第一章线性空间与线性映射1

《第一章线性空间与线性映射1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章线性空间与线性映射1（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第一章 线性空间与线性映射线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的 性质、线性映射与矩阵的关系等。1.1数 域定义1设F是至少包含两个数的数集，如果Va, b g F均有 aa 土 b,ab ,-（b。0） g F，则称 F 是数域。 b例1全体实数构成实数域，记为R。全体复数构成复数域，记为C。全体有 理数构成有理数域，记为Q。例2全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。例3设F = a + T2b I a g Q,b g Q，证明F是数域。证明 V以,P g F，则3a ,b，- ,b gQ，使得a = a +t2b,。= a +侦2b，易证11221122a 土

2、p ,ap例4证明任何数域F都包含有理数域。证明因为F中至少包含两个不同元素，所以3a g F,a。0，由运算的封闭性a矢口 - = 1 g F，1 +1 = 2, 1 + 2 = 3 g F, 1 -2 = 1,1 3 = 2 g F，所以 F 包含 a尤aij i=1 j=1了全体整数，又由除法封闭性知.F包含有理数域。.=E aijj=1 i=11.2 线性空间在线性代数中Rn是n维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空 间。定义1设V是一个非空集合，F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V关于加法封闭，即Vx, y g V,有唯一的x + y g V。在F与

3、V之间定义一种运算称之为数乘，即V F,X e V有唯一确定的o = XX e V与之 对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V为数域F上的线性空间， V中元素也称为V中的向量，也记V= V(F)。1. X + y = y + xVx, y e V2. (x + y) + z = x + (y + z)Vx, y, z e V3. 30 e V使x + 0 = x, Vx e V，称0为零元素，也记为0。4. Vx e V,3y e V，使x + y =0 (记 y = x)5.(人+ p) x = X x +p xVX, pe FVx e V6. X ( x + y) = Xx +

4、 XyVX e FVx, ye V7. X(px) = (Xp)xVX, pe FVx e V8. 1x = x Vx e V例1设F为数域，则Fn = a a a t | a ,a , ,a e F按通常的n维向量加 1 2 n 12 n法与数乘，不难证明Fn为F上的向量空间。例2记 E 为数域F上的m X n矩阵的全体，按通常的矩阵加法与数乘构成F上的向量空间，其中0 = O。例3 Ca,b为区间a,b上一切一元连续实函数，按通常的实函数加法和数 乘，构成了实数域R上的线性空间，其中0 = 0。例4 Px孔为不超过n 1次的实多项式及零多项式的全体，是实数域R上线 性空间。例5复数域C是实

5、数域R上的线性空间，而R却不是C上的线性空间.以下为线性空间的简单性质。性质1线性空间V(F)中零元素唯一。证明 设有零元素0 ,0 e V(F)，则0 =0 +0 =0。121122性质2 Vx e V(F),3y e V(F)使得x + y =0，则y唯一，称为X的负元素。证明 设 x + y.=0, x + y2 =0，则y = y +9 = y + (x + y )1112=(LW + y2 =9+ y2 = y2性质 3 0x = 9,(一人)x = 一人x,人9 =9证明 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x，所以 0x = 9 。因为人x + (一人)x =人+ (人)

6、x = 0x = 9，所以(一人)x = 一人x。因为Xx + X9=X(x+9) = Xx，所以人9 =9。性质 4 若 Xx = 9 其中 X g F, x g V (F)，贝U X = 0 或 x = 9。证明 若X = 0命题显然成立，不妨设日0，则11八 八x = (X x) = 9=9 XX定义2设W u V(F)，若W在数域F上也是线性空间，则称W(F)为V(F)的子空间(按原来的两种运算)。若W是线性空间V的非空子集，则在线性空间定义的八个条件中除3,4条外，W显然满足其余条件。而如果封闭性满足了，3,4条就成立了。这是因为Vx, y g W, x + y g W, Xx g

