高中全程复习方略配套等差数列及其前n项和2ppt课件

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1、第二节 等差数列及其前n项和三年三年1212考考 高考指数高考指数:1.1.了解等差数列的概念；了解等差数列的概念；2.2.掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n n项和公式；项和公式；3.3.能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知能在详细的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识处理相应的问题；识处理相应的问题；4.4.了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.1.1.等差数列的通项公式与前等差数列的通项公式与前n n项和公式是调查重点；项和公式是调查重点；2.2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质运用归纳法、累加法、倒序相

2、加法、方程思想、函数的性质处理等差数列问题是重点，也是难点；处理等差数列问题是重点，也是难点；3.3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合那么以解答题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合那么以解答题为主题为主.1.1.等差数列的定义等差数列的定义普通地，假设一个数列从第普通地，假设一个数列从第2 2项起，每一项与它的前一项的差项起，每一项与它的前一项的差等于等于_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的叫做等差数列的_，普通用字母，普通用字母d d表示；定义的表达式表示；定义的表达式为：为：_(nN_(nN*).).同一个常数同一个常

3、数公差公差an+1-an=dan+1-an=d【即时运用】【即时运用】判别以下数列能否为等差数列判别以下数列能否为等差数列(请在括号中填写请在括号中填写“是或是或“否否)(1)(1)数列数列0 0，0 0，0 0，0 0，0 0，()()(2)(2)数列数列1 1，1 1，2 2，2 2，3 3，3 3，()()(3)(3)数列数列 ()()(4)(4)数列数列a,2a,3a,4aa,2a,3a,4a，()()2345，【解析】【解析】(1)(4)(1)(4)中从第二项开场，每项与前一项的差为同一常中从第二项开场，每项与前一项的差为同一常数；而数；而(2)(3)(2)(3)并不是同一常数，故并

4、不是同一常数，故(1)(4)(1)(4)为等差数列，为等差数列，(2)(3)(2)(3)不是不是.答案答案:(1):(1)是是 (2)(2)否否 (3)(3)否否 (4)(4)是是2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式假设等差数列假设等差数列anan的首项是的首项是a1a1，公差是，公差是d d，那么其通项公式为，那么其通项公式为an=_an=_；a1+(n-1)da1+(n-1)d【即时运用】【即时运用】(1)(1)在等差数列在等差数列anan中，中，a5=10,a12=31,a5=10,a12=31,那么数列的通项公式为那么数列的通项公式为_._.(2)(2)等差数列等差数列1010

5、，7 7，4 4，的第的第2020项为项为_._.【解析】【解析】(1)a5=a1+4d,a12=a1+11d,(1)a5=a1+4d,a12=a1+11d,解得解得an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)an=a1+(n-1)d=-2+(n-1)3=3n-5.3=3n-5.11a4d10a11d311a2,d3(2)(2)由由a1=10,d=7-10=-3,n=20,a1=10,d=7-10=-3,n=20,得得a20=10+(20-1)a20=10+(20-1)(-3)=-47.(-3)=-47.答案答案:(1)an=3n-5 (2)-47:(1)an=3n-5 (2)-473.3.等差

6、中项等差中项假设假设a a，A A，b b成等差数列，那么成等差数列，那么A A叫做叫做a a，b b的等差中项，且的等差中项，且A=.A=.ab2【即时运用】【即时运用】(1)A=(1)A=是是a a，A A，b b成等差数列的成等差数列的_条件条件.(2)(2)假设等差数列假设等差数列anan的前三项依次为的前三项依次为a,2a+1,4a+2,a,2a+1,4a+2,那么它的那么它的第五第五项为项为_._.ab2【解析】【解析】(1)(1)假设假设A=,A=,可知可知2A=a+b,2A=a+b,可推出可推出A-a=b-A,A-a=b-A,所以所以a,A,ba,A,b成等差数列；反之，假设成

7、等差数列；反之，假设a,A,ba,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A=.A=.故故A=A=是是a a，A A，b b成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件.(2)(2)由题意知由题意知2a+12a+1是是a a与与4a+24a+2的等差中项，即的等差中项，即 ,解得解得a=0,a=0,故数列故数列anan的前三项依次为的前三项依次为0 0，1 1，2 2，那么，那么a5=0+4a5=0+41=4.1=4.答案答案:(1):(1)充要充要 (2)4 (2)4ab2ab2ab2a4a22a12 4.4.等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式假设知等差数列假设知等差数列anan，首项

