几何与代数：lec13-n维向量空间

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1、线性代数的主要内容线性代数的主要内容线性方程组线性方程组Axb 向量组向量组的性质的性质矩阵的性矩阵的性质和运算质和运算 一个方程对应一个向量一个方程对应一个向量再学再学向量组构成矩阵向量组构成矩阵再学再学教学内容和学时分配教学内容和学时分配42221 向向 量量 解析几何解析几何(n 3)线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平几何形象：可随意平行移动的有向线段行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式12(,)Tna aa 坐标系坐标系 解析几何解析几何与与线性代数线性代数中中向量向量的

2、联系与区别的联系与区别空间空间)3(n解析几何解析几何线性代数线性代数点空间：点的集合点空间：点的集合向量空间：向量的集合向量空间：向量的集合 坐标系坐标系 代数形象：向代数形象：向量空间中的平量空间中的平面面几何形象：以几何形象：以空间平面为例空间平面为例(,)P x y z(,)TOPx y z 一一对应一一对应 (,)P x y z ax by cz d (,)TOPax by cz dx y z 解析几何解析几何与与线性代数线性代数中中向量向量的联系与区别的联系与区别例：确定飞机的状态，需以下例：确定飞机的状态，需以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P

3、(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20(机身的仰角机身的仰角)22(机翼的转角机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量(,)x y z 维向量的实际意义维向量的实际意义nn3时，时，n维向量没有直观的几何形象，维向量没有直观的几何形象，却有广泛的实际意义却有广泛的实际意义定义定义.,21个分量个分量称为第称为第个数个数第第个分量，个分量，个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称

4、为分量全为实数的向量称为实向量实向量，12(,)Tna aa 12 naaa 行向量行向量列向量列向量11,nnnxRxxxRx11nnkalbklkalb (1,1,1),(1,3,0),(2,4,1)TTT 12kk 12(1,1,1)(1,3,0)(2,4,1)TTTkk12122(2,34,)Tkkkk k12122213411kkkkk121,1kk.12 xx有解12 xx有解(1,1,1),(1,3,0),(2,4,1)TTT 12kk 12(1,1,1)(1,3,0)(2,4,1)TTTkk12122(2,34,)Tkkkk k12122213411kkkkk 12 xx无解1

5、2 xx无解 112,nnxA AAbx线性方程组与线性方程组与线性表示线性表示1212100010,001nnaaa eee 1 122nnaaaeee 123000eee010000 00 10 00001 010100110112 123 线性表示不要求线性表示不要求系数不全为系数不全为0.1112121yy 1231211211I:,II:,11102 111122231212223131222若若I能由能由II线性表示，则线性表示，则 1212222yy 1312323yy 122123312221112221001rrr BY=A有解有解.13111212123232122yyyy

6、yy 1111202111 12123,B A 注：注：若向量组若向量组I:1,2,r与与II:1,2,s等价等价，则则I(或或II)也与也与I,II=1,2,r,1,2,s.称这两个向量组称这两个向量组 13111212123232122yyyyyy 1231211211I:,II:,11102 1212311112,02111B A 111122231212223131222122123312221112221001rrr 若若I能由能由II线性表示，则线性表示，则BY=A有解有解.312123220 1231211211I:,II:,11102 1231211211,11102A B 2

7、1122123312221112221001rrrrr 若若II能由能由I线性表示，则线性表示，则AX=B有解有解.3111132211121322xxxx 111123220 I 可由可由 III 线性表示线性表示.例例5：若向量组若向量组 I:1,2,r可由可由 II:1,2,s线性表示线性表示，II 可由可由 III:1,2,t 线性表示线性表示，则则 I 可由可由 III 线性表示线性表示.1,2,r 1,2,s 1,2,s 1,2,t 初等变换初等变换AB 向量组的等价向量组的等价与与矩阵的等价矩阵的等价记为记为AB.问题：问题：向量组的等价向量组的等价与与矩阵的等价矩阵的等价之间的

