东北大学机械设计轴系大作业

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1、轴系部件设计计算说明书学院（系）专业班设计者指导老师 2011 年 12 月 19 日东北大学机械设计大作业轴系部件设计计算目录一、设计任务书及原始数据.2二、根据已知条件计算传动件的作用力.32.1 计算齿轮处转矩T、圆周力 Ft及径向力Fr.32.2 计算支座反力.3三、初选轴的材料，确定材料的机械性能.4四、进行轴的结构设计.44.1 确定最小直径.44.2 设计其余各轴段的直径和长度，且初选轴承型号.54.3 选择连接形式与设计细部结构.6五、轴的疲劳强度校核.65.1 轴的受力图.65.2 绘制弯矩图.75.3 绘制转矩图.85.4 确定危险截面.95.5 计算安全系数，校核轴的疲劳

2、强度.9六、选择轴承型号，计算轴承寿命.146.1 计算轴承所受支反力.146.2 计算轴承寿命.15七、键连接的计算.15八、轴系部件的结构装配图.15一、设计任务书及原始数据设计任务书及原始数据题目：一级直齿圆柱齿轮减速器输入轴组合结构设计机械设计大作业轴系部件设计计算轴系结构简图带轮受力分析简图原始数据见表 12项目名称字母表示及单轴输入功率P/kW轴转速n/(r/min)齿轮齿数z3齿轮模数m/mm齿轮宽度B/mm大带轮直径D/mm机械设计大作业轴系部件设计计算带型号A带根数z3l/mm160s/mm100带传动轴压力Q/N900轴承旁螺栓直径d/mm12表 1 设计方案及原始数据二、

3、根据已知条件计算传动件的作用力二、根据已知条件计算传动件的作用力2.1 计算齿轮处转矩T、圆周力 Ft及径向力Fr已知：轴输入功率 P=2.7kW，转速 n=700r/(min)。转矩计算公式：T=9.550106P/n将数据代入公式中，得：T=9.5501062.7/700=36836N圆周力计算公式：Ft=2T/d将转矩 T 带入其中，得：Ft=236836/63=1169.4N径向力计算公式：Fr=Fttan将圆周力 Ft带入其中，得：Fr=1169.4tan200=425.6N轴受力分析简图2.2 计算支座反力1、计算垂直面（XOZ）支反力根据受力分析图，我们可以利用垂直面力矩平衡原3

4、传动件计算结果T=36836NFt=1169.4NFr=425.6N理（Mz=0）得出求解b点垂直面支反力 Rbz的计算公式：Rbz=Fr/2代 入 圆 周力 Ft的值，得：Rbz=425.6/2=212.8N机械设计大作业轴系部件设计计算根据垂直面受力平衡原理（Fz=0），得出 d 点垂直面支反力 Rdz的计算公式：Rdz=FrRbz带入以求得的 b 点垂直面支反力的值 Rbz，得：Rdz=425.6212.8=212.8N2、计算水平面（XOY）支反力根据受力分析图，我们可以利用水平面力矩平衡原理（My=0）得出求解 d 点水平面支反力 Rdy的计算公式：Rdy=(QsFtl/2)/l代入

5、径向力 Fr与 a 点带传动轴压力 Q 的值，得：Rdy=(9001001169.4160/2)/160=1147.2N根据水平面受力平衡原理（Fy=0），得出求解 b 点水平面支反力 Rby的计算公式：Rby=FtQRdy带入 d 点水平力支反力 Rdy的值，得：Rby=1169.49001147.2=877.8N三、初选轴的材料，确定材料的机械性能三、初选轴的材料，确定材料的机械性能初选材料及机械性能见表 2材料牌号45 号热处理方法调质处理毛皮直径/mm硬度/HBS217286B/MPa637s/MPa3531/MPa2681/MPa155+1/MPa2160/MPa981/MPa59表

6、 2 材料牌号及机械性能四、进行轴的结构设计四、进行轴的结构设计4.1 确定最小直径按照扭转强度条件计算轴的最小值 dmin。4支座反力计算结果Rbz=212.8NRdz=212.8NRdy=1147.2NRby=877.8N其设计公式为：3d955010P/(0.2Tn)1/3=A0(P/n)1/3机械设计大作业轴系部件设计计算查机械设计中表 8-2(P191)，得由轴的材料及承载情况确定的系数 A0=118107，由于轴既受转矩作用又受弯矩作用，且弯矩大小未知，故初选大值，选定A0=118。将数据轴输入功率 P=2.7kW，转速 n=700r/(min)带入公式中，得：dmin=118(2