7、W(VX g F)，则0x =9 g W, 一x = (-1)xg W，因此有下面的定理。定理1设V(F)是线性空间，W为V的非空子集，按原来的两种运算W是线性空间。W按原来两种运算封闭。例6数域F上的阶对称阵的全体构成了 Fg的一个子空间。定义3设气,a2,.,气是数域F上的线性空间V中的向量，则不难证明a ,a，,a的线性组合的全体构成了 V的一个子空间，记为L(a ,a，,a )或12?12tspana ,a , ,a ，称为a ,a，,a生成或张成子空间。12t12t零向量集合及V本身都是的V子空间，称为平凡子空间。若W是V的子空间， 且不是平凡子空间，则称W是V的真子空间。1.3 线

8、性空间的基与Rn中一样，我们在V(F)中也要讨论线性相关性及向量组的秩和极大无关 组，向量组的等价性，线性空间和线性子空间的基底，维数以及向量在一组基下 的坐标及相关性质。一、线性空间的基定义 1 设 X g V(F), a g F i = 1,2, , m，若x = a x + a x + + a x1 12 2m m则称x可由x ,x , ,x线性表示，或称x为x ,x , ,x的线性组合。12 m12 m定义2设A: xx , ,x , B: y ,y , ,y是线性空间V(F)中的两个向量组，12 m12 s如果A中的任一个向量可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性 表示。

9、如果向量组A与B可以互相线性表示，则称向量组A与B等价。定义3设x ,x , ,x g V(F)，如果存在一组不全为0的常数a ,a , , a g F12m12m使 a x + + a x =011mm 则称向量组x1, x2,xm线性相关，否则称x1, x2,xm线性无关。定义4设x ,x , ,x是V(F)中的向量组，如果x ,x , ,x中有r个向量线性12 m12 m无关，而所有的r +1个向量(如果有的话)都线性相关，.则称此r个向量为向量组x , x , , x的极大无关组，称r为向量组x , x , , x的秩，记为12 m12 mrankxx； ,乂皿。规定只含零向量的向量组

10、秩为零。与时类似，在线性空间V(F)中下列命题成立：命题1设m 2，则V(F)中向量组x ,x , ,x线性相关o其中有某个向量12 m可由其余的向量线性表示。.命题2若V(F)中向量组的某一子向量组线性相关，则该向量组线性相关。命题3若V(F)中向量组x1，%, ,xm线性无关，则其任意非空子向量组也线 性无关。.命题4设x g V(F)，则x线性无关o x赢。命题5设x , x , , x , y g V(F)，若x , x , , x线性无关，x , x , , x , y线性12 m12 m12 m相关，则y可由x1,x； ,x唯一线性表示。定义5线性空间V中的向量x ,x , ,x称

11、为V的基向量组或基(底)，如果12 n有1. x , x , , x线性无关;12 n2. V(F)中任一向量可由x ,x , ,x线性表示。12 n称n为V的维数，记dimV = n。.如果对Vn均可在V (F)中找到n个线性无关的向量，则称V (F)为无限维的向 量空间(例如实数域上全体多项式的集合)。只含零向量的线性空间维数规定为 0。命题6若x ,x , ,x为线性空间V(F)的基，则Vx e V(F)，x可由x ,x , ,x12 n12 n唯一线性表示。.命题7若x ,x ,x为线性空间V(F)的基，则V(F) = Lx ,x , ,x 。定义6设xx2,12 n12n,x为V(F

12、)的基，则Vx e V(F)，有唯一的表达式 nx =完 a x = x , xi=1aia2a 1a,a或2为x在基x ,x , ,x下的坐标。n :12 n注：基不唯一，例如在R n中0,。2=!e=1，e；都是R的基。称为R n和C n的自然基底。1P X = f (X )1 f (X) =a + a x + + a Xn-i, a , a , , a g R，n0 in-i0 in-i,Xn-i为PX的基。注：n次多项式的全体不构成线性空间，因为不封闭。1, X, X 2,二、基与基的关系，向量在两组基下的坐标关系定义7设V(F)的两组基为 , , ,和i 2 n,：，令i2 n： =

13、 a ta +i ii i i2 2+ a ni n： = a + a +n in !, . 2n 2 ：,：, ,： =【 , , , i2 n i2 naiiaina 一L - n1a nn：, ：, , ： =, 2,aiiaina .L nia nn为由基2,命题8基底过渡矩阵A-可逆。证明因为：,：,i2,到：,；, ,的过渡矩阵。点线性无关，所以 n,:XiX2只有零解，即i， 2,Ax = 0只有零解。又因为81,8 , ,8线性无关，所以Ax 0，即Ax 0只有零解，所以A2n可逆。A-1为由基8, 8,12,8到8 ,8 , ,8的过渡矩阵，这是因为 n 12 n8,8,8

