A54反常积分ppt课件

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1、5.4 反常积分反常积分0 无穷限的反常积分无穷限的反常积分0 无界函数的反常积分无界函数的反常积分第五章第五章 定积分定积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例.曲线曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定义定义1.设设,),)(aCxf,ab 取假设xxfbabd)(lim存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分,记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散.类似地,假

2、设,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(,),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称xxfd)(发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明说明:上述定义中若出现上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.,)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF例例1.计算反常积分计算反常积分.1d2

3、xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy考虑考虑:?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散!注意注意:对反常积分对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.例例2.证明第一类证明第一类 p 积分积分apxxd证证:当当 p=1 时有时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛;p1 时发散.,因而,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为;11pap当 p1 时,反常积分发散.例例3.计算反常积分计算反常积分.)0(d0ptettp解解:t

4、pept原式00d1teptptpep21021p例例 4 4 证明广义积分证明广义积分 apxdxe当当0 p时收敛，时收敛，当当0 p时发散时发散.证证 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb.1 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的1x与

5、x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1(2lim02xy10A1xy定义定义2.设设,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散.类似地,假设,),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:,)(,)(外

6、连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点(奇点).例如,xxxd11112xxd)1(11间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义注意注意:若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式:xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的假设 b 为瑕点,那么假设 a 为瑕点,那么假设 a,b 都为瑕点,那么,),(bac那么xxfbad

7、)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?112dxx211111x下述解法是否正确:,积分收敛例例1.计算反常积分计算反常积分.)0(d022axaxa解解:显然瑕点为显然瑕点为 a,所以所以原式0arcsinaax1arcsin2例例2.讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性.解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散.例例3.证明反常积分证明反常积分baqaxx)(d证证:当当 q=1 时时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q

8、,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为;1)(1qabq当 q 1 时,该广义积分发散.例例4.解：解：,)2()1()1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点,故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx

9、 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 .故原广义积分发散故原广义积分发散.例例6 6 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx,233 3032)1(xdx).21(33 思考题思考题积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1,0 xx1lnlim1 xxx,11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点,1

10、01lndxxx的瑕点是的瑕点是.0 x内容小结内容小结 1.反常积分反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0(abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,)1(11pap说明说明:(1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互互相转化.例如,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间

11、上的反常积分.例：当例：当k为何值时，反常积分为何值时，反常积分2)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1时当k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值.2)(lndkxxx收敛？当收敛？当k为何值时，反常积分发散，当为何值时，反常积分发散，当k为何值时，为何值时，反常积分取得最小值？反常积分取得最小值？解：解：试证xxxxxd11d04204,并求其值.解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122xx

12、xxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22一、一、填空题：填空题：1 1、广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、广义积分广义积分 2)(lnkxxdx在在_时收敛；在时收敛；在_ 时发散；时发散；4 4、广广义义积积分分 dxxx21=_ _ _ _ _；练练 习习 题题5 5、广义积分广义积分 1021xxdx_；6 6、广义积分广义积分 xdttf)(的几何意义是的几何意义是_ _.二二、判判别别下下列列各各广广义义积积

13、分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：1 1、0coshtdtept )1(p；2 2、222xxdx ；3 3、0dxexxn（为为自自然然数数n）；4 4、202)1(xdx；5 5、211xxdx；6 6、022)1(lndxxxx；7 7、10ln xdxn.三、三、求当求当为为何何值值时时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为为何何值值时时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(.一、一、1 1、1,1 pp；2 2、1,1 qq；3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散；5 5、1 1；6 6、过点、过点轴轴平平行行于于 yx的直的直线左边线左边,曲线曲线)(xfy 轴轴和和 x所围图形的面积所围图形的面积.二、二、1 1、12 pp；2 2、；3 3、!n；4 4、发散；、发散；5 5、322；6 6、0 0；7 7、!)1(nn.三、当三、当1 k时收敛于时收敛于kabk 1)(11；当当1 k时发散时发散.四、四、xxxxxdttfx2,120,410,0)(2.练习题答案练习题答案