第四章__杆件的变形__简单超静定问题

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1、第四章 杆件的变形 简单超静定问题一、基本要求1. 熟练掌握拉（压）杆变形计算2. 熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3. 掌握积分法求梁的弯曲变形4. 熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5. 理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6. 了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算 二、内容提要1. 拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为M,M = 11 -1，式中l、l分别为变形前、后杆的长度。形，当杆的应力不超过材料的比例极限时， 即Al = Fn l EA(4.1)可以应用胡克定律计算杆的轴向变图4.1式中，EA称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力Fn为

2、正时，/为正，即伸 长变形；轴力fn为负时，/为负，即缩短变形。公式（4.1）的适用条件：（1）材料在线弹性范围，即cc ；p（2）在长度l内，Fn，E，A均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化 时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即当FnAl = E 1 EA i=1 i iA沿杆轴线连续变化时，式(4.2)化为F (x认Al = Jo EA(x)(4.2)(4.3)2 .拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能 确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协 调关系与

3、力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立 求解，可得到全部未知力。解题步骤：(1) 画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；(2) 根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；(3) 将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；(4) 联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：(1) 各杆的内力按其刚度分配；(2) 温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3. 圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题1，变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为l 的两个横截面的相对扭转角为MeM

4、e中=VGr*即)(4.4)若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为L昧中=G即)(4.5)P图4.2式中GIp称为圆轴的抗扭刚度。显然，中的正负号与扭矩正负号相同。公式(4.4)的适用条件：(1) 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即tt ；P(2) 在长度l内，T、G、Ip均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时， 则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即T Tl中= gI(rad)(4.6)当T、Ip沿轴线连续变化时，用式(4.4)计算中。2，刚度条件扭转的刚度条件圆轴最大的单位长度扭转角中皿、不得超过许可的单位长度扭转角L 】，即中= kp J(rad/m) (4.7)p式 p=

5、 ImcX180 IpJ(。/m )(4.8)max GI 兀根据刚度条件可以进行校核刚度、设计截面与确定许可载荷等三类刚度计 算。3，扭转超静定问题定义当杆端的支反力偶矩或横截面上的扭矩仅由平衡方程不能完全确定， 这类问题称为扭转超静定问题。扭转超静定问题的解法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将扭转角与 扭矩间的物理关系代入变形几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求 解，可得全部未知力偶。4. 梁的变形挠曲线近似微分方程及其积分1,挠曲线 挠度与转角在外力作用下，梁的轴线由直线变为光滑连续的弹性曲线，称为挠曲线。在对称弯曲情况下，挠曲线为纵向对称平面内的平面曲图4.3线，其方程为G

6、)梁横截面的形心在垂直于轴线方向的线位移，称 为挠度，用表示。梁横截面相对于原来位置绕 中性轴转过的角度，称为截面转角，用9表示。 小变形时，有在图4.3所示坐标系中，向上的挠度和反时针的转角为正，反之为负。2, 挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系EI对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得1 _ M (x)T EI(4.9)利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 .M (x ) OEI将上式积分一次得转角方(4.10)9 =jdx + CEI再积分得挠曲线方程=容dxdx + Cx + D(4.11)

7、式中，CD为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时， 积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。挠曲线的某些点上的挠度或转角是已知的，称为边界条件。挠曲线是一条连续光滑的曲线，在其上任意一点，有唯一确定的挠度与转角，称为连续性边界条 件。3, 梁的刚度条件限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条 件，即网 ， p| Ib（4.12）5 .用叠加法求弯曲变形叠加原理 在小变形和线弹性范围内，梁在几种载荷共同作用下任一横截面 的挠度与转角，分别等于每一种载荷单独作用下该截面的挠度与转角的代数和。应用叠加原理的条件小变形与材料在线弹性范围。6 .

