垒。考虑考虑 情况：情况：上述

10、三个区域的上述三个区域的 Schrodinger 方程可写为：方程可写为：222220222202022()()()()()()EEEEEEdxExxm dxdVxExxam dxdxExxam dx0EV02222();mVEmEkk 22222222200000()()()()()()EEEEEEdxkxxdxdxkxxadxdxkxxadx 因为因为 E0,VE0,V0 0E,E,所以所以 为实数为实数 12121200()ikxikxk xk xEikxikxA eA exxB eB exaC eC exa 上面方程改写成上面方程改写成:解为解为令令,k k 解的单值、有限条件自然满足

11、解的单值、有限条件自然满足由于在由于在xaxa的的IIIIII区没有反射波，所以区没有反射波，所以C C2 2=0=0，波函数改写为波函数改写为1211221300()()()()ikxikxk xk xEikxA eA exxxB eB exxaC exxa 1.波函数连续波函数连续121212000 ,()().At xAABB综合综合121212000()(),()().xxdxdxAt xik AAk BBdxdx 2.波函数导数连续波函数导数连续2121121212112100k ak aikak ak aikaABBAB eB eC eikAk Bk BikAk B ek B ei

12、kC e 23121 ,()().k ak aikaAt xaaaB eB eC e 32121()(),().k ak aikax ax adxdxAt xak BeB eikC edxdx 122122()()()CikkAkksh k aikk ch k a 2222212()()()()()Akksh k aAkksh k aikk ch k a 入射、反射和透射的几率流密度入射、反射和透射的几率流密度入射波入射波 212*()().|IIIdxikjxc cAmdxm 几率流密度矢量：几率流密度矢量：2()()().idxj xxc cmdx 1()ikxIxA e 入射波几率流密度

13、入射波几率流密度22 ()/()/xxxxshxeechxee 其中负号表示与入其中负号表示与入 射方向相反。射方向相反。反射波反射波222*()().|RRRdxikjxc cAmdxm 透射波透射波212*()().|TTTdxikjxc cCmdxm 透射系数透射系数 、反射系数、反射系数描述：粒子穿透势垒的几率描述：粒子穿透势垒的几率 和被势垒反射的几率和被势垒反射的几率2()ikxRxA e 1()ikxTxC e 反射波几率流密度反射波几率流密度透射波几率流密度透射波几率流密度RT22212222222212222222212200444414|()()()()()()()TIjC

14、k kTjAkksh k ak k ch k ak kkksh k ak kVsh k aE VE 透射系数透射系数 :透射波几率流密度与入射波几率流密度之比透射波几率流密度与入射波几率流密度之比反射系数反射系数 ：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比反射波几率流密度与入射波几率流密度之比即使即使EVEV0 0，在，在一般情况下，一般情况下，透射系数透射系数T T并并不等于零。不等于零。TR由几率守恒应该有由几率守恒应该有同理，反射系数为同理，反射系数为222222222222214|()()|()()RIjAkksh k aRjAkksh k ak k 入射粒子一部分穿透入射粒子一部分穿透

15、势垒，另一部分则势垒，另一部分则被势垒反射回来。被势垒反射回来。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波Tunnel effectTunnel effect1TR 透射系数讨论透射系数讨论:22222222144()k kTkksh k ak k 122222214()kksh k ak k 1200142 2()Vshk aE VE 120011161()k ak aeeEEVV 021()m VEk aa .,k ak ai e ee 当当时时,则透射系数近似为则透射系数近似为:02200161()/()m VE aEETeVV 0,maVE 大，大，T小小设粒子质量为设

16、粒子质量为m,m,在一维空间势场在一维空间势场 中运动，中运动，212 -()V xKxx 2222222122122pHKxmdmxm dx 0,().xx 2.5-2 一维谐振子一维谐振子方程的建立方程的建立Hamilton算符算符所以，当所以，当()V xK m 势能函数为势能函数为22222122()()EEdmxxExxm dx 则定态则定态 Schrdinger 方程可写为：方程可写为：x ，引入无量纲变量引入无量纲变量代替代替x x，则方程可改写为：则方程可改写为：令令2220()()dd 2E m ，其中其中(2.5.14)(2.5.14)记记 ，2220d()()d 其解为：

