优化设计方法：第一章 优化设计的基本概念

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1、 优化是万物演化的自然选择和必然趋势优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计的应用，便是优化设计。优化

2、设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探自动探索索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。1-1 1-1 绪论绪论例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用

3、同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。将最优化原理与计算机技术应用于设计领域将最优化原理与计算机技术应用于设计领域设计要求设计要求选择设计方案、确选择设计方案、确定参数定参数达到最佳达到最佳目标目标（4）优化过程：）优化过程：是寻找约束空间下给定函数取极大值（以是寻找约束空间下给定函数取极大值（以max表示表示)或极小或极小(以以min表示表示)的过程，优化方法也称数学规划。的过程，优化方法也称数学规划。（5）优化设计：）优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和

4、优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。设计方法是：采用最优化数学方法。设计方法是：采用最优化数学方法。现代优化设计方法就是：现代优化设计方法就是：在计算机上进行的半自动或自动优化，以选出在现有在计算机上进行的半自动或自动优化，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。设计原则是：最优设计；设计原则是：最优设计；设计手段是：电子计算机及计算程序；设计手段是：电子计算机及计算

5、程序；机械优化设计机械优化设计:就是把机械设计与优化设计理论及方法相结就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。案和最佳设计参数。优化设计流程优化设计流程 常规设计流程常规设计流程 历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（里得（Euclid，公元前，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世纪切矩形中，以正方形的面积为最大。十七、十八世

6、纪微积分微积分的的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展些理论基础。然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了变分法变分法。直到本世纪直到本世纪4040年代初，由于军事上的需要产生了年代初，由于军事上的需要产生了运筹学运筹学，并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机并使优化技术首先应用于解决战争中的实际问题，例如轰炸机最佳俯冲轨迹的设计等。最佳俯冲轨迹的设计等。505

7、0年代末年代末数学规划方法数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。划是其主要内容。近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取

8、得了显著效果。电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O6O年年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种

9、有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。域中得到应用。l 第二阶段第二阶段数学规划方法优化数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电：从三百多年前牛顿发明微积

10、分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。l 第三阶段第三阶段工程优化工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方程优化问题中，基于经验和直觉的方法

11、得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。的途径。l 第四阶段第四阶段现代优化方法：现代优化方法：如遗传算法、如遗传算法、模拟退火算法、模拟退火算法、蚁群算法、蚁群算法、神经网络算法等，并神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。6、机械优化设计应用实例、机械优化设计应用实例 例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原例如，工厂在

12、安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行

13、速度，在现有道路条件下取得最大的道路道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。通行能力。机械优化设计应用实例机械优化设计应用实例 美国波音飞机公司对大型机翼用美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优个变量进行优化设计，使成本降低约化设计，使成本降低约10%。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。

14、同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。装载机车架结构装载机车架结构销轴支座销轴支座二轴散装水泥车结构及剖面二轴散装水泥车结构及剖面优化后的罐体形状优化后的罐体形状采用采用ANSYS与导重法相结合的优化方法与导重法相结合的优化方法,对其结构进行优化设计对其结构进行优化设计,只需很少几只需很少几次迭代计算就可得显著的优化效果。双轴车不但容积从次迭代计算就可得显著的优化效果。双轴车不但容积从34m3上升到上升到36.56m3,总质量下

15、降总质量下降34.4%,而且主要工况的最大复合应力从而且主要工况的最大复合应力从383.852MPa下降到下降到184.805MPa;三轴车不但容积从三轴车不但容积从49m3上升到上升到49.56m3,总质量下降总质量下降25%,而且主而且主要工况的最大复合应力从要工况的最大复合应力从489.143MPa下降到下降到173MPa;显著提高了设计质量显著提高了设计质量.上固定板结果上固定板结果1.节点的节点的Von-Mises应力应力 2.结构总变形结构总变形 3.结构沿结构沿Z方向的变形方向的变形图图3.14 下固定板结果分布云图下固定板结果分布云图1、2.节点的节点的Von-Mises应力（

16、正反面）应力（正反面）3.结构总变形结构总变形长长333米，宽米，宽297米的米的“鸟巢鸟巢”内没有立柱，而是一系列辐射式门式钢桁架围内没有立柱，而是一系列辐射式门式钢桁架围绕成的碗状座席。这些座席环抱着赛场的收拢结构，无论观众坐在哪个位置，绕成的碗状座席。这些座席环抱着赛场的收拢结构，无论观众坐在哪个位置，和赛场中心点之间的视线距离都在和赛场中心点之间的视线距离都在140米左右米左右 国家体育场国家体育场“鸟巢鸟巢”方案的编织状钢结构造型十分独特，却相应地极大提高方案的编织状钢结构造型十分独特，却相应地极大提高了施工难度和造价。了施工难度和造价。在在“瘦身减负瘦身减负”过程中，专家们将在保持