7、.7/700)1/3=18.5mm由于轴上开有键槽，轴径增大 5%，得：D=1.05dmin=1.0518.5=19.43mm圆整成标准值，得：D1=25mm4.2 设计其余各轴段的直径和长度，且初选轴承型号1、设计直径考虑轴上零件的固定、装拆及加工工艺要求。首先考虑轴承的选型，其直径末尾数必须为 0、5；且为了便于计算，故 D3 初取 40mm。考虑带轮及轴承 b 的固定，故 D2 取 35mm。由于齿轮左端由轴套固定，故 D4取 42mm。综合考虑轴承 d 的左端固定，轴承 b、d 取同一型号及齿轮的右端固定，将 D5、D6、D7 分别取50mm、46mm、40mm。2、设计各个轴段长度先

8、考虑齿轮的装拆及左端定位，故 L4 取 78mm；再考虑最右端轴承 d 的固定以及装拆，L7 取 20mm；考虑带轮的宽度 B=L=50mm，L1 取 47mm；在根据轴承b与齿轮c的相对位置及轴承b右端固定，L3取53mm；考虑带轮与轴承b之间的相对位置及轴承b的左端固定，L2 取 64mm；考虑齿轮右端的固定及轴环强度问题，L5 取 8mm；考虑齿轮 c 与轴承 d 之间的相对位置以及轴环长度，L6 取 23mm。3、轴的初步结构设计图轴的初步结构设计图4、初选轴承型号5最小直径计算结果dmin=18.5mmD=19.43mmD1=25mm各段轴轴径与长度D1=25mmL1=47mmD2=

9、35mmL2=64mmD3=40mmL3=53mmD4=42mmL4=78mmD5=50mmL5=8mmD6=46mmL6=23mmD7=40mmL7=20mm根据轴承 b、机械设计大作业轴系部件设计计算6208GB/T27694d 处的轴段直径 D3=D7=40mm，查机械设计课程设计 中表 4.6-1(P142)初选轴承型号为 6208 的深沟球轴承。4.3 选择连接形式与设计细部结构1、选择连接形式连接形式主要是指带轮与齿轮的周向固定：初步选择利用键连接以固定带轮与齿轮。而键型号依据带轮处与齿轮处轴径大小 D1、D4 分别为 25mm、42mm，查机械设计课程设计中表 4.5-1(P13

10、7)初选带轮处键的公称尺寸为 87，而键长 L1 初取 32mm；初选齿轮处键的公称尺寸为 128，键长 L2 初取 63mm。2、设计细部结构轴的详细结构图五、轴的疲劳强度校核五、轴的疲劳强度校核5.1 轴的受力图轴的受力图轴承型号6平键尺寸带轮处：8732齿轮处：12863机械设计大作业轴系部件设计计算5.2 绘制弯矩图1、垂直面弯矩图依据受力分析图分析易得：在垂直面（XOZ）平面，a-b 处弯矩为零，而 c 点处弯矩最大，且由于无外加弯矩作用，根据材料力学中的理论得，c 点左右弯矩相等。计算公式：Mcz=Rbzl/2=Rdzl/2带入说明书 2.2 中已经计算得出的垂直面支反力Rbz、R

11、dz数据，得：c 点垂直面弯矩Mcz=212.8160/2=17024Nmm垂直面弯矩图2、水平面弯矩图依据受力分析图分析易得：在水平面（XOY）平面，由于无外加弯矩作用，根据材料力学中的理论得，b、c 点左右弯矩相等。计算公式：Mby=Qs=Ftl/2RdylMcy=Rdyl/2=Q(sl/2)Rbyl/2带入说明书 2.2 中已经计算得出的水平面支反力 Q、Ft、Rby、Rdy数据，得：b 点水平面弯矩Mby=900100=1169.4160/21147.2160=90000Nmmc 点水平弯矩Mcy=1147.2160/2=900(100160/2)(877.8)160/2=91776N

12、mm7垂直面弯矩计算结果Mcz=17024Nmm水平弯矩计算结果Mby=90.000NmMcy=91.776Nm机械设计大作业轴系部件设计计算水平面弯矩图3、合成弯矩图依据上面两个步骤求得的水平面及垂直面弯矩，进行合成。计算公式：M=(Mz2My2)1/2带入数据 Mby、Mcy、Mcz的值，得：b 点合成弯矩Mb=02(90000)21/2=90000Nmmc 点合成弯矩Mc=170242(91776)21/2=93342Nmm合成弯矩图5.3 绘制转矩图根据材料力学的理论分析以及轴的受力分析图可以得出，在 a-b-c 轴段上转矩相同，在 c-d 轴段上，没有转矩。故可依据说明书 2.1 中

