第二章__模糊集合

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1、第二章 模糊集合2.1 经典集合论概述由于模糊集合是建立在经典集合的基础之上，并且由此发展 起来的。所以，作为模糊数学的预备知识，在讨论模糊集合之前， 本节将首先简略地介绍经典集合论中与模糊数学关系密切的内 容。如果读者已经对经典集合论比较熟悉，则可以越过本节内容， 直接从下节开始学习。2.1.1模糊集合的概念集合的概念是数学中最基本的概念之一，正如在几何中难以 给出点、直线的确切定义一样，在集合论中对集合也很难做出一 个十分确切的定义。但是为了明确起见，下面还是给出一个一般 的描述性的定义。定义 2-1 具有某种共同性质的事物的全体称为“集合”，而 每一个别事物称为该集合的“元素”。由以上定

2、义可知，集合是由元素组成的，它可以理解为存在 于世上的任何客观物体无论是具体的还是抽象的。例如，诸 如地球、人、花、桌子、分子等实体，诸如整数、四边形、软件、 资本主义等概念，诸如鬼、耶稣、疼痛、占有、坚持等意念。事 实上，集合与一个概念在人脑中的形成密切相关。一个概念的形 成大致需要经过两个方面：一方面是从内在条件把握各个有关因 素对这个概念所作的规定，即此概念的内在涵义，我们将其称为 概念的“内涵”；另一方面就是此概念所包含的东西，换言之就 是符合此概念的事物全体，我们称其为概念的“外延”。内涵与 外延是刻画概念的两个方面，它们是相辅相成的。简言之，外延实际上是表现概念的一个集合。 集合的

3、元素可以任意多，并且一些完全毫不相关的事物都可 以是同一集合中的元素。例如：S=1,马，地球，女，青菜,但事 实上这种集合通常都对我们的研究问题毫无意义。在实际中，我 们讨论问题时总是限制在一定的范围之内进行的。例如，当考虑 “计算机”、“软件”等问题时，通常决不会将它们与性别、地上 有多少沙粒、艾滋病等毫不相关的事物一起讨论。所以在讨论集 合前常常需要首先给出我们研究的对象范围“论域”。论域 本身是一种特殊的集合，它的选取一般不唯一，应根据具体情况 研究的需要而定。例如，讨论部分正整数集合时，论域通常可取 自然数集合或整数集合，也可取实数集合，甚至正整数集合本身。例 21 下面是几个具体的集

4、合实例： 计算机集合由各种型号的计算机组成，不同型号的计算机 是此集合的元素； 在人类构成的集合中，每个人是该集合的元素； 全体实数可定义为一个集合，而任何实数均是这个集合中的元素； 赵钱孙李周吴郑王等元素构成了中国的姓氏集合； 在“所有到过火星的人”构成的集合中，目前尚无任何元 素。在我们讨论的论域中选出一个元素a,同时给定一个集合A。 则a或者“属于” A或者“不属于” A,两者必居其一，并且只 居其一。这就是经典集合论的基本要求。以后你将看到，这一基 本要求在模糊集合论中将被破坏。当a属于A时记为aeA，而当 a不属于A时记为a电A。由例 21 可看出，集合不仅可以包罗万象，而且其元素数

5、 目可以是有限的（例21），也可以是无限的（例21 ），还可以是零（例21）。下面是几种常用的集合分类：当一个集合中的元素数目有限时，称其为“有限集合”， 否则为“无限集合”。设S为无限集合，若S与自然数集合N之间存在11对 应的关系，则称S为“可列集合”，否则称其为“不可列集合”。不含任何元素的集合称为“空集”，记为炉；含有论域中所有元素的集合称为“全集”，记为 U。定义2-2 设S是论域U中的集合，则S的特征函数c（x）S定义为x电SxeS显然，特征函数是一个布尔函数。图21给出了一个论域U中简单集合S的集合特征函数曲线，容易看出，论域中属于S 的元素x的特征函数值均为1,而不属于S的元素

6、，其特征函数 值为 0，并且决不存在特征值介于 0 和 1 之间的任何元素。特征 函数对将经典集合论推广到模糊集合论起到了极为重要的作用。Cs(x)1i111111110su图2-1论域U中集合5的特征函数曲线常见的集合表示方法有以下几种：(1) 枚举法对于元素不多的集合，可以将它的所有元素都一一列出，例如：“大于2小于6的整数集合” = 3,4,5使用这种方法时，常常还可以某种明显的顺序规律，仅列出 部分元素，而将集合中的其它一些元素隐含表示，从而能够表示 出部分元素数目无限的集合。例如：“自然数集合”二1,2,3,(2) 描述法对于有些集合是很难一一列出集合元素的,其元素间也不存 在任何顺