17、建筑外形和构件外廓尺寸的前提下，过程中，专家们将在保持建筑外形和构件外廓尺寸的前提下，通过根据实际情况优化结构构件的截面厚度，采取局部构造性增强等措施，通过根据实际情况优化结构构件的截面厚度，采取局部构造性增强等措施，为场馆进行整体的科学为场馆进行整体的科学“瘦身瘦身”，以达到减轻结构自重的目的。经过优化，以达到减轻结构自重的目的。经过优化，“鸟巢鸟巢”结构自重可降低至结构自重可降低至5.3万吨左右，减重万吨左右，减重8.3万吨，降幅达万吨，降幅达60%，将大大，将大大降低建筑成本。降低建筑成本。室内大空间采用深蓝色的室内大空间采用深蓝色的金属吊顶金属吊顶，仅遮盖结构，仅遮盖结构圆弧形圆弧形的

18、的上弦上弦，宛若深邃，宛若深邃无限的无限的天穹天穹，其下悬垂着一根根白色的腹杆，以黑色的，其下悬垂着一根根白色的腹杆，以黑色的预应力预应力钢索钢索相串连，相串连，充分展现结构的力度。充分展现结构的力度。腹杆为腹杆为圆钢管圆钢管。这种结构形式具有很好的垂直方向的。这种结构形式具有很好的垂直方向的承载力承载力，适宜于跨越，适宜于跨越大空间，但它属于大空间，但它属于非线性结构非线性结构，必须通过，必须通过下弦下弦张拉张拉预应力预应力才能成形，且在才能成形，且在平面外平面外刚度刚度较差，不能承受反向较差，不能承受反向荷载荷载。浦东机场二期工程航站楼屋盖为一大跨空间钢结构浦东机场二期工程航站楼屋盖为一大

19、跨空间钢结构,整个屋盖结整个屋盖结构支承于周边布置的二次分岔箱形变截面构支承于周边布置的二次分岔箱形变截面Y型钢柱上型钢柱上,该该Y型钢型钢柱的受力及变形均非常复杂柱的受力及变形均非常复杂,本身设计难度很大本身设计难度很大.航站楼屋盖最大跨航站楼屋盖最大跨度为度为89m,采用预应采用预应力张弦梁力张弦梁,其上下弦其上下弦均为圆弧形均为圆弧形,通过桁通过桁架与下部的架与下部的Y型斜型斜钢柱连接钢柱连接.屋盖中部屋盖中部的钢柱为二次分岔的钢柱为二次分岔的的Y型钢柱型钢柱,边缘钢边缘钢柱为一次分岔的柱为一次分岔的Y型柱型柱,且均为变截面且均为变截面箱型柱箱型柱.Y型柱纵向型柱纵向柱距为柱距为18m3

20、.本课程的任务本课程的任务该课程的主要该课程的主要：了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；了解和基本掌握机械优化设计的基本知识；扩大视野，并初步具有应用机械优化设计扩大视野，并初步具有应用机械优化设计的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的的基本理论和基本方法解决简单工程实际问题的素质。素质。优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：优化设计包括：1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；2）选用适当的一种最优化数值方法和

21、计算程序运算）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。求解。x1x2x3123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：1,m z b2211min()()4Wb mzmiz1122111 0 0 01.20170FFFFHHbmzz设计参数：设计参数：设计目标：设计目标：约束条件：约束条件：ijd否则个场馆参

22、观第,0,1ixiiAxiBxtCxBxnxtsiiii5.0.139144.21.11.14.203.23.21.13.2001.13.200)(ijdD 优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。1212,Tnnxxx xxxx 由由n n个设计变量个设计变量 为坐标所组成的实空间称为坐标所组成的实空间称作作。一个。一个“设计设计”，可

23、用设计空间中的一点表示。，可用设计空间中的一点表示。12,nx xx 设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如n n个设计变量，个设计变量，则称为则称为n n维设计问题。维设计问题。按照产品设计变量的取值特点，按照产品设计变量的取值特点，设计变量设计变量可分为可分为连续变量连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量离散变量（例如各种标准规格等）。（例如各种标准规格等）。图1-1 设计变量所组成的设计空间设计变量所组成的设计空间（a a）二维设计问题）二维设计问题 （b b）三维设计问题）三维设计问题 只有两个设计变量的二维设计问题可用图

24、只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-11-1（a a）所示）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图图1-11-1（b b）所表示的空间直角坐标表示。）所表示的空间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：小型设计问题：一般含有一般含有2 21010个设计变量；个设计变量；中型设计问题：