8、，首项a1a1和末项和末项anan，那么其前，那么其前n n项和公式项和公式Sn=Sn=，或假设等差数列，或假设等差数列anan的首项是的首项是a1a1，公差是，公差是d d，那，那么其么其前前n n项和公式项和公式Sn=.Sn=.1nn aa21n n1nad2【即时运用】【即时运用】(1)(1)在等差数列在等差数列anan中，中，a1=5,an=95,n=10,a1=5,an=95,n=10,那么那么Sn=_.Sn=_.(2)(2)在等差数列在等差数列anan中，中，a1=100,d=-2,n=50,a1=100,d=-2,n=50,那么那么Sn=_.Sn=_.(3)(3)在等差数列在等差

9、数列anan中，中，d=2,n=15,an=-10,d=2,n=15,an=-10,那么那么Sn=_.Sn=_.【解析】【解析】(1)(1)(2)(2)=50=50(100-49)=2 550.(100-49)=2 550.(3)(3)由由an=a1+(n-1)dan=a1+(n-1)d得得,-10=a1+(15-1)-10=a1+(15-1)2,2,解得解得a1=-38,a1=-38,答案答案:(1)500 (2)2 550 (3)-360:(1)500 (2)2 550 (3)-3601nnn aa10595S500.22n1n n15049Snad50 100(2)22 1nnn aaS

10、21538 10360.2 等差数列的根本运算等差数列的根本运算【方法点睛】【方法点睛】1.1.等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的通性通法等差数列运算问题的普通求法是设出首项等差数列运算问题的普通求法是设出首项a1a1和公差和公差d d，然后由通，然后由通项公式或前项公式或前n n项和公式转化为方程项和公式转化为方程(组组)求解求解.2.2.等差数列前等差数列前n n项和公式的运用方法项和公式的运用方法等差数列前等差数列前n n项和公式有两个，假设知项数项和公式有两个，假设知项数n n、首项、首项a1a1和第和第n n项项anan，那么利用，那么利用 ,假设知项数假设知项数n n、首

11、项、首项a1a1和公差和公差d d，那么，那么利用利用1nnn aaS2n1n n1 dSna.2【例【例1 1】(1)(2021(1)(2021福州模拟福州模拟)知等差数列知等差数列anan的前的前n n项和为项和为Sn,Sn,假设假设S1=1,S1=1,那么那么 的值为的值为_._.(2)(2021(2)(2021湖北高考湖北高考)“竹九节问题：现有一根竹九节问题：现有一根9 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 4节的容积节的容积共为共为3 3升，下面升，下面3 3节的容积共节的容积共4 4升，那么第升，那么第5 5节的容积为节的容

12、积为_升升.(3)(2021(3)(2021福建高考福建高考)知等差数列知等差数列anan中，中，a1=1,a3=-3.a1=1,a3=-3.求数列求数列anan的通项公式；的通项公式；假设数列假设数列anan的前的前k k项和项和Sk=-35Sk=-35，求，求k k的值的值.42S4S64SS【解题指南】【解题指南】(1)a1=S1=1,(1)a1=S1=1,根据根据 ,求得公差求得公差d,d,即可处理问即可处理问题题.(2)(2)转化为关于转化为关于a1,da1,d的方程组，先求的方程组，先求a1,d,a1,d,再求再求a5a5，或直接转化，或直接转化为为关于关于a5,da5,d的方程组

13、求解的方程组求解.(3)(3)求出公差求出公差d d后直接写出后直接写出anan，求出，求出SnSn，根据，根据Sk=-35Sk=-35求求k k的值的值.42S4S【规范解答】【规范解答】(1)(1)设数列设数列anan的公差为的公差为d,d,依题意得依题意得S2=2+d,S2=2+d,且且S4=4S2,S4=4S2,4+6d=8+4d,d=2,4+6d=8+4d,d=2,答案答案:44 3S4 1d46d,2 64646 5S6 1d36,24 3S4 1d16,2S369.S164 94(2)(2)方法一：设自上第一节竹子容量为方法一：设自上第一节竹子容量为a1,a1,依次类推，数列依次

14、类推，数列anan为等差数列为等差数列.又又a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4.a7+a8+a9=3a1+21d=4.解得解得1137a,d,22665113767aa4d4.226666 方法二：设自上第一节竹子容量为方法二：设自上第一节竹子容量为a1a1，那么第九节容量为，那么第九节容量为a9,a9,且且数数列列anan为等差数列为等差数列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即即4a5-10d=3 4a5-10d=3 3a5+9d=4 3a