7、序规律性。例如“猫科动物”、“实数集合”。描述法通 过形式描述的手段表示集合表示集合最常用的方法：设集合 S的元素具有属性P,则S = x I P (x)其中竖线左边为集合元素符号，而右边是集合元素所具有的性 质。例如：“实数集合R” = x I x为实数(3) 特征函数法由于任一特征函数都能唯一地确定一个集合，所以也常常采 用它来描述任何种类的集合。例如，以实数域R为论域，则有理 数集合 Q 的特征函数为：X Jox为无理数，丿一 11x为有理数(4) 文氏图如图2 1。采用这种方法表示集合很直观形象，故被广泛应用于集合论中。但这种方法缺乏描述上的严格性，所以使用范围有一定的限制。(a) A

8、=B(b) A匸B 或 AuB(c) B匸A 或B u A图 2 2 相等、包含关系的文氏图面是几个集合论中最基本的概念：(1) 对于任意两个集合A、B,若A的每一个元素都是B的元 素，贝U称A是B的“子集”，记为AB或BA；若B中存在不属于A 的元素，贝U称A是B的“真子集”，记为A u B或B二A。(2) 两集合“相等”，当且仅当A匸B且B匸A。(3) 论域U为包含任何集合A,即A匸U。(4) 对于任意集合A，恒有申匸A。(5) 对于一个集合A，由其所有子集作为元素构成的集合称 为A的“幂集”，记为p (A) = X|X匸A (6) 设X、Y为两个集合，贝UX和Y的笛卡儿积(又称“直积”)

9、定义为XXY = (x，y) | xGX，yGY例22 设N二0, 1，2，A=1，2，300，贝山uN。例23 设A=a， b， c， B=c， b， a， A二B。例24设A二i|i为正整数, B=k|k为正偶数，贝UBuA。例25设A= 1，? ，贝UA的幕集包括了四个元素：p (A) =申，1，? ， 1，? 例26设A=1，2，B=a，b，贝山与B的笛卡儿积为：XXY=(1, a)，(1, b)，(2, a)，(2, b) 2.1.2 集合的运算及其性质与实数运算类似，集合间也定义了一些基本运算。定义2-3令A、B为论域U中任意两个集合,则定义1)A与B的“并集”：AUB=xA与B的

10、“交集”：AQB=xA与B的“差集”：A-B=x4)A的“补集”：A二UA二x(xGA)(xGA)(xGA)V( xGB)A( xGB)A( B)(xA)A( xWU)；。算。交集和并集运算可以推广至多个,乃至无穷多个集合间的运在模糊集合论中,在同“与”、“或”运算符号不混淆的情 况下，习惯使用符号V表示“取最大值”，使用符号A表示“取 最小值”，即有 XV Y = Max( X， Y)Px = Max(X,X, ,X)日 i12n XA Y = Min( X， Y)Ax = Min(X,X, ,X) i=l i1 2n在定义23中采用了描述法定义集合的基本运算。然而，由 于特征函数也能够唯一

11、地描述任意集合，所以我们还可以通过特 征函数来定义集合运算。定义2-4令A、B为论域中任意两个集合，则定义(1) A与B的“并集”为AUB，且c = c (x) Vc (x)；AUB AB(2) A与B的“交集”为AQB，且c = c (x) AC (x)；AQB AB(3) A与B的“差集”为A-B，且c = c (x) A(1-C (x)；A-B AB(4) A的“补集”为A，且c = I c (x)。 AA例27设论域为正整数集合N, A =1, 2, 3, B=1, 4, 则：AUB=1, 2, 3, 4； AQB二1； AB二2, 3；B= k | k为正整数但k#1和kH4。设A、

12、B和C为论域U中的三个任意集合，下面是集合运算的基 本性质：(I) 交换率：AUB=BUA； A QB二BQ A。( 2)结合率： AU( BU C) =( AU B)U C；AQ( BQ C) =( AQ B)Q C。( 3)分配率： AU( BQ C) =( AU B)Q( AU C)；AQ( BU C) =( AQ B)U( AQ C)。( 4)幂等率： AU A=A； AQ A=A( 5)吸收率： AU( AQ B) =A；AQ( AU B) =A。(6) 对偶率： (AU B) =AQB；(AQ B) =AUB。(7) 互补率：AUA=U； AQA二申。(8) 对合率： (A) =

13、A。(9) 同一率：AU 申=A； AQU二A。(10) 零率：AUU=U；AQ申二申。(II) 传递率：若AB及B匸C,贝UAuC。例28 试证明：对于任意两个集合,以下关系恒成立：A(AQB) = AB证明：对于任意元素 x：xWA(AQB) o xAA(APB)由差集定义o xAA (xA A xWB)o xAA( xAV xB)对偶率o (xWAAxgA)V(xWAAxgB)分配率 o xAA xB互补率o xAB差集定义2.1.3 关系“关系”一词我们都十分熟悉，如父子关系、朋友关系等， 又如数学中的“大于”、“等于”关系，圆的面积与半径之间的 关系等。这些关系虽然五花八门，但有一个