25、中型设计问题：10105050个设计变量；个设计变量；大型设计问题：大型设计问题：5050个以上的设计变量。个以上的设计变量。目前已能解决目前已能解决200200个设计变量的大型最优化设计问题。个设计变量的大型最优化设计问题。如何选定设计变量如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1 1）抓主要，舍次要。）

26、抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2 2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4 4个，即钢丝直径个，即钢丝直径d d，弹簧中径，弹簧中径D D，工作圈数，工作圈数n n和自由高度和自由高度H H。在设计中，将材料的许。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量用剪切应力和剪切模量等作为设计常量

27、。在给定径向空间内等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径设计弹簧，则可把弹簧中径D D作为设计常量。作为设计常量。设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。称作约束条件，简称约束。约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约约束又可按其数学表达形式分成等式约

28、束和不等式约束两种类型：束两种类型：(1)(1)等式约束等式约束(2)(2)不等式约束不等式约束()0hx()0gx显式约束显式约束 隐式约束隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式显的函数关系，有的只能表示成隐式形式 ,如例中的复杂结构的如例中的复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。计算求得。根据约束的性质可以把它们区分成：根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束性能约束针对性能要求而提出的

29、限制条件称作性能约束。例针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束边界约束只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。定范围就属于边界约束。图图1-2 设计空间中的约束面（或约束线）设计空间中的约束面（或约束线）(a)(a)二变量设计空间中的约束线二变量设计空间中的约束线 (b)(b)三变量设计空间

30、中的约束面三变量设计空间中的约束面 如图如图1-41-4上画出了满足两项约束条件上画出了满足两项约束条件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（X X）2 2X X2 200的二维设计问题的可行域的二维设计问题的可行域D D，它位于，它位于X X2 2=2=2的上面和圆的上面和圆 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圆弧的圆弧ABCABC下面并包括线段下面并包括线段ACAC和圆弧和圆弧ABCABC在内。在内。图图1-3 约束条件规定的可行域约束条件规定的可行域D 在设计空间中，满足在设计空间中，满足所有约束条件的所有约束条件的

31、 所构成的空间所构成的空间。在优化过程中，通过设计变量的不断向在优化过程中，通过设计变量的不断向F F(X X)值改善的方值改善的方向自动调整，最后求得向自动调整，最后求得F F(X X)值最好或最满意的值最好或最满意的X X值。在构造目值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、

32、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。负荷最小等等。12()()nF xF xxx，为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)F(X)表示。表示。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的

33、机械最优化设计中，多目标函目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。求解亦愈复杂。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。数之间的关系。()Fcx 目标函数是目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空维空间中描述出来。为了在间中描述出

34、来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：目标函数的等值面（线）数学表达式为：c为一系列常数，代表一族为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空维超曲面。如在二维设计空间中，间中，F(x1,x2)=c 代表代表x-x设计平面上的一族曲线。设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为称为等值线等值线或或等值面等值面。图图1-4 等值线等值线 图图1-51-5表示目标函数表示目标

35、函数f f（X X）与两个设计变量）与两个设计变量x x1 1，x x2 2阶所构成阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈值的变化范围一定时，等

36、值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。的变化规律。从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况。其中F F=40=40的等值线就是使的等值线就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各点的各点 x x1 1,x,x2 2 T T所组成的连所组成的连线。线。如图函数如图函数 的等值线图。的等值线图。2212121212(,)60 104F x xxxxxx x图图1-5 等值线等值线12,TnXx xx()minF X()0

37、(1,2,)kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),.()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl，求设计变量向量求设计变量向量使目标函数使目标函数 对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间

38、，有时也会改善优化结果。间，有时也会改善优化结果。最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求-F-F（X X）的最小值，因为）的最小值，因为minmin-F-F（X X）与）与maxFmaxF（X X）是）是等价的。当然，也可看成是求等价的。当然，也可看成是求1 1F F（X X）的极小值。）的极小值。1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统

39、设计中的公式进行改优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。纲不

40、同等原因导致的数量悬殊的影响。h h 受力分析图圆杆截面图桁杆示意图1p2pp2hL2Bp2hL2d由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为为2p，两支座之间的水平距离为，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为，圆杆的壁厚为B，杆，杆的比重为的比重为，弹性模量为，弹性模量为E，屈服强度为，屈服强度为 。求在桁架不。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均及圆杆平均直径直径d。解：桁杆的截面积为解：桁杆的截面积为：dBS222hLdBWhhLppp221cosdhBhLsp221

41、1dhBhLp22222228hLBdE082222222dhBhLphLBdE 由此得稳定约束：由此得稳定约束：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为压杆稳定的临界应力为此应力要求小于材料的屈服极限，即：此应力要求小于材料的屈服极限，即：于是杆截面的应力为：于是杆截面的应力为：负载负载2p在每个杆上的分力为：在每个杆上的分力为：桁杆的总重量为：桁杆的总重量为：另外还要考虑到设计变量另外还要考虑到设计变量d和和h有界。有界。从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：222