15、5+9d=4 联立解得联立解得答案答案:567a.666766(3)(3)设等差数列设等差数列anan的公差为的公差为d d，由由a1=1,a3=-3a1=1,a3=-3可得可得1+2d=-31+2d=-3，解得，解得d=-2.d=-2.从而从而an=1+(n-1)an=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n.由知由知an=3-2n,an=3-2n,由由Sk=-35Sk=-35得得2k-k2=-35.2k-k2=-35.即即k2-2k-35=0k2-2k-35=0，解得，解得k=7k=7或或k=-5.k=-5.又又kNkN*,故故k=7.k=7.2nn132nS2nn.2【互动探

16、求】本例第【互动探求】本例第(3)(3)题中，假设将题中，假设将“a1=1,a3=-3“a1=1,a3=-3改为改为“a1=31,S10=S22“a1=31,S10=S22，试求，试求SnSn；这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值.【解析】【解析】S10=a1+a2+a10,S10=a1+a2+a10,S22=a1+a2+a22S22=a1+a2+a22，又，又S10=S22S10=S22，a11+a12+a22=0a11+a12+a22=0，,即即a11+a22=2a1+31d=0,a11+a22=2a1+31d=0,又又a1=31,d=-

17、2,a1=31,d=-2,Sn=na1+=31n-n(n-1)=32n-n2.Sn=na1+=31n-n(n-1)=32n-n2.112212 aa02n n1d2方法一：由知方法一：由知Sn=32n-n2,Sn=32n-n2,当当n=16n=16时，时，SnSn有最大值，有最大值，SnSn的最大值是的最大值是256.256.方法二：由方法二：由Sn=32n-n2=n(32-n),Sn=32n-n2=n(32-n),欲使欲使SnSn有最大值，应有有最大值，应有1n32,1n6),Sn=324(n6),求数列求数列anan的项数及的项数及a9+a10.a9+a10.【解题指南】【解题指南】(1)

18、(1)根据根据S2=S6S2=S6，先求，先求a4+a5a4+a5的值，再求的值，再求a5.a5.(2)(2)根据根据S3,S6-S3,S9-S6S3,S6-S3,S9-S6成等差数列求解成等差数列求解.(3)(3)根据前根据前6 6项与最后项与最后6 6项的和求出项的和求出a1+an,a1+an,再求再求n n及及a9+a10.a9+a10.【规范解答】【规范解答】(1)S2=S6(1)S2=S6，S6-S2=a3+a4+a5+a6=0S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，2(a4+a5)=0,2(a4+a5)=0,即即a4+a5=0a4+a5=0，a5=-a4=-1.a5=-a4=-1.

19、答案答案:-1:-1(2)(2)设等差数列设等差数列anan的前的前n n项和为项和为Sn,Sn,那么那么S3,S6-S3,S9-S6S3,S6-S3,S9-S6成等差成等差数数列，列，且且S3=40S3=40，S6-S3=20.S6-S3=20.S9-S6=20+(-20)=0S9-S6=20+(-20)=0，S9=S6=60.S9=S6=60.答案答案:60:60(3)(3)由题意知由题意知a1+a2+a6=36 a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 an+an-1+an-2+an-5=180 +得得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(

20、a1+an)=216(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，a1+an=36,a1+an=36,又又 ,18n=324,n=18.,18n=324,n=18.a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.1nnn aaS3242【互动探求】假设本例中第【互动探求】假设本例中第(1)(1)题条件不变，改为求此等差数列题条件不变，改为求此等差数列的前多少项的和最大，并求出最大值的前多少项的和最大，并求出最大值.【解析】在本例中第【解析】在本例中第(1)(1)题已求解出题已求解出a5=-1,a5=

21、-1,又又a4=1,a4=1,得公差得公差d=-2,d=-2,此等差数列的前此等差数列的前4 4项和，即项和，即S4S4最大最大.且且S4=1+3+5+7=16.S4=1+3+5+7=16.【反思【反思感悟】感悟】1.1.在等差数列在等差数列anan中，假设中，假设m+n=p+q=2k,m+n=p+q=2k,那么那么am+an=ap+aq=2akam+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例第是常用的性质，本例第(1)(1)、(3)(3)题都用到了这题都用到了这个性质，在运用此性质时，一定要察看好每一项的下标规律，个性质，在运用此性质时，一定要察看好每一项的下标规律，不要犯不要犯a2+a5=

22、a7a2+a5=a7的错误的错误.2.2.本例第本例第(2)(2)题也可先求题也可先求a1,d,a1,d,再求再求a7+a8+a9,a7+a8+a9,但不如用性质简单但不如用性质简单.【变式备选】等差数列【变式备选】等差数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，知，知am-1+am+1-am2=am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,0,S2m-1=38,求求m m的值的值.【解析】【解析】am-1+am+1=2am,am-1+am+1=2am,am-1+am+1-am2=2am-am2=0am-1+am+1-am2=2am-am2=0，解得解得am=0am=0或或am=2.a