14、A-1 8 ,8 , ,8 12 n12 n定理1设8i，82,和8,8, , 8是V的两组基，且A为由8 , 8 , , 8到12 n12,8的过渡矩阵， nV中向量x在基8 , 8 , , 8和8, 8, 8下的坐标分别2 n 12 na 1 af1 a为a与aa，则nn8i，8 2，a 1 a2A#11 a：-LaLann,8 A , n证明8, 8, , 8-12 n-81,8 2,aia2x a8f +11+ a8 nn82,8 2,ana1 a2anaa2=81,82,因为8 ,8 , ,8线性无关，故12 naa11aa:2=A2a 一a，_nn一1 一0一8 =1,8 =1,8

15、 =0102131一008=1,8=1,8=011213_1 _是R3两个基，求由8 ,8 ,8到矿L,L的过渡矩阵。1231238= !(8 +8 +8 )121237解由于8283=821,、=2(-8 +8 +8 )所以-012【8, 8, 8=12381,82, A-1121L 2-01220 -1 2A=1212120 2在上例中，由于8 ,8 ,8和8,8,8构成方阵，所以也有123123【8,8,8= 8 ,8 ,8 A123123A = , , -1矿8,， =12312121212例3证明dim Rmxn =mn。证明 用七表示Rmxn中i, j位置是1其余都是0的矩阵，i

16、= 1,2,m ,j -1,2, , n。即Eij = Un，ekl =1 k i, l j0其它因为对任意A (a ) e Rmxn，有A - a E + a E + + a E11 1112 121n 1n+a21 E21 + a22 E2 9 + a2 E2+a E + a E + + a E m1 m1m 2 m 2mn mn-芯a&i=1 j=1且E ,E , ,E , ,E线性无关，所以11121nmnE , E , , E , E , E , , E11 121n2122mn是Rmxn的基，且dim R mxn mn例 4 在 P x 3 中取定两组基 I： x2, x,1,ll

17、： 2,( x + 1)2,( x -1)2，求由 I 到II 的过渡矩阵，并求f (x) - 2x2 + 8x-2在两组基下的坐标。2 - 2解(x + 1)2 - x2 + 2x + 1,故得(x - 1)2 - x 2 - 2 x + 10 112,( X +1)2,( X -1)2 = X2, x,1 0 2 22 11所以由I到II的过渡矩阵-0 11A = 0 2 -22 11故-2 _f(x) = 2x2 + 8x 2 = x2,x,1 8_-2 _-2 _得f (x)在基x2, x,1下的坐标为8 。_-2 _-2 _f(x) = 2x2 + 8x-2 = x2,x,1 8-2

18、-0 11 -1-2 -2,( x + 1)2,( x 1)20 2 282 1 12-2=2,( x +1)2,( x 1)2 3_-1_-2 一得f (x)在基2,( x +1)2,( x 1)2下的坐标为3 。_-1_注：上式f (x)在基2,( x + 1)2,( x 1)2下的坐标也可用定理1得到。1.4线性子空间的相关结论在1.2中我们已经知道线性空间V(F)的非空子集W是V的子空间。W按 原来两种运算封闭。下面讨论子空间之间的运算关系、维数定理等。一、子空间的维数定理 1 设 X e V(F), i = 1,2, , m 则dimspanx ,x , ,x = rankx ,x

19、, ,x 12 m12 m证明 若XX2, , Xm都是零向量，则命题显然。若X , X , , X不全为零，不妨设X , X , , X是向量组X , X , ,X的极大无关12 m12 r12 m组，则X , X , , X中任意一个向量可由 X , X , , X唯一线性表示。因为12 m12 rspanx , x , , X，中任意一个向量可由x , X *； , x线性表示，所以12 m12 mspanx ,x，,x 中任意一个向量可由x ,x , ,x线性表示，故x ,x , ,x是12 m12 r12 rspanxX2,一,x 的基，由此得dimspan x , x , , x