8、关系？之间的关系？向量组的等价向量组的等价与与矩阵的等价矩阵的等价命题：命题：若若n维向量组维向量组I:1,2,m与与II:1,2,m等价，等价，则则m个个n维向量维向量构成构成n m矩阵矩阵A=(1,2,m)与与B=(1,2,m).这两个向量组这两个向量组证明：证明：逆命题不成立：相抵的两个逆命题不成立：相抵的两个矩阵的列向量组不一定等价。矩阵的列向量组不一定等价。11100,100AB 矩阵矩阵A,B相抵相抵,但列向量组不能相互线性表示，即不等但列向量组不能相互线性表示，即不等价。价。111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212 nnmmmnbbbb

9、bbBbbb 列向量组的等价列向量组的等价与与矩阵的列等价矩阵的列等价111212122212 nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212 nnmmmnbbbbbbBbbb 行向量组的等价行向量组的等价与与矩阵的行等价矩阵的行等价1 01 0A 1 00 0B 1 10 0C 1 00 0B 矩阵的行向量组与列向量组矩阵的行向量组与列向量组4阶阶Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=对角线（或次对对角线（或次对角线）之和角线）之和=每个小方块之和每个小方块之和=四个角之和四个角之和.铜币铸造时铜币铸造时间：间：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！你想构造你想构

10、造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？84 17 1416 15 -4 16-113 191220 11 11 1和为和为43.Drer魔方魔方244阶阶Drer魔方魔方：行和行和=列和列和=对角线（或次对对角线（或次对角线）之和角线）之和=每个小方块之和每个小方块之和=四个角之和四个角之和.你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？A=B=设设A,B是任意两个是任意两个Drer 魔

11、方，魔方，对任意实数对任意实数k，kA 是是Drer魔方吗？魔方吗？A+B 是是Drer魔方吗？魔方吗？Drer魔方魔方2584 17 1416 15 -4 16-113 191220 11 11 1你想构造你想构造D Drerrer魔方吗？魔方吗？D Drerrer魔方有多少个？魔方有多少个？如何构造所有的如何构造所有的D Drerrer魔方？魔方？设设A,B是任意两个是任意两个Drer 魔方，魔方，对任意实数对任意实数k，kA 是是Drer魔方吗？魔方吗？A+B 是是Drer魔方吗？魔方吗？允许构成魔方的数取任意实数允许构成魔方的数取任意实数任意两个任意两个Drer魔方的任意魔方的任意的线

12、性组合仍是的线性组合仍是Drer魔方。魔方。记记 D=A=(aij)R44|A为为Drer魔方魔方 则则D构成一个向量空间，构成一个向量空间，称为称为Drer魔方空间魔方空间.无穷多个无穷多个求出魔方空间的一组求出魔方空间的一组基基,基的任意线性组合都构基的任意线性组合都构成一个成一个Drer魔方魔方.Drer魔方空间魔方空间26任意两个任意两个Drer魔方的任意魔方的任意的线性组合仍是的线性组合仍是Drer魔方。魔方。记记 D=四阶四阶Drer魔方的全体魔方的全体 则则D构成一个向量空间，称构成一个向量空间，称为为Drer魔方空间魔方空间.Drer魔方空间魔方空间记记 R2=2维向量的全体维

13、向量的全体 任意两个任意两个2维向量的任意维向量的任意的线性组合仍是的线性组合仍是2维向量。维向量。则则R2构成一个构成一个2维向量空间维向量空间.R33维向量的全体，维向量的全体，构成一个构成一个3维向量空间维向量空间.11,nnnxRxxxRx构成一个构成一个n维向量空间维向量空间.Drer魔方空间魔方空间R2记记 R2=2维向量的全体维向量的全体 任意一组任意一组2维向量的任意的线性组合仍是维向量的任意的线性组合仍是2维向量。维向量。则则R2构成一个构成一个2维向量空间维向量空间.R2=2维向量的全体维向量的全体；任意通过原点的直线；任意通过原点的直线；R2 原点本身原点本身R3 R3；任意通过原点的；任意通过原点的平面、直线；平面、直线；S中任意一组向量的任中任意一组向量的任意线性组合仍在意线性组合仍在S中中 一.一.(A)1(1)(B)2,3,4,5请证明满足请证明满足“各行和各行和=各列和各列和”的魔方集合的魔方集合也构成一个向量空间，再列举出它的几个子也构成一个向量空间，再列举出它的几个子空间，即把和相等的限制再增强一些。空间，即把和相等的限制再增强一些。