14、共同的特点，这就是 它们都是两个对象之间的关系。定义2-5从集合X到集合Y的一个“二元关系R”，定义为笛 卡儿积XXY的一个子集R匸XXY。特别地，当X=Y时，称R为“X 上的二元关系”。对于任意xGX,yGY,若x、y之间存在关系R,贝U记为xRy。事实上，关系R可以描述为集合：R= (x, y) | (xGX)A(yeY)AxRy显然，当xRy时必有(x, y)WR。根据二元关系的定义，“R是集合X到集合Y的关系”常常表示为R XXY。二元关系R的元素是二元组(x,y),由R的所有元素中第一客体x组成的集合称为关系R的“定义域”，记为D(R)= x|(x,y) eR；由R的所有元素中第二客

15、体y组成的集合称为关系R的“值域”， 记为C(R)=y|(x,y)eR。二元关系的定义还可以推广成多元关系。例如某人与左右邻 居的关系、某门课程与其多门先修课程之间的关系等等。但由于 最常用的关系多为二元关系，故这里仅讨论二元关系。因此，以 后提及的关系，若无特别说明，均指二元关系。例29 兄弟关系可以表示为A=(x,y)|x是y的弟弟其中，x、y是兄弟两人的名字。例210设R为实数集合，则Q=(x,x)| xe R 定义了实数平方的关系。由于关系本身就是集合，所以所有的集合运算及其性质在关系中也适用。在有限论域中讨论关系时，可以通过关系矩阵清晰的表示出 二元关系，这样还十分便于进行关系的各种

16、运算。令集合X= x , x ,，x ,Y= y , y ,，y ,X到Y存在关系R，1 2 n 1 2 m则关系R的“关系矩阵”为M = (r )，其中R j nxmr=ij(x, y )电 Rij(x, y ) e Rij显然关系矩阵是布尔矩阵。由于关系R与关系矩阵M是1-1R对应的，所以常常也将关系R的关系矩阵直接用R表示。例2-11 设X=x ,1xx23，Y= y , y ，有X到Y的关系12R=(x1， y1则R的关系矩阵为y )，( x ， y )，( x ， y ) 1 3 2 2 2R=定义2-6设R是个集合X到集合Y的关系，则从Y到X的关系RT =(y,x)|(x,y) G

17、R 称之为R的“逆关系”。例2-12 设X二1,2,3,Y二a,b,c,R是X到Y的关系R=(1,a),(2,b),(3,c)则R的逆关系是Y到X的关系RT=(a,1),(b,2),(c,3)可以证明，关系R的逆关系矩阵就是关系矩阵R的转置Rt。 定义2-7令R是集合X到集合Y的关系，而S是集合Y到Z的关系，贝U称Rs为R与S的“合成关系”：RS= (x,y) | yWY(x,y) WRA (y,z) WS)。特别地，关系R自身的合成运算称为R的“幂运算”:R2 二RR ,Rn = R Rn-1在有限集合上的关系的合成运算可以通过关系矩阵的布尔 乘法进行。例2-13 设X=1,2,3,Y=a,

18、b,c,Z=$,#,现有从X到Y的 关系R和从Y到Z的关系S：R=(1,a),(1,b),(2,b)S=(a,),(b,#),(c,#),则RS二(1,),(1,#),(2,#)。下图给出了本例的复合关系的图示。采用下面的矩阵运算也能得到相同的结果：j10_010_R =010S=001则有000001j10_010_01RS =010001=00100 0001000图复合关系图示自反性，对称性和传递性是二元关系中最重要的三条性质。F面是这三个性质的定义：设R是非空集合X上的关系，则若对于任意xWX均有(x,x)WR，贝U称关系R具有“自反(2) 对有任意x、yWX,如果由(x,y)WR能保

19、证(y,x)GR，则 称关系R具有“对称性”；(3) 若对于任意x、y、zWX,若(x,y)WR且(y,z)GR时必有 (x,z)GR，贝U称关系R具有“传递性”。例2-14 容易证明以下关系的性质： “朋友”关系是对称的，“父子”关系不是对称的； 整数集合中的“W”关系是自反的、传递的，但不是对称 的； 实数集合中的“相等”关系是自反的、对称的，且又是传 递的。定义2-8设R是非空集合X上的关系，若R具有自反性和对称 性，则称R是集合X上的“相似关系”。显然实数集合中的相等关系是相似关系。定义2-9设R是非空集合X上的关系，若R具有自反性、对称 性和传递性，则称R是集合X上的“等价关系”。容

20、易看出，等价关系是相似关系的特例。由例2-14知实数集 合中的相等关系是等价关系。设S是一个给定集合,A=a , a ,，A ,且A匸S,1 2 n ii=1,2, ,n, 若S=J a，即A的并集覆盖了S;iii=1A n a =0,iHj且i、j=l,2,，n,即a互不相交；iji则称A为S的一个“划分”，而集合a , A ,，A称为划分A的“类”。1 2 n设R是集合X上的等价关系，对任意给定的xGX,由所有与X 有关系R的元素组成的集合称为X的“等价类”，记为1x1 ,Rlx = y| y WX,(x,y) UR R定理2-1设R是集合X上的等价关系则由R的等价类组成的 集合构成X的一

