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1、等差数列的前n项和例题解析一、 等差数列前n项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+.an-1+an也可写成Sn=an+an-1+.a2+a1两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+.(an+a1) =n(a1+an)所以Sn=n（a1+an）/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+ n(n+1)d/2（公式二）二、对于等差数列前n项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项解 依题意，得解得a1=113，d=22 其通项公式为an=113
2、(n1)(22)=22n135a6=2261353说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d，再求其他的这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d，也可以不必求出an而即a63可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例2】 在两个等差数列2，5，8，197与2，7，12，197中，求它们相同项的和解 由已知，第一个数列的通项为an3n1；第二个数列的通项为bN=5N3若ambN，则有3n15N3若满足n为正整数，必须有N3k1(k为非负整数)又25N3197，即1N40，所以N1，4
3、，7，40 n=1，6，11，66 两数列相同项的和为21732197=1393【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，c组成等差数列，且ab5a73bc2500，则a，b，c的值分别为 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9又 145a3b， a1，b3首项为1，公差为2a50=c=1(501)2=99 a1，b3，c99【例4】在1和2之间插入2n个数，组成首项为1、末项为2的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为913，求插入的数的个数解 依题意21(2n21)d由，有(2n1)d=1 共插入10个数【例5】在等差数列an中，设前m项和为Sm，前n项和为S
4、n，且SmSn，mn，求Sm+n且SmSn，mnSm+n0【例6】已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前n项和Tnd，已知S3和S6的值，解方程组可得a1与d，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出Tn来解方程组得：d2，a19an9(n1)(n2)2n11其余各项为负数列an的前n项和为：当n5时，Tnn210n当n6时，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5SnTn2(2550)(n210n)n210n50说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前n项和【例7】在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和解法一由a6a
5、9a12a1534得4a138d3420a1190d5(4a138d)=534=170由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17S20170【例8】已知等差数列an的公差是正数，且a3a7=12，a4a6=4，求它的前20项的和S20的值解法一设等差数列an的公差为d，则d0，由已知可得由，有a124d，代入，有d2=4再由d0，得d2 a1=10最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20180解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即a3a74又a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x24x120的二根解方程可得x1=6，x22 d0 an是递增
6、数列a36，a7=2【例9】等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 2a100a1a199，2b100b1b199解法二 利用数列an为等差数列的充要条件：Snan2bn可设Sn2n2k，Tnn(3n1)k说明 该解法涉及数列an为等差数列的充要条件Sn=an2bn，由k是常数，就不对了【例10】解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大
7、值分析与解答a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350(3)a4a6a15a17=50又因它们的下标有417615=21a4a17=a6a15=25(4)an=333n a130nN，当n=10或n=11时，Sn取最大值165【例11】求证：前n项和为4n23n的数列是等差数列证 设这个数列的第n项为an，前n项和为Sn当n2时，anSnSn-1an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1当n=1时，a1=S1=43=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有an=8n1又an+1an8(n1)1(8n1)8这个数列是首项为7，公差为8的等
8、差数列说明 这里使用了“an=SnSn-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在n2时成立因为当n1时，Sn-1=S0，而S0是没有定义的所以，解题时，要像上边解答一样，补上n1时的情况【例12】证明：数列an的前n项之和Snan2bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件由Snan2bn，得当n2时，anSnSn-1an2bna(n1)2b(n1)=2nabaa1S1ab对于任何nN，an2naba且anan-1=2na(ba)2(n1)aba2a(常数)an是等差数列若an是等差数列，则Sn=an2bn综上所述，Sn=an2bn是an成等差数列的充要条件说明 由本题的结果，
9、进而可以得到下面的结论：前n项和为Sn=an2bnc的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上，设数列为un，则：【例13】等差数列an的前n项和Snm，前m项和Smn(mn)，求前mn项和Sm+n解法一设an的公差d按题意，则有=(mn)解法二 设SxAx2Bx(xN)，得A(m2n2)B(mn)nmmn A(mn)B=1故A(mn)2B(mn)(mn)即Sm+n(mn)说明 a1，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设Sx=Ax2Bx(xN)【例14】在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为7
10、5，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？解S偶项S奇项=ndnd=9075=15又由a2na127，即(2n1)d=27【例15】在等差数列an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值解法一建立Sn关于n的函数，运用函数思想，求最大值a1=25，S17S9 解得d2当n=13时，Sn最大，最大值S13169解法二 因为a1=250，d20，所以数列an是递减等a125，S9S17an=25(n1)(2)=2n27即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S13=169解法三 利用S9=S17寻找相邻项的关系由题意S9=S17得a10a11a12a17=0而a10a17=a11a16=a12a15=a13a14a13a140，a13=a14a130，a140S13=169最大解法四 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的nan是等差数列可设SnAn2Bn二次函数y=Ax2Bx的图像过原点，如图321所示S9S17，取n=13时，S13169最大
等差数列的前n项和公式推导及例题解析