8、简单超静定梁梁上未知力的数目超过静力平衡方程数目，仅由平衡方程不能确定全部未知 力，这类梁称为超静定梁。超静定梁的解法与前述拉（压）杆、扭转超静定相同。 具体步骤如下：1，首先判断超静定梁的次数。解除多余约束代之以多余约束力，得到原超 静定梁的相当系统。注意解除多余约束以后的梁应该是静定梁的形式。2,根据相当系统的变形与原超静定梁的变形应该相同，建立变形协调方程。3,将变形与力之间的物理关系代入上述变形协调方程，得补充方程。由补 充方程解出多余约束力。4，由平衡方程求梁上其余的约束反力。然后就可以进行梁的强度与刚度的计算。7. 杆件的应变能1，应变能弹性体在外力作用下，因发生弹性变形而储存在弹

9、 性体内的能量，称为应变能或变形能。用匕或匕表示。2,弹性体的功能原理 在弹性体变形过程中，储存在弹性体内 的应变能匕（或匕）在数值上等于外力所做的功W，即七=W（4.13）图4.43,轴向拉伸或压缩杆件的应变能在线弹性范围内，由功能原理得V = W = 2 FM当杆件的横截面面积A、轴力尸冲为常量时，由胡克定律也=FN，可得NEA(4.14)杆单位体积内的应变能称为应变能密度，用匕表示。线弹性范围内，得V = 2 突 （4.15）4,圆截面直杆扭转应变能 在线弹性范围内，由功能原理得V = W = 2 M 中将M = T与9 =-代入上式得 eGIPV=r 2GIP（4.16）图4.5根据微

10、体内的应变能在数值上等于微体上的内力功，得应变能的密度V : rV = 2 T r（4.17）5,梁的弯曲应变能在线弹性范围内，纯弯曲时，由功能原理得V = W = 2 M 9将M = M与9 =普代入上式得v = M 212 EI（4.18）图4.6横力弯曲时，梁横截面上的弯矩沿轴线变化，此时，对于微段梁应用式（4.18），积分得全梁的弯曲应变能匕，即M 2 (x )dxV = J2 EI（4.19）三、典型例题分析1 () 1 r5 = Cq = - BB + DD.Al工12 sin 60sin 60 JALAa2；in 60=0.79 mm 2 sin 60例2-1设横梁ABCD为刚体

11、。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F=20kN,试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的E=177GPa。解法一解：1.求钢索内的应力以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。列平衡方程E M = 0, AF sin 60 x 0.8 + F sin 60 x 1.6 一 F x 1.2 =解得 Fn = 11.56kN钢索的应力 a = Fn = 15 MPaA2.求C点的垂直位移5C作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。由鸟向钢索作垂线得B点，设BBf。同理昭向钢索作垂线

12、得D点,设DD = Y。则钢索的伸长为也=M 1+也2。由胡克定律AZ = =1L56x3 xl.6= 1.368x 10-3 m = 1.368mm 由图。，得 C 点的垂EA177 x 109 x 76.36 x 10-6直位移5为C解法二 用能量法求解C点的垂直位移 解：1.求钢索内的应力与解法一相同，得Fn = 11.56 kNa = n = 151MPaA2.求C点的垂直位移5C由弹性体的功能原理七=W，即=0.79 x 10 -3 mF：l _(11.56x 103)2 x 1.6EAF 177 x 109 x 76.36 x 10-6 x 20 x 103例2-2图示杆系的两杆均

13、为钢杆，E=200GPa，a = 12.5x 10一61/。C。两杆 的横截面积同为A=10cm2。若BC杆的温度降低20C，而BD的温度不变，试求 两杆的应力。解：设杆1受拉力，杆2受压力。以节点B为研究对象，受力如图b所示。 因B点的未知力有三个，而平衡方程仅有两个，故为一次超静定问题。列平衡方 程Z F = 0,FNCOS30。 Fn2 = 0(1)作结构的变形位移图如图c所示。图中Al为温度引起的变形，M为F引 t1 N1起的变形，Al2为Fn2引起的变形。小变形条件下，以切线代替圆弧。变形后B点位移至B1点，即两杆在B1点铰接。由图c得变形协调方程Al cos 30。= Al Al(