20、= r = rankx , x , , x 12 m12 m例 1 求 dimspan x , x , x , x ，其中1234一1 0 1 一X =，X =1_ 0 0 _2_ 0 1_一1 0 1 1 一X =一，X 30 140 1解 令k x + k x + k x =0， k ,k ,k e R，即112233123k1 +3= 0 k + k = 0 n k = k = k = 0，12123k + k = 023所以X , X , X线性无关，又因为X =- (X + X + X )，故X , X , X为向量组X , X , X , X123421231 2 31234的极大

21、无关组(也是spanx ,x ,x ,x 的基)，所以1234dim s p xn X X X =,r a n-k x , x , x= 312341234由向量组生成空间定义与向量组等价性，不难得到下面结论。定理2 spanx ,x , ,x = spany , y , , y 充分必要条件是向量组 12 m12sX ,X*技，X与y , y , , y等价 12 m 12s定义 1 设 A e Fmxn，称 R(A) = y I y = Ax, x e Fn为 A 的值域。显然 Vy , y e R(A), Bx , x e Fn，使得 y = Ax , y = Ax，故 12121122

22、y + y = A(x + x ) e R (A) 1212且Vk e F有ky - A(kx ) e R(A)所以R (A)是Fm的子空间。定义2设A e Fmxn, N(A) - x I Ax = 0 ,x e Fn，不难证明N(A)为Fn的子空间。称N(A)为A核空间或化零子空间。定义3设A e Cnxn，人为A的特征值，V - x I Ax-人x,x e Cn，不难证明V 人入为Cn的子空间。称*为A的对应特征值人的特征子空间。显然特征于空间V为A对应于特征值人的特征向量和零向量的全体。定理 3 设 A-。2 a e Fm.n，则(1) R(A) - spanEay,a2, ,a ；(

23、2) dimR(A) - rankA ；(3) dimR(A) + dimN(A) - n。证明(1)R(A) y I y - Ax, x e Fn-y I y - a a a x, x e Fn-y I y - xa + xa + + x a ,x ,x , ,x t - x e Fn 1 12 2n n 12 n-span*, a2, , a。(2) 由(1)R(A)-spana1,a2, ,a ，再由定理 1 得dimspana ,a , ,a = Tanka ,a , ,a = rankA故.dim R(A) - rankA(3) N(A)即为方程组Ax -Q的解空间，所以dimN(A

24、) = n-rankA，由(2)得dim N (A) n - rank( A)即dim R (A) + dim N (A) - n由定理3的(1)，也称R(A)为A的列空间。例 2 设 A e Fmxp,B e F”n，证明rank( AB) minrankA,rankB证明因为Vy e R(AB)，3x e Fn，使得y - ABx - A(Bx)( Bx e Fp)所以 y e R(A)，R(AB) u R(A)，故dim R ( AB ) dim R ( A)由定理3有rank( AB ) rankA同理R(BtAt ) u R(Bt ) n rank(BtAt ) rankBr而ran

25、k(BtAt ) - rank(AB)t - rank(AB)，rankBT - rankB所以rank( AB ) rankB综上所述得rank( AB) minrankA,rankB定理4 (基扩充定理)设W是n维线性空间V的子空间，气，am是W的基，则,% ,a可以扩充为V的基。证明 如果Va 1 e V，, a2, , a, a 1线性相关，则Va 1 e V，a 1可由a,a , ,a线性表示，即得a ,a , ,a是V(F)的基，且n - m。12m12m如果3a e V ,使得a ,a , ,a,a 线性无关，则La ,a , ,a ,a 是V1 2m m+11 2m m+1m+

26、1的子空间，a, a , , a , a 是La , a , , a , a 的基。由于n为有限数，重复1 2m m+11 2m m+1以上过程，即可得到V的基。二、子空间的和与交及维数定理定义4设V,V都是V的子空间，称12VV = x I x e V,x e V 1 1 1 212为于空间匕,v的交；称V + V - z I z - x + y,x e V, y e V 1212为于空间V,V的和，若VV = 0 ，则称V + V为直和，记为121 1 1 212定理5设匕,都是V的子空间，则匕n V，匕+V都是V的子空间(分别称为交空间与和空间)。证明设V是数域F上的线性空间，贝U Vx