17、其解为：只能取负号只能取负号2/2)()(eH方程的渐进解方程的渐进解所以方程所以方程(14)(14)解可取如下形式解可取如下形式将将 代回方程代回方程(14)(14)，得到，得到 满足的方程满足的方程 满足的方程满足的方程22()exp(/)()H()()H 渐近解：即当渐近解：即当 时波函数时波函数 的渐进形式。的渐进形式。此时此时 ，于是方程，于是方程(14)(14)近似为：近似为：()2 须使须使 满足单值、有限和连续满足单值、有限和连续 22210()()()()d HdHHdd 在在=0=0的邻域把的邻域把 展开为展开为TaylorTaylor级数级数方程求解方程求解0()vvvH

18、a代入式代入式(16)(16)得得2021210()()()vvvaa 得到系数的关系式得到系数的关系式22121()()()vaa 2/2)()(eH()H 在在 时系数比为时系数比为v 22vvaa (2.5-18)(2.5-18)(2.5-16)(2.5-16)()H 241337135()()!a 方程的通解为方程的通解为240115124()()()!Ha 而而22242011222 1!(/)!(/)!vvve 2420242vvvvbbbbb 在在 时系数比为时系数比为v 22vvbb 故在故在 足够大处，足够大处，的行为是的行为是()H 2201()Ha eae 2222220

19、1/()()()Hea eaee 代入得代入得222201/a eae 而当而当 有有,222201/()a eae 即写为即写为故无穷级数故无穷级数 需中断为有限级数，即需中断为有限级数，即200,vaa 210 01 2,nn 221012 ()(),nnnndHeend HermiteHermite多项式多项式()H 设系数不为零的最高次幂为设系数不为零的最高次幂为n,n,由由(18)(18)式知式知当当n n为偶为偶(奇奇)数时，令数时，令 ,100()a a()H 适当选择适当选择 ,使最高次幂对应的系数为使最高次幂对应的系数为01()aa给出给出 为一偶为一偶(奇奇)次多项式次多项

20、式2n(2.5-20)(2.5-20)将将(20)(20)中的中的 代回到代回到(16)(16)式中，得到式中，得到31328122();();().nnnHHH 0 1 2 3 4,n 的厄密多项式为：的厄密多项式为：202434142164812();();();HHH 222200 1 2 ()()(),nnnd HdHnHndd 厄密方程厄密方程将将 回代到回代到21n 120 1 2 (),nEnn 均匀分布均匀分布,间隔为间隔为 定态能级和定态波函数定态能级和定态波函数给出一维谐振子给出一维谐振子定态能谱定态能谱2E 基态能量基态能量:012E 零点能零点能:00minEEVE 零

21、0222/()()xnnnxN eHx 为归一化常数，为归一化常数，nN定态波函数定态波函数为：为：22222222221()()()(/)()()xnnnnnnnnnnxdxNeHx dxdNeHdNHedd 222221221!()nnnnnnnndnnNeHdNedNd 归一化波函数归一化波函数1/22!nnNn22/2()()2!xnnnxeHxn能级没有简并能级没有简并得得n=0n=1n=2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2图示定态波函数图示定态波函数参见参见P109P109图图2-5-3(a)2-5-3(a)2|n参见图参见图2-5-3(b)2-5-3(b)经典禁区经典禁

22、区(量子效应量子效应)经典经典:1/21/2221222EEKaEaKm粒子只允许出现在粒子只允许出现在 区域内区域内xa对于能量为对于能量为12 ()nEn 的的1 22121/nnam 在量子态下在量子态下,粒子可能出现在经典的禁区粒子可能出现在经典的禁区 内内xa2222221/21/22()2()()0nnnnannNxdxxdxeHd(1)(1)求能量期望值求能量期望值 ；（注：；（注：用用 和和 来表示）来表示）(2)(2)证明证明 。(*):):入射波和反射波波矢为入射波和反射波波矢为 ;透射波波矢为透射波波矢为 。作业二作业二2-1(c);2-3(1)(2)(4)*(5);2-13*;2-17.(*):):使用动量算符计算。使用动量算符计算。kk 1.1.设体系处于已归一化的非定态中设体系处于已归一化的非定态中2|1ncnEncHH(,)()exp(/)nnnnr tcriE t