21、个划分。例2-15设集合X=a,b,c,d上的关系R为R=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d) 可以证明R是等价关系，并且它的等价类为la1=lb1=a,blc1=ld1=c,dR R R R2.1.4 映射映射建立了从一个集合到另一个集合的一种对应关系。定义2-10设f是从集合X到集合Y的一个关系，若对于任意x UX,存在唯一的yUY,使得(x,y)Uf,则称关系f是从集合X 到集合Y的一个“映射”，记为f:X-Y。显然，映射是种特殊的关系，其特殊之处在于要求对于定义 域X中的任意元素，值域Y中必须有且仅有一个像与之对应。有时也将映射

22、称之为“函数”。映射通常分为以下几类：对于映射f： X-Y，若其值域等于Y，贝U称f是“映上的”， 否则是“映内的”。对于映射f： X-Y, x、x UX,若当x Hx时必有1 2 1 2f( x)Hf( x )12则称f是“一对一的”。如果映射f： Xf Y即是一对一的，又是映上的，则称f是“1-1对应的”。例2-16 设X二1,2,3,4,Y二a,b,c,d,则 映射f=(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)是映上的(图24a) 映射g二(1,a),(2,c),(3,b),(4,d)是一对一的(图24b)； 映射 h二(1,a),(2,b),(3,c),(4,d)是 1-1 对应的

23、(图24c)。抚 II2 b 22 b3 c 3 一一一c 3a c4； d 4 d 4 d(a)映上(b) 一对一広)1-1对应图2-生三种映射示意图定义2-11设f: XfY是1-1对应的映射，贝吐所构成的逆关系称之为f的“逆映射”，记为f-i: Y-X。应当注意，并非任何映射都有逆映射。例2-17设映射f二(x,xl)|x为实数。因为f是1-1对应的, 故逆映射存在：f-i =(x,x-1)|x为实数。例2-18设映射f二(x, x2)|x为实数,由于对于任意实数x.f(x)=f(-x)= x2所以f不是1-1对应的，故逆映射不存在。2.2模糊集合概念2.1小节中曾讨论过一个经典集合的“

24、内涵”和“外延”都 必须是明确的，所以对于论域中的任何元素，或者属于某一集合， 或者不属于该集合，两者必居且仅居其一。然而在现实世界中， 有许多概念并无明确的外延。例如，“阴天”、“成绩突出”， “胡须很长”等都是模糊的概念。经典集合论对于这类概念就显 得无能为力，因为模糊概念难以简单地用“属于”、“不属于” 来描述，而只能通过属于的程度来刻画。进一步说，论域中的元 素符合某一概念的程度不能仅仅用0或1表示，而需要借助于介于 0与1间的实数表示。定义2-12论域X上的“模糊集合” A定义为：A二(x,A(x)|xWX 或者 A二(x, “(x)| xAeX 其中A(x)称之“隶属函数”，它满足

25、：A:XM这里，M称为“隶属空间”。最常见的隶属空间为区间(0， 1)。根据定义不难推出，模 糊集合实际上是论域X到隶属空间的一个映射。隶属函数A(x)用于刻画元素x对模糊集合A的隶属程度 “隶属度”。所以，模糊集合A的每个元素(x,A(x)都能明确地 表现出x的隶属等级。A(x)的值越大，x的隶属程度就越高。例如，A(x)=l时，说明x完全属于A；而A(x)=O时，说明x不属于A；而A(x) 值介于0与1之间时，说明隶属于A的程度也介于“属于”与“不 属于”之间模糊的。与经典集合类似，在模糊集合的表示中， 对于隶属度为0的元素可以不列出。与经典集合可由其特征函数所确定一样，模糊集合A也能由

26、其隶属函数所确定。当隶属函数A(x)的值域为集合0,1时，模 糊集合A便退化为经典集合，而模糊函数就等同于特征函数。由 此可知，模糊集合概念是经典集合概念的推广，而经典集合是模 糊集合的特例。定义2-13由论域X上所有模糊集合构成的集合F(X)称为 “模糊幂集”。不难得出：模糊幕集自身是经典集合；论域X上的模糊 幂集真包含了经典幂集。注意，在经典集合论中，“属于”的概念是基本的重要概念 之一。然而，在模糊集合论中，除隶属度为0或1之外，通常“属 于”或“不属于”是没有明确含义的。在定义2-12中，我们用二元组集合来表示模糊集合，称为序 偶表示方法或向量表示方法。例如，用集合 x ， x ， x