13、所计算得出的转矩 T，绘制出转矩图。8合成弯矩计算结果Mb=90000NmmMc=93342Nmm机械设计大作业轴系部件设计计算作用转矩图5.4 确定危险截面截面标号图通过对轴上零件的受力分析，绘制弯矩及转矩图，并且综合考虑轴径大小以及键槽、圆角等因素对轴的应力的影响，最终确定了四个危险截面。其中 C 截面处计算弯矩最大，且开有键槽会造成应力集中；截面处计算弯矩较大，且其截面积较 C 处小；A1截面处虽然计算弯矩不大，但其截面处开有键槽且截面积最小；截面处计算弯矩较 A1截面大，且截面处有圆角产生应力集中，但其截面积较 A1大一些。5.5 计算安全系数，校核轴的疲劳强度1、计算 C 截面处的安

14、全系数综合影响系数表，如下：K=1.81Kr=1.60有效应力集中系数=0.84r=0.78绝对尺寸系数=0.94加工表面的表面质量系数弯曲=0.34应力总数r=0.21扭转表 3 综合影响系数表9机械设计大作业轴系部件设计计算计算抗弯模量与抗扭模量计算公式：W=d3/32bt(dt)2/2dWT=d3/16bt(dt)2/2d将查表查得的 d、b、t 值代入公式中，得：抗弯模量W=3.14423/32125(425)2/242=6292mm3抗扭模量WT=3.14423/16125(425)2/242=13592mm3计算弯曲应力将弯曲应力看成对称循环应力求解，则计算公式为：a=max=MC

15、/Wm=0将 C 截面对应的计算弯矩 MC代入公式中，得：弯曲应力幅a=max=93342/6292=14.8MPa平均弯曲应力m=0MPa计算扭转切应力将扭转切应力看作脉动循环应力求解，则计算公式为：a=T/2=T/2WTm=a将 C 截面处对应的作用扭矩 T 代入公式中，得：扭转应力幅a=36836/213562=1.36MPa平均扭转应力m=1.36MPa按疲劳强度计算安全系数计算公式为：S=1/(Ka/m)S=1/(Ka/m)将综合影响系数、上两步解得的弯曲应力幅 a、平均弯曲应力 m、扭转应力幅 a、平均扭转应力 m与说明书第三部分所查得的 1、1带入对应公式中，得：S=268/(1

16、.8114.8/0.940.840.340)=7.90S=155/(1.601.36/0.940.780.211.36)=47.6综合安全系数Sca=SS/(S2S2)1/2=7.9047.6/(7.90247.62)1/2=7.7910抗弯模量计算结果W=6292mm3抗扭模量计算结果W3T=13592mm弯曲应力计算结果a=14.8MPam=0MPa扭转应力计算结果a=1.36MPam=1.36MPa安全系数计算结果S=7.90S=47.6Sca=7.792、计算机械设计大作业轴系部件设计计算截面处的安全系数综合影响系数表，如下：有效应力集中系数K=1.58Kr=1.40绝对尺寸系数=0.

17、88r=0.81加工表面的表面质量系数=0.94应力总弯曲=0.34数扭转r=0.21表 4 综合影响系数计算抗弯模量与抗扭模量计算公式：W=d3/32WT=d3/16将查表查得的 d 值代入公式中，得：抗弯模量W=3.14403/32=6400mm3抗扭模量WT=3.14403/16=12800mm3计算弯曲应力将弯曲应力看成对称循环应力求解，则计算公式为：a=max=M/Wm=0计算 截面对应的计算弯矩计算公式：M=2(MCMB)l/2(L4B/2)/lMB将合成弯矩图中对应值以及轴的结构设计图中对应长度值带入公式中，得：M=2(93342 90000)80/2(78 80/2)/80 9

18、0000=91754.6Nmm将截面对应的计算弯矩 M代入公式中，得：弯曲应力幅a=max=91754.6/6400=14.3MPa平均弯曲应力m=0MPa计算扭转切应力将扭转切应力看作脉动循环应力求解，则计算公式为：a=T/2=T/2WTm=a将 截面处对应的作用扭矩 T 代入公式中，得：扭转应力幅a=36836/212800=1.44MPa平均扭转应力m=1.44MPa按疲劳强度计算安全系数计算公式为：11抗弯模量计算结果W=6400mm3抗扭模量计算结果W3T=12800mm 截面弯矩计算结果M=91754.6Nmm弯曲应力计算结果a=14.3MPam=0MPa扭转应力计算结果a=1.4