27、, y e VV，有x e V, x e V，1 1 1 212y e V, y e V，因为V, V是V的子空间， 112所以Xx e V, Xx e V, 有人 x e VQV1 I I 2所以匕n匕是v的子空间。V x, y e匕+匕，由于空间和的定义，3x e V, x e V , y e V, y e V，使得11221122x = x + x , y = y + y 1212所以x + y = (x + y ) + (x + y ) e V + V112212而V人e F人 x = Xx +人x eV+V所以匕+匕是V的子空间。这里我们要强调的是V的子空间匕,V2的并匕u匕不一定是

28、V的子空间，例如取 E e R2x2,E e R2x2,则 V = span E )V = spaE(是V 的子空间，但是112211 1222E , E e VJV，而E + E史VjV，所以VjV不是线性空间。11221211221212例 3 设 x , x e R2， x , x 不平行，则 R2 = L(x ) L(x )。121212在线性空间中，由于向量加法的结合律、交换律成立，所以于空间和的结合律、交换律成立，这就是说V的子空间V,V , ,V的和可以记为 12 s匕 + v+ + v直和可以记为匕VV例4在R3中，x轴向量集合X，y轴向量集合r和z轴向量集合Z都是R3的 于空

29、间，且R3 = XYZ。定理6设x ,x , ,x，y ,y , ,y是线性空间V(F)中的向量，生成于空间12 m 12 sV = L(x ,x , ,x*)V = L( y , y , , y )212 s则.V + V = L(x , x , , x , y , y , , y )1212 m 12 s证明 Va e V + V，3P e V,3y e V，使得a = p+y，因为p 可由 x ,x , ,x121212 m线性表示，y可由yy2，,七线性表示，所以a = p+y可由x ；x , x , y , y , , y12m12s线性表示，即a L(x , x , , x , y

30、 , y , , y )12 m 12 s所以.v + V u L (x , x , , x , y , y , , y )1212 m 12 s反之 Vw L(x , x , , x , y , y , , y )，有12 m12s=k x + k x + k x +1 y +1 y + +1 y1122mm 1122ss其中 k ,k , k ,t,t , ,t F 。12 m 1 2 s因为 k x + k x + + k x V1122mm 1t y +1 y + . +1 y V1122ss 2故W匕+ %,即L(x , x , , x , y , y , , y ) u V + V

31、12 m 12 s 12所以.V + V = L(x , x , , x , y , y , , y )1212 m 12 s定理7设匕,匕都是n维线性空间V（F）的子空间，则下列命题等价。(1) V + V是直和;（2）匕+匕中任一向量表达式唯一，即若匕，x2 匕x V + V 且 x = x + x121则xx2由x唯一确定;是v 1的基， y2；,ys是匕的基，则,x , y , y ,m12是匕+匕的基;（4）dim V + dim V=dim(匕 + V)。证明n：设匕+ V是直和，则匕门V2 =加。设z G V + V , z - u + u , z - V + V , u , V

32、 G V , u , V G V121212111222所以 u - V = V - u G V，又因为 u - V G V，所以 u - V G V OV，即 u - V =0 ,11222111111211所以u = V。同理，u = V，故z的表达式唯1122n：由定理6知V + V = L(x , x , , x , y , y , , y )1212 m 12 s只要证明x ,x , ,x , y , y , , y线性无关即可知口定理成立。令12 m12sk x + k x*平 + k x +1 y +1 y + +1 y =01122mm 1122ss其中 k ,k , k ,t

33、,t , ,t g F L12 m 1 2 s因为0gV + V，所以0的表达式唯一，即0=0+0，所以 1k x + k x + + k x =01122mmt y +1 y +1 y =01122ss由已知x1? x ,x线性无关，y , y , y ,线性无关，得12sk = k = k =t = t = = t = 012m 12s所以x1，x2,x , y , y ,m12,y,线性无关，即是匕+v的基。n (4):显然。(4) n :设 dn V +n Vd=V) +V , x , x , , x 是 V 的基，y , y , , y1212 m 112 s是V2的基。用反证法，假