27、 ， x 表1234 示某学生宿舍中的四位学生，“聪明”是一个模糊的概念。经某 种方法对这四位学生的聪明程度做的评价依次为： 0.45， 0.78， 0.91，0.46，则以此评价构成的模糊集合A记为：A=(x,0.45),(x ,0.78),(x ,0.91),(x ,0.46)。1234在实际应用中，模糊集合有多种表示方法，但原则上都要求表现 出论域中所有元素及其对应的隶属度之间的关系。下面介绍三种 常见的方法：（1）序偶表示法或称向量表示方法（2）查德（Zadeh）方法 符号法：这种表示法适合于论域为有限集合或可 列集合时的模糊集合的描述。设论域为X=x，x，: x ，A为1 2 nX上

28、的一个模糊集合，贝UA可记为：A = 2 A（u ）/uiii=1注意，这里仅仅是借用了算术符号z和/,并不表示分式求和运算，而只是描述中有哪些元素，以及各个元素的隶属度值。 对于上例，用查德方法记为：A=0.45/x +0.78/ x +0.91/ x +0.46/ x 。1 2 3 4当以上假设中的n改为无穷大8时，便可描述一个可列集合 （论域）中的模糊集合。 J符号法：这种表示法适合于任何种类的论域，特别 是无限论域中的模糊集合的描述。对于任意论域X中的模糊集合A 可记为:A= f A（x）/ xxwX与符号法相同，这里的积分符号J仅仅是一种表示，并不意味 着积分运算。3）隶属函数方法当

29、论域为实数集合中的某个区间时，有时将模糊集合的隶属 函数用解析表达式表示很方便。例2-19 对于年龄区间X=(0,100)中的“年老”和“年轻” 这两个模糊集合0、Y,它们的隶属函数分别可表示为：0(x)=0 - X 50(1+ (X - 50)/5) -2)-150 y X 100Y(x)= J10 X 25(1+(X-25)/5)2)-125yX 10例2-21设A表示“接近5的整数”，则模糊集合A可表示为：A=(3,0.2),(4,0.7),(5,1),(6,0.7),(7,0.2); A=0.2/3+0.7/4+1/5+0.7/6+0.2/7; A(x) =(1+( x - 5)2)-

30、1例2-21模糊集合的前两种表示方法是等价的，而第三种方法 采用了隶属函数表示方法，并且所用的隶属函数与前两种表示法 不同。事实上，由一个概念构造一个模糊集合时，隶属函数并不 唯一。对所构造的隶属函数最基本的要求仅是它必须能尽量地准 确描述客观事实。下节将介绍隶属函数的构造与确定方法。2.3 隶属构造函数在模糊数学的应用中，如何构造隶属函数是一个重要的问 题。由于人们认识事物的局限性，我们通常只能构造出一个近似 的隶属函数。由于隶属函数能否反映出客观事实将直接影响应用 效果，所以如何确定隶属函数是个很值得探讨的重要课题。在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数 是描述模糊性的关键。

31、在解决实际问题时，往往首先遇到的问题 是确定隶属函数。但在一般情况下，这个函数却无法直接得到， 而必须经过一些调查实验。在实际中，隶属函数的确定通常都或 多或少地包含了染们的某种心理因素，换言之，具有一定的主观 性。但是，如果经过较科学的方法加工，还是可以反应或较好地 反映出客观事实的。当然，所谓“科学的方法”在概念上本身也 具有模糊性，所以它至今仍是一些专家学者探索的目标。到目前 为止，国内外已得到应用或已经提出的方法有很多种，下面是其 中的集中常用方法：(1)例证法。这是查德在1972年首先提出的方法，其主要 思想是：从已知的有限个隶属值A(x)中来估计论域X上的模糊集 合A的隶属函数。例

32、如，当论域X为“全体人类”，A是X中的模糊 集合“高个子”。如何确定(A)呢？当考虑“个高为h是否算高个 子”时，可以从若干个语言真值中进行选择。譬如可分“真”、“大致真”、“似真似假”、“大致假”、“假”五种选择，并 且将其分别与数1、0.75、0.5、0.25和0对应。当个高取不同的 样本值时，便可得到A(x)的离散表示。(2)模糊统计法。源于1976年。在某些情况下，隶属函数 可以用统计方法来确定。在下面的2.3.2中将详细地介绍此内容。(3) 蕴涵解析定义法。 1976年提出的一种方法，它根据微 积分的理论来确定隶属函数。假设隶属函数A(x)是连续可微的， 则可用微分的方法计算A(x)

33、。(4) 二元对比法。采用对比的方法确定隶属值。例如，对 于在“人”论域中考虑“聪明”模糊集合，若x较x聪明，则规12定人(x )A( x )。这种方法还根据具体的实现分为相对比较法、12对比平均法、择优比较法和优先关系定序法。在 7.2.2中将介绍 这种方法及其应用。(5) 三分法。类似于模糊统计法，也是用随机区间的思想 来处理模糊性的实验模型。(6) 模糊分布法。从给定的一系列模糊函数解析式选择出 合适的函数作为自己的模糊函数。常用的模糊分布将在2.3.3中 给出。另外，在实际应用中，还可以根据具体问题，自行设计隶属 函数。2.3.2 模糊统计概率论研究的随机性是一种不确定性，这种不确定性