19、4MPam=1.44MPaS=机械设计大作业轴系部件设计计算1/(Ka/m)S=1/(Ka/m)将综合影响系数、上两步解得的弯曲应力幅 a、平均弯曲应力 m、扭转应力幅 a、平均扭转应力 m与说明书第三部分所查得的 1、1带入对应公式中，得：S=268/(1.5814.3/0.940.880.340)=9.81S=155/(1.401.44/0.940.780.211.44)=52.5综合安全系数Sca=SS/(S2S2)1/2=9.8152.5/(9.81252.52)1/2=9.643、计算 A1截面处的安全系数综合影响系数表，如下：有效应力集中系数K=1.81Kr=1.60绝对尺寸系数=

20、0.91r=0.89加工表面的表面质量系数=0.94应力总数弯曲=0.34扭转r=0.21表 5 综合影响系数表计算抗弯模量与抗扭模量计算公式：W=d3/32bt(dt)2/2dWT=d3/16bt(dt)2/2d将查表查得的 d、b、t 值代入公式中，得：抗弯模量W=3.14253/3284(254)2/225=1251mm3抗扭模量WT=3.14253/1684(254)2/225=2784mm3计算弯曲应力将弯曲应力看成对称循环应力求解，则计算公式为：a=max=MA1/Wm=0计算 A1截面对应的计算弯矩计算公式：MA1=MC(B带轮/25)/s将合成弯矩图中对应值以及轴的结构设计图中

21、对应长度值带入公式中，得：MA1=90000(50/25)/100=18000N将 A1截面对应的计算弯矩 MA1代入公式中，得：弯曲应力幅a=max=18000/1251=14.4MPa平均弯曲应力m=0MPa计算扭转切应力将扭转切应力看作脉动循环应力求解，则计算公式为：安全系数计算结果12S=9.81S=52.5Sca=9.64抗弯模量计算结果W=1251mm3抗扭模量计算结果W3T=2784mmA1截面弯矩计算结果MA1=18000Nmm弯曲应力计算结果a=14.4MPam=0MPa扭转应力计算结果a=6.62MPam=6.62MPaa=T/2=T/2WT机械设计大作业轴系部件设计计算m

22、=a将 A1截面处对应的作用扭矩 T 代入公式中，得：扭转应力幅a=36836/22784=6.62MPa平均扭转应力m=6.62MPa按疲劳强度计算安全系数计算公式为：S=1/(Ka/m)S=1/(Ka/m)将综合影响系数、上两步解得的弯曲应力幅 a、平均弯曲应力 m、扭转应力幅 a、平均扭转应力 m与说明书第三部分所查得的 1、1带入对应公式中，得：S=268/(1.8114.4/0.940.910.340)=8.80S=155/(1.406.62/0.940.890.216.62)=11.0综合安全系数：Sca=SS/(S2S2)1/2=8.8011.0/(8.80211.02)1/2=

23、6.874、计算 截面处的安全系数综合影响系数表，如下：有效应力集中系数K=2.26Kr=2.14绝对尺寸系数=0.91r=0.89加工表面的表面质量系数=0.94应力总数弯曲=0.34扭转r=0.21表 6 综合影响系数表计算抗弯模量与抗扭模量计算公式：W=d3/32WT=d3/16将查表查得的 d 值代入公式中，得：抗弯模量W=3.14253/32=1562.5mm3抗扭模量WT=3.14253/16=3125mm3计算弯曲应力将弯曲应力看成对称循环应力求解，则计算公式为：a=max=M/Wm=0计算 截面对应的计算弯矩计算公式：M=MCB带轮/2s将合成弯矩图中对应值以及轴的结构设计图中

24、对应长度值带入公式中，得：13安全系数计算结果S=8.80S=11.0Sca=6.87抗弯模量计算结果W=1562.5mm3抗扭模量计算结果WT=3125mm3 截面弯矩计算结果M=22500NmmM=9000050/21机械设计大作业轴系部件设计计算00=22500Nmm将 截面对应的计算弯矩 M代入公式中，得：弯曲应力幅a=max=22500/1562.5=14.4MPa平均弯曲应力m=0MPa计算扭转切应力将扭转切应力看做脉动循环应力求解，则计算公式为：a=T/2=T/2WTm=a将截面处对应的作用扭矩 T 代入公式中，得：扭转应力幅a=36836/23125=5.89MPa平均扭转应力