23、m=2.又又a1+a2m-1=2am,a1+a2m-1=2am,am0,am=2,2m-1=19,am0,am=2,2m-1=19,解得解得m=10.m=10.12m 12m 1maaS2m 12m 1 a38,2【总分值指点】等差数列客观题的规范解答【总分值指点】等差数列客观题的规范解答 【典例】【典例】(13(13分分)(2021)(2021广州模拟广州模拟)知等差数列知等差数列anan满足：满足：a3=7a3=7，a5+a7=26a5+a7=26，anan的前的前n n项和为项和为Sn.Sn.(1)(1)求求anan及及SnSn；(2)(2)令令 (nN (nN*)，求数列，求数列bnb

24、n的前的前n n项和项和Tn.Tn.【解题指南】【解题指南】(1)(1)分析题意分析题意,列方程组求解；列方程组求解；(2)(2)将将anan代入代入bnbn后，表示出后，表示出bnbn是解题关键是解题关键.n2n1ba1【规范解答】【规范解答】(1)(1)设等差数列设等差数列anan的公差为的公差为d d，由于由于a3=7a3=7，a5+a7=26a5+a7=26，所以有，所以有解得解得a1=3,d=2a1=3,d=2，33分分所以所以an=3+2(n-1)=2n+1,an=3+2(n-1)=2n+1,.6 .6分分11a2d72a10d26，2nn n1S3n2n2n2(2)(2)由由(1

25、)(1)知知an=2n+1an=2n+1，所以所以 ，99分分所以所以 ,12 ,12分分即数列即数列bnbn的前的前n n项和项和 .13 .13分分n22n1111ba14 n(n1)2n11111()4nn1n111111T(1)4223nn111n(1)4n14(n1)nnT4(n1)【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)对于利用方程的思想联立求解在计算上容易出现对于利用方程的思想联立求

26、解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项失误，不能准确求出首项a a1 1和公差和公差d d；(2)(2)在求解数列在求解数列bbn n 的前的前n n项和时，不能熟练准确地利项和时，不能熟练准确地利用裂项公式用裂项公式.备备考考建建议议解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注在备考时要高度关注:(1)(1)对通项公式与前对通项公式与前n n项和公式记忆错误；项和公式记忆错误；(2)(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第判断一个

27、数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项一项.另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题正确地解决一些数列求和问题.1.(20211.(2021大纲版全国卷大纲版全国卷)设设SnSn为等差数列为等差数列anan的前的前n n项和，假设项和，假设a1=1,a1=1,公差公差d=2,Sk+2-Sk=24,d=2,Sk+2-Sk=24,那么那么k=()k=()(A)8 (B)7 (C)6 (D)5(A)8 (B)7 (C)6 (D)5【解析】选【解析】选D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)D.Sk+2-Sk=a

28、k+2+ak+1=2+(2k+1)2=242=24，k=5.k=5.2.(20212.(2021陕西高考陕西高考)植树节某班植树节某班2020名同窗在一段直线公路一侧名同窗在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距植树，每人植一棵，相邻两棵树相距1010米，开场时需将树苗集米，开场时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1 1到到2020依次编号，为使各位依次编号，为使各位同窗从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以同窗从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最正确坑位的编号为放置的两个最正确坑位的编号为()()(A)(

29、A)和和 (B)(B)和和(C)(C)和和 (D)(D)和和【解析】选【解析】选D.D.和和：1010(1+2+19)(1+2+19)2=3 8002=3 800；1010(1+2+8)(1+2+8)2+(1+2+11)2+(1+2+11)2 2=2 040=2 040；1010(1+2+9)(1+2+9)2+102+10(1+2+10)(1+2+10)2 2=2 000=2 000；1010(1+2+9)(1+2+9)2+102+10(1+2+10)(1+2+10)2 2=2 000=2 000；比较各个路程和可知比较各个路程和可知D D符合题意符合题意.3.(20213.(2021天津高考

30、天津高考)知知anan为等差数列，为等差数列，SnSn为其前为其前n n项和，项和，nNnN*,假设假设a3=16,S20=20,a3=16,S20=20,那么那么S10S10的值为的值为_._.【解析】由题意知【解析】由题意知解得解得答案答案:110:11011a2d16,20a190d201a20,d2 1010 9S10 202110.2 4.(20214.(2021重庆高考重庆高考)在等差数列在等差数列anan中，中，a3+a7=37,a3+a7=37,那么那么a2+a4+a6+a8=_.a2+a4+a6+a8=_.【解析】【解析】a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,a2+a4+a6+a8=37a2+a4+a6+a8=372=74.2=74.答案答案:74:74