34、是有条 件的不充分导致条件与事件之间不能出现确定的因果关系的结 果。然而，大量的随机试验却能表现出频率的稳定性，从而使得 我们可以通过概率去把握广义的因果规律。模糊数学研究的模糊性也是一种不确定性，而这种不确定性 是由于概念外延的模糊性而呈现出的不确定性。类似于随机试 验，我们可以进行模糊统计试验。模糊统计试验也会表现出一定 的统计规律，这种规律被称为隶属频率的稳定性。模糊统计试验的基本原理是：设A是论域X中的模糊集合， 现考虑xGX对模糊集合A的隶属度。在论域X中构造一个边界可 变的、可移动的普通集合S,这个集合S往往是通过各种不同的人 对于模糊集合A的一种肯定性的评价。对于特定的x, S中

35、可以含 有x,也可以不含有X。假设进行了n次模糊统计试验，其中有m 次xGX,贝Um与n之比称为x对模糊集合A的隶属频率。事实证明， 随着试验次数n的增大，x对A的隶属频率将趋于稳定。这个稳定 值可以作为x对模糊集合A的隶属度A(x)。模糊统计方法体现了用确定的手段去把握和研究模糊性。通过部分人(例如专家等)评分的方法来确定隶属度是一种 广泛使用的方法，例如跳水比赛、体操比赛、教学质量、学术水 平等的评判，将其结果进行适当的处理都可能取得较好的效果。例2-22为在“年龄”论域中建立“年轻人”模糊集合A的隶属函数，现进行抽样调查。被查人选认真考虑“年轻人”的含 义后，提出自己认为符合“年轻人”这

36、一概念的最合适的年龄区 间。这样实质上是随机地将“年轻人”这个模糊概念明确化。表 2-1列出了对129人进行调查的结果。从该表可以看出，入团年龄 （14岁）、参军年龄（18岁）、退团年龄（28岁）、特殊整数年龄 （20、25、30、35岁）等等主观因素对“年轻人”这一概念有较 大的影响。表2-1 129人认为“年轻人”的年龄范围调查记录1025173017201025163514 2510301035103515251530183517301S25183520301830163020351S301025103515251S301520162010301S3016301835182518 301

37、62818301630162810351S351727162015茨18 2519 2815 30152617251536183017301S351635163015 251S281630152010351030172S1S35152015 25152515251830162415 25163215271835162518 30162S1S3010351030103017301030103516301S2817251530182517301425182618291S35102S1S3510251635172918 2517301628103016281530183015 30203020301

38、6251730153010301630102015 351630153010351035103017301635173015 251S351530152515 3515301030172518 291020现考虑“27岁”对“年轻人”模糊集合A的隶属度。由表2-1不难得出，在129人的调查中，将“27岁”划入“年轻人”范围 者有101人，所以根据模糊统计方法，元素的隶属度等于其隶属 频率，故有A(27)=101/129=0.78表2-2给出了在不同人数的统计调查中，“ 27岁”对模糊集合A的隶属频率。从表中你可以看出隶属频率的稳定性。表眷岁对年彳住人模糊集合的隶属频率调查人数102030405

39、060708090100110120129隶属次数61423313947536260760595101隶属频率0. 600. 700. 770. 780. 780. 780. 760. 780. 760. 760. 750. 790. 78对自然语言中的模糊概念进行模糊统计试验时，应当要求被 调查者熟悉该模糊概念，并且能够对其量化。统计者对所获得的 数据应当首先进行初步筛选，删除明显不合乎逻辑的数据后，再 进行隶属频率的计算。2.3.3 模糊分布模糊分布是指实数域U中的模糊集合A的隶属函数。对于这类隶属函数多可采用以下常用类型：偏小型x axa 降半矩形分布A(x)=0 降半r形分布e -k

40、(x-a) 降半正态分布A(x)=1e -k ( x-a )2x ax A a, k A 0xaxAa,kA0xbx A b,a、c A0 降半柯西分布A(X)= 1/(1 + a( x - b) c) 降半梯形分布xa a y x bxAb1A(x)二 J(b - x)/(b - a)0 降岭形分布aa+ k -1X0降半形分布降半矩形分布0 a X a凹b X2降半柯西分布降岭形分布偏大型 升半矩形分布A(x)= 0 升半形分布01 e k (x-a)A(x)=0 ab X 0降半梯形分布图25 偏小型模糊分布x ax a axax a a,k a 0 升半正态分布1 e k (xa)2x