34、设匕nV 0 ，则3aG匕nV2,a湘，所以存在不全为零的 k1,k2, ,y F 使得a = k x + k x + + k x1122mm存在不全为零的t,t , ,t eF使得a = t y +1 y + +1 y1122ss故有+ k x -1 y -1 y - -1 y =0mm 1122ss所以X, x2,x , y , y , , y 线性相关。由定理6得 m 12sV + V = L(x , x , , x , y , y , , y )1212 m 12 s又由x ,x , ,x , y , y , , y线性相关得12m12sdim(V 干 V ) = dim L(x ,

35、x ,1212,x , y , y ,m12dim(V + V ) dim V + dim V1212矛盾，故匕n V=0，即匕+匕是直和。定理8(子空间维数定理)设V,V都是n维线性空间V(F)的子空间，则12dim V + dim V = dim(V + V ) + dim(V V )12121 1 1 2证明设dim匕=m，dimV = s，dim(匕门V2) = r，只要证明dim(V + V ) = m + s - r即可。若r = 0，则匕nV2= 0，即匕+ V是直和，由定理7命题已证。若r主0，设z , z , , z是Vp|V的基。由基的扩充定理(定理4)，将z , z ,

36、, z 12 r 1 1 1 212 r扩充为V的基 1z , z , , z , x , x , , x1 2 r r+1r+2m将z , z , , z扩充为V的基 12 r2z , z , , z , y , y , , y1 2 r r + 1r + 2s下证 z , z , , z , x , x , , x , y ；y , , y 是 V+V 的基。令1 2r r+1 r+2m r+1r+2s 12k z + k z + k z +k x + k x +1 12 2r r+r 1 廿 1 +r 2 +r 2+ mH*+叽+七2九2+匕皆其中 k , k , , k , k , k

37、 ，二 k , t , t , , t e F，贝 lj 12r r+1r+2m r+1 r+2 sI+1 41+ tr+2 + Q =-(k z + k z + + k z + k x + k x + + k x ) e V1 12 2r rr + r+1 r + r + 22 m m所以.t+1 r+1 + t+2 4 2 + + s G 5 匕所以引,l , ,l e F，使得1 2 rt y +1 y + +1 y = l z +1 z + +1 zr + 1 r + 1r+2 r+2ss1 12 2rr因为z ,z ,z , y , y ,y线性无关，所以 12rr + 1r + 2

38、s.t = t :=t =仕主 = =l 0(2)r + 1r+ 2s12r代入(1)中，得 k z + k z + k z + k x+k x + k x =01 12 2r rr+1 r+1r+2 r+2m m又因为z ,z , ,z ,x ,x广，x线性无关及(2),得 1 2r r +1 r+ 2mk = k = = k = k = k = = k = t = t = = t = 012rr+1r+2mr+1r+2s所以z ,z , ,z ,x ,x , ,x , y , y ，,y线性无关。 1 2r r +1 r+ 2m r +1 r + 2s由定理6知 .V + V = L (z

39、 , z , , z , x , x , , x , z , z , , z , y , y , , y )1 21 2 r r+1 r+2m 1 2 r r+1 r+2s=L( z , z；. ,z ,x ,x,x ，厂,y, y )1 2 r + 1 + 2 m +r 1 +r 2s所以.z , z , , z , x , x , , x , y , y , , y 1 2r r +1 r+ 2m r +1 r + 2s是匕+匕的基，故dim(V + V ) = m + s - r即dim V + dim V = dim(V + V ) + dim(V V )12121 1 1 2推论1设

40、匕是n维线性空间V(F)的子空间，则存在V(F)的另一个子空间V2,证明 若匕是V的平凡于空间，则命题显然。若V是V的真子空间，设1x , x , ,x是V的基，12 m 1则 V = L(x,x2, ,x )。由基的扩充定理，将气,x2, , xm扩充为V的基令 V = L( x2m+1,七），所以由定理6得V + V = L(x , x , , x , x1212 m m+1所以dim(V + V ) = dim L(x , x , , x , x , , x ) = n121 2 m m+1n由基的维数定理得dim(匕 n V) = 0推论2设气,x2, , xn是n维线性空间V的基，则V .三 L(x ) L(x ) L(x )12n证明由推论1易得。.这里需要指出的是线性空间分解为两个子空间的直和并不唯一，例如R 2 = L(a) L( P) = L(a) L顿)=L(P) L(y)其中a =