14、2)物理方程为也 /. cos30。，/ = Fni 1 COS30,也=Mt i i EA 2 EA（3）式中AT为温度改变量。将式（3）代入式（2）,得补充方程n2 COS 300 = a ATiEA l：cos30o-EA cos 30o（4） 联立求解式（1）与式（4），得F = a iAT EA , F = F cos30oN1COS3 30O +1N2 N1杆 1b = FN1 = aiATE = 30.3MPa（拉应力）1 ACOS3 300 +1F 杆 2b =t =b cos30o = 26.2MPa （压应力）2 A 1例2-3传动轴的转速乃= 500r/min,主动轮1输

15、入功率为P372.8kW，从 动轮 2、3 分别输出功率 P2=149.1kW, P3=223.7kW。已知t = 70MPa, 。 = 1 /m, G=80GPa。（1）确定AB段的直径d1和BC段的直径d2； （2）若AB和BC两段选用同一直 径，试确定直径d； （3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理？500 t 400 一4272N.m7120N.m ,解：1.确定d1和d21）求外力偶矩e1 n500M = 9549 P1 = 9549x 372,8 = 7120N.mPPM = 9549 = 2848 N.m, M = 9549 = 4272 N.m,2）作轴的扭矩图，如图b所示。

16、3）按强度条件设计直径T= max 3 16 X 7120 = 80.3 x 10-3 m = 80.3mm i 3&x 70 x 106BC 段d 16 X 4272 = 67.7 x 10-3 m = 67.7 mm23 兀 X 70 X1064）按刚度条件设计直径，=二 x 孩 v&, I 卫 max GI 冗P 327：32T x 180。d fGTWAB段d 4， 32 x 7120 x 180。= 84.9 x 10-3 m = 84.9 mm14 80 x 109 x兀 2 x 1。32 x 4272 x 180。BC 段d _101。= 74.7 x 10-3 m = 74.7

17、 mm经比较，取 d = 85 mm , d = 75 mm2. 若AB和BC两段选用同一直径，则d = 85mm。3. 若将主动轮放在两从动轮之间，则|T|= 4272N.m ,有利于提高轴的强max度和刚度，故较合理。例2-4试用叠加法求图示梁A截 面的挠度与B截面的转角。EI为已知。解：将梁的载荷分为两种载荷，单 独作用的情况如图3）与（c）所示。1）在qa单独作用时，图（b）所示， 查表4.1可得, qa （qa ）2 qa 30 =b 16 EI4 EIwA=时Bqa 44EI2）在均布载荷q单独作用时，图（c）所示，为求时与w，可利用图（d） B A与（e）两种情况，即分别考虑AB

18、段与BC段的变形。由图（e），查表4.1得1c-qa2-2a。，=-竺b3EI3EI由图（d）、（e）两种情况，应用叠加法，得qa 4 qa 3_ 11qa 4w 8EI 3EI a_ 24EI3）在两种载荷共同作用下，应用叠加法得=Q，十 Q = qa 3qa 3 = qa 3B B B 4EZ 司12 EIqa411qa4 _ 5qa4Wa Wa Wa 4EI24 EI 24 EI例2-5图示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度同为EI = 24x 106 N.m2，由钢杆CD 连接。CD 杆的长 /=5m，横截面面积 A = 3 x 10-4 m2, E=200GPa。若 F=50kN， 试求悬臂梁AD在D点的挠度。w - w = AZ_ F X 233政（2）由胡克定律，得/ =F lEA（3）为求图b中BE梁C点的挠度，将F等效平移至C点，如图c所示，这样 做并不改变BC段的边界条件与受力，故有（F - F ）x 23 F x 2 x 22W = N+c 3EI2 EI（4）将式（2）、（3）与（4）代入式（1），得补充方程8（F - F、）4F 8FF l3EI 卜EI 蜀EA（5）由式（5）解得Fn = 0.91FF X 233EI=5.05 x 10-3 m = 5.05mm0.91 x 50 x 103 x 83 x 24 x 106返回