25、m=5.89MPa按疲劳强度计算安全系数计算公式为：S=1/(Ka/m)S=1/(Ka/m)将综合影响系数、上两步解得的弯曲应力幅 a、平均弯曲应力 m、扭转应力幅 a、平均扭转应力 m与说明书第三部分所查得的 1、1带入对应公式中，得：S=268/(2.2614.4/0.940.910.340)=7.04S=155/(2.045.89/0.940.890.215.89)=9.51综合安全系数Sca=SS/(S2S2)1/2=7.049.51/(7.0429.512)1/2=5.66综上所述：所校核截面的安全系数均大于许用安全系数S=2.0，故轴设计满足安全。六、选择轴承型号，计算轴承寿命六、

26、选择轴承型号，计算轴承寿命6.1 计算轴承所受支反力计算水平支反力在说明书 2.2 中已经求出，其中轴承 b、d 的水平支反力 RbH、RdH的值等于 Rby、Rdy的值，故：RbH=Rby=877.8NRdH=Rdy=1147.2N计算垂直支反力在说明书 2.2 中已经求出，其中轴承 b、d 的垂直支反力 RbV、RdV的值等于 Rbz、Rdz的值，故：RbV=Rbz=212.8NRdV=Rdz=212.8N轴承 b、d 所受的名义支反力14弯曲应力计算结果a=14.4MPam=0MPa扭转应力计算结果a=5.89MPam=5.89MPa安全系数计算结果S=7.04S=9.51Sca=5.6

27、6水平支反力计算结果RbH=877.8NRdH=1147.2N垂直支反力计算结果RbV=212.8NRdV=212.8N机械设计大作业轴系部件设计计算计算公式：R=(RH2RV2)1/2将上面所求得的水平支反力与垂直支反力带入公式中，得：轴承 b 的支反力Rb=(877.8)2212.82 1/2=903.2N轴承 d 的支反力Rd=(1147.22212.82)1/2=1166.8N6.2 计算轴承寿命由于使用的是深沟球轴承，且由说明书第二部分的受力分析得知轴承不受轴向力作用，仅有径向载荷，故：Pb=Rb，Pd=Rd轴承寿命计算公式为：L10h=(106/60n)(ftCr/fpP)根据轴承

28、类型与工作条件，各参数取值分别为：fp=1.5，ft=1.0，=3.0；并且查机械设计课程设计中表 4.6-1(P142)，其中额定动载荷 Cr=22.8kN=22800N将计算出的 b、d 轴承的支反力代入公式中，得：轴承 b 的寿命L10hb=(106/60700)(1.022800/1.5903.2)3=11.3104h轴承 d 的寿命L10hd=(106/60700)(1.022800/1.51166.8)3=5.26104h七、键连接的计算七、键连接的计算校核平键的强度平键的挤压应力计算公式为：p=2T/(dkl)=4T/(dhl)将带轮处平键的尺寸 h=7mm，d=25mm，l=2

29、8mm及所受转矩 T 与齿轮处平键尺寸 h=8mm，d=42mm，l=51mm及所受转矩 T 代入公式中，得：带轮处平键挤压应力 p1=436836/(25728)=35.1MPa，齿轮处平键挤压应力 p2=436836/(42851)=8.60MPa而依据平键工作条件与联接形式，两处平键均为受冲击载荷，且为静联接，故其许用挤压应力p=90MPa将计算所得结果与许用挤压应力进行比较，两处平键的计算应力均小于许用挤压应力，故可判断其强度均合格。八、轴系部件的结构装配图八、轴系部件的结构装配图见附图15名义支反力计算结果Rb=903.2NRd=1166.8N轴承寿命计算结果L410hb=11.31

30、0 hL410hd=5.2610 h平键挤压应力计算结果p1=35.1MPap2=8.60MPa机械设计大作业轴系部件设计计算给几篇经济学人文章，想考研的同学们，你们懂得The scam bustersThe scam busters 反垄断利刃反垄断利刃2012 年12 月20 日 20:56:34Free exchangeFree exchange自由交流自由交流The scam bustersThe scam busters反垄断利刃反垄断利刃How antitrust economists are getting better atHow antitrust economists ar

31、e getting better atspotting cartelsspotting cartels反垄断经济学家如何反垄断经济学家如何更灵敏的更灵敏的察觉垄断利益集团察觉垄断利益集团Dec 15th 2012|from the print edition2012 年 12 月 15 日|印刷版THESE are nervy times for price-fixers.Banks thatallegedly manipulated LIBOR,an interbank interestrate,are awaiting their punishment.At$800 trillion,th