42、22222222maxminmaxminmin2.008dB Lhp LhstdhBE dBp LhdhBLhdddhhh 以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过而不超过1.2%的钙的钙;至少至少22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%的粗纤维。假的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：成分为：1231231231232323123min

43、0.01640.04630.1250.1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx解解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设设 是生产是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。321xxx对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：还有其它的一些划分方法：如

44、按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题；规划问题；二次规划、几何规划、随机规划等。二次规划、几何规划、随机规划等。约束无约束动态问题非线性规划线性规划约束问题维问题一维问题非线性问题线性问题无约束问题静态问题最优化问题n2212111222123142min()44 s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx例例1：如下二维非线性规划问题：如下二维非线性规划问题 通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。基本思想。22121112

45、22123142min()44 s.t.()20()10()0()0Fxxxgxxgxxgxgx xxxxx 目标函数等值线是以点（目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：如不考虑约束，本例的无约束最优解是：*(2,0)x，*()0Fx约束方程所围成的可行域是约束方程所围成的可行域是D。01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58,1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0221212min21.50 s txxxxl由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几由图易见约束直线与等

46、值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为何的方法得该切点为 ，对应的最优值为对应的最优值为 l (见图）见图）*3,2TX 2fXx2x12f 1f Ol解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。使等值线具有最小值的点。122122122122min21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先画出等式约束曲线解：先画出等式约束曲线 的图形。的图形。这是一条抛物线，如图这是一条抛物线，如图

47、052221xxxl再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）l最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，x1x2123456135ABCD2122125050 xxxxx(4 1)TX，4fXl得出：得出：x1x2123456135ABCD 即利用数学分析即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法解的求解方法 。在目标函数比较简单时，求解还可以。在目标函数比较简单时

48、，求解还可以。局限性：局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。学分析方法就会带来麻烦。最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有以下特点：以下特点：1 1）是数值计算而不是数学分析方法；）是数值计算而不是数学分析方法；

49、2 2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3 3）最后得出的是逼近精确解的近似解。）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这些特点正与计算机的工作特点相一致。这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标

50、函数的最优点或直至达到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。到最优点。数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。数值迭代法的数值迭代法的是进行反复的数值计算，寻是进行反复的数值计算，寻求求目标目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的度的最优点最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：1 1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点）首先初选一个尽可能靠近最

51、小点的初始点X X（0 0），从，从X X（0 0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到达到X X（1 1）点；点；2 2）得到新点）得到新点X X（1 1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从方向及适当的步长，从X X（1 1）点出发再跨出一步，达到点出发再跨出一步，达到X X（2 2）点，点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。目标函数的最优点。在中间过程中每一步的迭代形式为

52、：在中间过程中每一步的迭代形式为：11()()kkkkkkSFF k=0,1,2,xxxx 图图1-11 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图 上式中：上式中：X X（k k）第第k k步迭代计算所得到的点，称第步迭代计算所得到的点，称第k k步迭代点，步迭代点，亦为第亦为第k k步设计方案；步设计方案；a a（k k）第第k k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长；S S（k k）第第k k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索方向。用迭代法逐步逼近最优点用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图的探索过程如图1-81-8所示。所示。1()()kkFFxx1kkkkS

53、xx（3）给定收敛准则）给定收敛准则*limkk xx收敛：收敛：迭代法要解决的问题：迭代法要解决的问题：（1 1）点距准则）点距准则12kkiixx或或ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)11kkxx（2）函数值下降量函数值下降量 准则准则14()()()kkkFFFxxx或或xoffkfk+1f*xkxk+1x*(b)13()()kkFFxx5()kFx251010(1,5)ii 上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定

54、。一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：否是问题分析问题分析建立数学模型建立数学模型选择优化方法选择优化方法编写计算机程序编写计算机程序准备初始数据，上机计算准备初始数据，上机计算确定最优设计方案确定最优设计方案方案评价与决策方案评价与决策优化设计包括优化设计包括1、建立优化设计的数学模型、建立优化设计的数学模型2、选择适当的优化方法及程序、选择适当的优化方法及程序建立数学模型建立数学模型求解数学模型求解数学模型即即建立数学模型：遵循一定的规范，主要依靠机械学科建立数学模型：遵循一定的规范，主要依靠机械学科 的专业知识。的专业知识。求解数学模型：靠相应的优化方法；求解数学模型：靠相应的优化方法；靠计算技术、程序软件、计算机实现靠计算技术、程序软件、计算机实现