41、 ax A a, k A 0xbxAb,a、c A0xa a y x b xAb 升半柯西分布A(X)= 1/(1 + a( xb) -c) 升半梯形分布0A(x)二(x a)/(b a)1 升岭形分布X0 a a+ k 1升半矩形分布升半r形分布升半正态分布A(x)10 aX0 abX0a a +b bX2升半柯西分布升半梯形分布升岭形分布图26 偏大型模糊分布中间型 矩形分布”0A(x)二 i0尖r分布ek (x-a)e -k (x-a)A(x)=x a 一 ba 一 b y x a + bx a a + bxaxaa 正态分布A(x)=e -k ( x-a)2 柯西分布xa0a A 0,

42、c为正偶数x a ca c y x ab a b y x y a + ba + b a + cA(x)二 1/(1 + a( x - b) c) 梯形分布0(c + x a) /(c b) A(x)= i(c x + a) /(c b)0 岭形分布A(x)(x)A(x)=1 1 兀a + b-,+ _ sin x 2 2 b a 2111.兀_ sin -2 一 0a+bx 2 b a 2 b y x aayxaayxb0 a-b a a+bX 0a- k 1a a+ k 1X 0矩形分布正态分布x x4、x5;14539C以上者一人x4 o4若考虑有多少发烧病人时，医生就可能根据不同的经验而

43、得出不 同的结论。例如，若认为发烧的温度界限是37C，则有四人发 烧；而将界限置于37.5 C时，则只有三人发烧。事实上“发烧” 属于模糊概念，所以采用模糊数学来描述更为合适。例如，若根 据医生的经验可将各温度段认为是“发烧”的隶属度表示如下： 39C隶属度=1 ；38.539C隶属度=0.9 ；3838.5C隶属度=0.7 ；3738C隶属度=0.4 ；W37C隶属度=0。则将前面的“发烧病人”表示为模糊集合：A=（x1 , 0.9）,（x2 , 0）,（x3 , 0.4）,（x4 , 1）,（x5 , 0.7）; 这样，可以对发烧病人进行一些分类。例如，可将隶属函数20.9 的病人分出作为

44、“发高烧”进行特别护理：A0.9 = x1 , x4;类似地，我们还可以有A0.8 = x1 , x4;A0.4=x2, x3 , x4 , x5o一般地，我们用A表示A(x)2入的元素x组成的集合。A定义2-14设A为论域X中的模糊集合，入e0, 1,定义A的“入截集”为集合：A =x I A (x)三入入实数入称为“阈值”(又称“置信水平”)。特别地，集合A ! = x 入I A (x)入称为A的“A强截集”。例 223 令模糊集合A=(1 , 0.2) ,(2 , 0.5) ,(3 , 0.8) ,(4 , 1) ,(5 , 0.7) ,( 6 , 0.3) 则A =1 ，0.2A =2

45、，0.5A =3，0.8A1= 42， 3， 4， 5， 63， 4， 54A的入=0.8的强截集A08!=A14。0.8 1例 224 令模糊集合 A 的隶属函数为 A(x) =e -f(x) 其中 f( x) =x22, 则A05=x I A (x)20.5=x I xG, 1n4 。注意，模糊集合A的截集A是经典集合，它是由论域X中 入所有隶属度等于或超过入的元素组成。下面给出入截集的一些主要性质。定理2-2 令 A、B 为模糊集合，则以下等式成立： (AUB) =A UB入 入入 (AQB) =A QB入 入入证明：对于式：xG(AUB) (AUB) (x)三入入 (A (x)VB (

46、x)三入二(A (x)2入)V(B (x)2入) (xWA )V(xWB )入入 xG(A UB )入入故式成立。另证：对于任意的xW(AUB)入，可得M(x)三入n (卩(x) V (x)三入n (卩(x)三入)V (卩(x)AUBABAB三入)n x g A v x g B n x g (A U B )反方向可同样证明。用类似的方法可证明式。定理 2-3令 A 为模糊集合，a、0 g 0,1且a W0，则A n A。a p证明：对于任意的xg a，可得卩(x) 20pATa W0卩(x)三a可得xgaAa反方向可举出反例。定理2-4令入G0, 1, I为其下标集合，Ai为模糊集合,其中iG

47、I，则有: (UA )n U(A )；i九i九 (H a)二 n( a)。i九i九zgIiel证明：对于任意x 0G U(A)，在下标集合I中必存在某一0i九iel兀素i0，使得X0W (A )。由截集定义知卩(x )三入，从而得v A (x )00i0 九Ai0 0iel i 0三入，即(UA)(x )三入，故得x 0 (UA)，因此式成立。i 00i 九ieliel用类似的方法可证明式。注意，在一般情况下定理24中式等式不成立。例225是这方面的一个典型例子。例 2 25 设 Ai 为论域 X 中的无数个模糊集合，这里的 ii为正整数。记模糊集合A =( U A)ii=1(定理2-4式左边