32、e market is the largest ever to have been rigged.Fines to follow that imposed on Barclays in thesummer are expected soon for other rate-fixing banks;this week saw the first arrests connected with theLIBOR scandal.Other cartels also have reason to bejumpy.The LIBOR case provides a good example ofhow

33、competition authorities can use price data toscan markets,quickly spotting even small-scalecollusion.对于价格操纵者来说最近着实令人惶恐不安。那些据称操纵伦敦银行同业拆借利率（London InterbankOffered Rate，简称 LIBOR）的银行正等待着监管机构对它们的惩戒。价值 800 万亿，这是迄今为止被操纵的最大的市场。今夏巴克莱银行受到的了惩罚，紧随其后而来的罚单对其它利率操纵银行来说估计仅有咫尺之遥；本周监管机构逮捕了首批与 LIBOR 丑闻有关的嫌疑人员。其它垄断利益集【

34、1】亦有理由对此感到心神不宁。LIBOR 操纵案为竞争监管当局如何使用价格数据来监察市场提供了一个绝佳的案例，使它们能够迅速地察觉到即便是小范围内的企业串通勾结现象。One way to identify dodgy prices is to use a splendidly16counterintuitivephenomenonknown asBenfords law.In a 1938paper*FrankBenford,aphysicistworking forGeneral Electric,pointed out apattern thatoccurs in largedata se

35、ts.Acrossthousands ofmetrics,including 3,259differentpopulationdistribution sand 741sources of dataon firms costs,he found thatleading digits(for example,the numbers 3and 7 in3,259 and 741,respectively)are notdistributedevenly,as youmight expect.They follow apattern:1 isthe mostcommon and 9the rares

36、t.一个绝好的反机械设计大作业轴系部件设计计算常理现象本福德定律【2】可以用来作为一种辨明定价伎俩的法门。通用电气公司（General Electric）的物理学家弗兰克本福德（Frank Benford）在 1938年发表的一篇论文中指出了一种出现在大量数据集的数字规律。在数以万计的数据度量中，其中包括了3,259个不同的人口分布数据和 741 关于企业成本的数据源，他发现首位数（比如说，数字 3,259 中的 3，741 中的7）并非如人们想象的那样呈均匀分布。首位数遵循这样一个规律：数字 1 出现的频率最高，而数字 9 最低。For an example of why this shou

37、ld be,take animaginary country with a population that doublesevery year,starting at 1m people.After a year with 1as the leading digit,it hits 2m and the leading digitchanges to 2.Fast forward another year and thepopulation is 4m.But this means the leading digits 2and 3 have both passed by in less th

38、an a year,occurring for fewer days than 1.The patterncontinues,with digits 4 to 9 spendingprogressively less time in the lead position.After alittle over three years the countrys population is 10m,so that 1 is the leading digit again,where it stays foranother year.And so on.让我们通过一个例子来阐明原因，假设有一个国家，这个

39、国家的人口总数逐年翻番，以 100 万为人口总数的起始数据。在第一年中，整年人口总数的首位数字都是1，到了第二年人口总数达到了 200 万，而首位数变成了数字 2。很快到了下一年，人口总数变成了 400 万。而这意味着人口总数的首位数字2和3都在不到一年的时间里相继跳过，比首位数字从 1 变成 2 所花费的时间要短。这一规律继续出现，而数字 4 至 9 处在首位的时间依次递减。三年多之后，该国的人口总数变成了 1000万，因此数字 1 又一次成为了首位数，这将会持续又一整年的时间。如此循环往复。Benfords law holds across a wide range of measures

40、,including naturally occurring data like populations(see left-hand chart)and economic data likestockmarket returns.Such patterns can be used totest economic data:if numbers have beenmanipulated to give the appearance of randomness,17the distributionof the digits willalmostcertainly violateBenfordspr

41、edictions.Forensicaccountantshave used thetechnique sincethe 1970s;a2011 articleshowed thatGreekeconomic datastrayed furtherfrom Benforddistributionsthan those ofany othereuro-areacountry.本福德定律适用于广泛的数据测度中，包括像人口总数这样自然发生的数据以及像股市回报这类的经济数据。此类规律可以被用来检测经济数据：如果数据被人为地操控而表现出随机分布的模式，那么数字的分布几乎定会有悖于本福德的预测。法务会计从

42、上世纪七十年代机械设计大作业轴系部件设计计算就开始使用这项技术了；2011 年发表的一篇文章显示：较任何其他欧元区国家而言，希腊的经济数据远远偏出了本福德数字分布规律。The test also works for LIBOR.In a 2011 paper RosaAbrantes-Metz of New York Universitys Stern Schoolof Business and Sofia Villas-Boas and George Judge ofthe University of California,Berkeley,examinedLIBOR data over r

43、olling six-month windows,andfound that LIBOR was far likelier than anotherbenchmark interest rate to depart from Benfordpatterns.A quick Benford test would have pointed toLIBOR anomalies long before one of the colludingbanks chose to own up.这项检测同样也适用于 LIBOR。纽约大学斯特恩商学院（New York Universitys Stern Scho

44、ol of Business）教授罗莎阿布兰特什-梅斯（Rosa Abrantes-Metz）以及加州大学伯克利分校（University of California,Berkeley）教授索菲亚薇拉思-博厄斯（Sofia Villas-Boas）和乔治嘉杰（George Judge）详加分析了 LIBOR 在连续 6 个月的窗口期内的数据，并且发现 LIBOR 悖离本福德规律的可能性远远高于其他基准利率。远在这些相互勾结的银行中的一家选择坦白其存在不法行为之前，快速本福德测试都应当可以指出 LIBOR 数据存在的异常现象。Applying Benfords law is an example

45、 of a pricescreen,a quick test that can help spot marketswherepricing patterns are odd and warrant furtherinvestigation.Although competition authorities wouldideally use detailed information on companies pricesand costs to identify collusion,since the ability to pricefar above cost is one measure of

46、 market power,information on firms costs is hard to come by.Hencethe value of tests that can be run quickly,acrossvarious markets,using just the data at hand.应用本福德定律的价格滤网机制是一个实例，这是一项快速检测方法可以用来检测市场定价模式反常之处并为进一步调查提供明证。由于定价远高于成本的能力是一项衡量市场实力的标准，虽然最为理想的方式是竞争监管当局使用企业价格和成本的详细信息来辨明相18互勾结的不法活动，但是它们却很难获取有关企业成

47、本的信息。因此这种测试的价值在于可以快速地应用于各种类型的市场，且无需额外收集数据。Take thepattern ofprices overtime.In acompetitivemarket,theorysuggests pricesare set close tofirms costs andtrack thosecosts over time.Because costsdiffer between机械设计大作业轴系部件设计计算firms,prices should as well.And since the prices ofinputs are volatile over time,

48、firms selling pricesshould vary over time,too.Cartels change things.Prices rise far above costs,so small cost increases cansimply be absorbed.Once prices are being setcollusively,a cartel may not want to raise themfurther for fear of being caught.And even if a singlecartel member does want to change

49、 prices,agreeingthis with all the others is time-consuming.Colludersdont just raise prices;they tend to smooth them,too.以随时间推移的价格所表现出来的规律为例。在竞争市场中，理论表明商品定价接近企业成本并且具有随时间推移的与成本保持一致的趋势。由于企业间成本各异，那么价格应该也是如此。并且由于企业投入的价格随着时间的推移而起伏不定，企业的售价也应该随着时间的推移而不同。但垄断利益集团改变了这种情况。价格涨幅远高于成本，因此企业完全能够吸收成本小幅度的上升。一旦企业相互勾结起来

50、制定价格，垄断利益集团也许会由于担心被监管机构发觉而不愿意进一步提高价格。而且即便是垄断利益集团中的单一成员意欲改变价格，与所有其它企业就这一点达成协议会耗费大量的时间。相互勾结的企业不仅仅提高价格，它们往往也会平抑价格波动。In a 2006 paper Ms Abrantes-Metz,Luke Froeb ofVanderbilt University,John Geweke of the Universityof Iowa and Christopher Taylor of the Federal TradeCommission used the price of fish sold

51、to Americanmilitary bases in the late 1980s to backtest【3】thetheory.A cartel had stitched up the market for cod,flounder,haddock and perch.When the cartel reigned,the prices of perch were oddly stable.But whenproviders began to compete,prices dropped by 16%and also became choppier,reflecting fluctua

52、tions inwholesale fish prices(see right-hand chart).A newpaper on a generic-medicines cartel in Mexico foundsomething similar.在 2006 年的一篇论文中，阿布兰特什-梅斯教授、范德堡大学（Vanderbilt University）教授卢克弗吕博（LukeFroeb）、爱荷华大学（University of Iowa）教授约翰19葛维克（JohnGeweke）以及美国联邦贸易委员会（FederalTradeCommission）经济学家克里斯托弗泰勒（Christop