48、)，令A.的截集之并集(定理24式右i边)为B = U(A)。i九i=1若 A 的隶属函数为 A(x)=(0.5( .-1)/ .。这不难推出 A(x) .=0.5。这说明论域X中的任何元素对于模糊集合A的隶属度均 为0.5，故有A05 = X，即入=0.5时，A.之并的截集包含了论域0.5.中的所有元素。现在考虑定理24式右边的情况。显然对于任意正整数i，(A.) 05 =申，故有B05 =申。这说明当入=0.5时，A.的入截集i 0.50.5i之并不包含论域中的任何元素。由以上两方面的讨论得A05#B05 o定义2-15设A为论域X中的模糊集合，定义:1）A 的“核”为：kerA=xlA

49、（x） =1（注，Ker 为 Kernel的缩写）；2）A 的“支集”为：Supp A=x I A （x） 0（注，Supp为 Support 的缩写）；3）若Ker A工申,则称A为“正规模糊集”。由入截集和核的定义显然有关系式：Ker A=A 1，即核就是模 糊集合中隶属度为1的元素组成的经典集合。由定义还可得关系 式：Supp A=A0，即支集为入=0时 模糊集合的强集合，换言之, 支集是模糊集合中隶属度不为零的元素组成的经典集合。例226设A为整数集合中表示“接近5的整数”模糊集 合，其隶属函数在例221中给出。则有Ker A = 5 ；Supp A = 3 , 4 , 5 , 6 ,

50、 7 o25 模糊集合代数运算模糊集合的代数运算事实上是对相应的隶属函数进行特定的 运算，并且由此得到新的隶属函数，从而确定处新的模糊集 合 运算结果。定义2-16令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素 x：（1）A =0，当且仅当卩（x）三0; A = X,当且仅当卩（x）三1。AA（2）A包含于B内，当且仅当卩（x） W卩（x）。AB（3）A与B相等，当且仅当卩（x）=卩（x）。AB由模糊集合及其隶属函数概念不难得出： 0 W 卩（x） V 卩（x） w 1;AB ow 卩（x） A p（x） W1 ；AB 0w1p （x）w1。A定义2-17令A、B为论域X中的模糊集合，对于任

51、意X中的元素 x ：(1) A 与 B 之“并集”记为 AUB = J (A(x)VB(x)xeXx即模糊集合A U B的隶属函数卩(x) = maxAUB( p ( x), p ( x)AB记作 p (x) V p(x)或 A (x)VB(X)。AB(2) A 与 B 之“交集”记为AQB = J (A(x)AB(x)xgXx即模糊集合A A B的隶属函数p (x) = minAAB( p ( x), p ( x)AB记作p (x)Ap (x) 或 A(x)AB(x)。AB(3) A的“补集”(又称“余集”)记为 A = J (1A(x)x即模糊集合A的隶属函数卩(x) = 1 卩(X)或记

52、为 AA1A(x) 。定义 217 中的模糊集合并、交运算还可以推广至任意多个。设A.为模糊集合，且iWI (I为某种下标集合)，则有：i(1) 令 A = UA，则定义：卩(x)=(x)；i iAzgI a(2) 令 a=nA，则定义：卩(x)=(X)。1AIGI AiIwI例227 设A=X , x2 , x3 , x4为一个4人集合，X上的模糊集合A表示“x是高个子”A = (x , 0.6) , (x , 0.5) , (x , 1) , (x,0.4) ;模糊集合B表示“x是胖子”B = (x , 0.5) , (x , 0.6) , (x , 0.3) , (x , 0.4) 。则

53、模糊集合“x或高或胖”为：AUB = (x , 0.6 V0.5) , (x , 0.5 V0.6) , (x , 1 V0.3) , (x ,0.4V0.4) = (x , 0.6) , (x , 0.6) , (x , 1) , (x , 0.4) ；模糊集合“x又高又胖”为：AAB = (x , 0.6 A0.5) , (x , 0.5 A0.6) , (x , 1 A0.3) , (x ,0.4A0.4) = (x , 0.5) , (x , 0.5) , (x , 0.3) , (x , 0.4) 模糊集合“x个子不高”为：A = (x , 10.6) , (x , 10.5) ,

54、(x , 11) , (x , 10.4) = (x , 0.4) , (x , 0.5) , (x , 0) , (x , 0.6) 在经典集合论中讨论的各种集合性质对于模糊集合，除个别 之外，都依然有效。令A、B、C均为论域X中的模糊集合，则 满足：(1)交换律：AUB = BUA；A n b = b n Ao( 2) 结合律： AU( BU C) =( AU B)U C；AQ(BQC) = (AQB)QCo(3) 分配律：AU(BQC) = (AUB)n(AUC)；AQ(BUC) = (AQB)U(AnC)。(4) 幕等律：AUA=A；AnA=Ao( 5) 吸收律： AU( An B) = A；An( AU B) = A。( 6) 对偶律： ( AU B) = An B； ( An B) = AU B。( 7) 对合律： ( A) =A(8)同一律：AU 申=A；An X=A。( 9) 零 律： AU X=X；A n申=申o这些运算性质均可通过直接由它们的隶属度来证明。现以对偶律(德莫根律