53、herTaylor）使用上世纪八十年代末出售给美军基地的鲜鱼价格对该理论进行了回测。当时垄断利益集团垄断操纵了鳕鱼，鲽鱼，黑线鳕鱼和鲈鱼市场。当它们支配市场的时，鲈鱼价格异常的稳定。但是当供应商开始相互竞争的时，价格下跌了 16%并且变得起伏不定，这反映出鲜鱼批发价格的波动（见右图）。一篇研究墨西哥非专利药品制造商垄断利益集团的论文中也出现了类似的情形。CleverCleverwatchdogswatchdogs灵敏的监管机灵敏的监管机机械设计大作业轴系部件设计计算构All this suggests that one way to direct scarceantitrust resourc

54、es is to set up automatic scans ofmarket prices,looking for excess price stability.Watchdogs are already moving in this direction.InItaly a screen applied to pharmacies spotted aproblem with baby-food prices.In America bids forstimulus-funded projects are checked for signs ofcollusion.But like any s

55、tatistical test,scans for pricesthat are too stable can give false positives,implicating firms whose prices are flat for innocentreasons.上述一切都表明：可以通过建立市场价格自动检测机制来监控管理稀缺的反垄断资源，即寻找价格过度稳定的情况。监管机构正朝着这个方向发展。在意大利，应用于审查制药厂家的过滤机制发现了婴儿食物定价方面存在的垄断现象。在美国，监管机会检查经济刺激方案支持项目的竞标，寻找企业勾结迹象。但是正如任何统计统计学检验一样，对过于稳定价格的检测可

56、能会产生误报，将那些基于合法的理由而维持价格平稳的企业也牵连进来。The use of mapping data can refine these tests.In a2012 paper Pim Heijnen and Marco Haan,both ofGroningen University,and Adriaan Soetevent ofAmsterdam University analysed location and pricedata for around 3,300 Dutch petrol stations.Their firststep was to calculate t

57、he distribution of petrol pricesand label the most stable as suspicious.The next stepwas to use location data and maps.If the cause ofsmooth prices was something innocent(lazymanagers,say)then suspect stations should havebeen randomly scattered across the country.But theywerent.Stable pricing patter

58、ns often appeared inclusters,suggesting local collusion.Using data in thisway promises much.The only problem is that as thewatchdogs get better at knowing where to look,cartels are bound to improve at disguising theiractivities.映射数据的运用能够完善这些测试方法。格罗宁根大学20（GroningenUniversity）的皮姆荷简（PimHeijnen）和马克汉（Mar

59、coHaan）与阿姆斯特丹大学（AmsterdamUniversity）的阿德里安苏伊特伊万特（AdriaanSoetevent）在2012 年的一篇论文中分析了荷兰约3,300 家加油站的地理位置数据和价格数据。他们首先计算了汽油价格的分布并且将价格最稳定的加油站标注为有操纵定价嫌疑。接下来他们使用了地理数据和地图。如果平抑价格的原因是合法的（比如说，懒惰的经理），那么有嫌疑的加油站应该是随机分布在全国各地。但事实并非如此。稳定的定价模式常常密集地出现，这表明了当地加油站相互串通起来制定油气的价格。以这种机械设计大作业轴系部件设计计算方式使用数据的前景极为乐观。但唯一的难题是：监管机构发现问

60、题的 道 高了一尺，可垄断利益集团在掩盖行为方面的 魔 也定会高出一丈。Source参考资料The Law of Anomalous Numbers,by Frank Benford,Proceedings of the American Philosophy Society 78,551-572(1938)A Variance Screen for Collusion,by RosaAbrantes-Metz,Luke Froeb,John Geweke,Christopher Taylor,International Journal of IndustrialOrganisation,Vo

61、lume 24,Issue 3,May 2006,Pages467486Tracking the Libor Rate,by Rosa Abrantes-Metz,Sofia Villas-Boas,and George Judge,AppliedEconomics Letters(2011)Fact and Fiction in EU-Governmental Economic Data,by Bernhard Rauch,Max Gttsche,Gernot Brhler andStefan Engel,German Economic Review,Volume 12,Issue 3,pages 243255Screening for Collusion:A Spatial StatisticsApproach,by Pim Heijnen,Marco Haany and AdriaanSoeteventz,Tinbergen Institute Discussion Papers(2012)Mexican Experience in Screens for Bid-Rigging,Carlos Mena-Labarthe,CPI Antitrust Chronicle(2012)21