高中数学复习专题讲座(第29讲)关于求空间距离的问题

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1、题目 高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题高考要求 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离 重难点归纳 1.空间中的距离主要指以下七种 (1)两点之间的距离 (2)点到直线的距离 (3)点到平面的距离 (4)两条平行线间的距离 (5)两条异面直线间的距离 (6)平面的平行直线与平面之间的距离 (7)两个平行平面之间的距离 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点

2、到平面的距离 在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法 求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离 (3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 2.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中。直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。另法：点平面则 点A到直线的

3、距离： ，其中，是直线的方向向量。两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量。典型题例示范讲解 例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求 (1)EF的长；(2)折起后EOF的大小 命题意图 考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题 知识依托 空间向量的坐标运算及数量积公式 错解分析 建立正确的空间直角坐标系 其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直 技巧与方法 建系方式有多种，其中以O点为原点，以、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单 解 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz, 设正方形ABCD边长为a,则A(

4、0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0) EOF=120例2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离 命题意图 本题主要考查异面直线间距离的求法 知识依托 求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得 错解分析 本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离 技巧与方法 求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、

5、或由最值法求得 解法一 如图，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离 连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离 在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为 解法二 如图，在A1C上任取一点M，作MNAB

6、1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为 解法三（向量法）如图建立坐标系，则设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且则从而有 例3如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 求 (1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离 解 (1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得QEBE

7、QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b, AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为 (2)解法一 平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离 在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh= 学生巩固练习 1 正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩

8、形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )A B 1 C D 2 三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A B C 2.6 D 2.43 如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_ 4 如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_ 5 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，

9、CC1=2，如图 (1)求证 平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离 6 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求 (1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1EAC的体积 7 如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F (1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相

10、等 8 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a (1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 参考答案 1 解析 过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45,BM=,从而MN=答案 A2 解析 交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案 C3 解析 以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD

11、的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案 a4 解析 显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD FG为EF与平面ABCD的距离，即FG= 答案 5 (1)证明 由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解 设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离 易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则

12、Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为 (3)解 由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于 6 解 (1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B

13、1EAC的高，得B1Q=a7 解 (1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中，A1B1E=45，A1B1=aA1E=a,同理A1F=a,又EF=a，A1E=a同理A1F=a,又EF=aEA1F为等腰直角三角形，EA1F=90过A1作A1NEF，则N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N=又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a=2，所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形 B1C1D1

14、D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1A1ND1,AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件 8 解 (1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离 过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC=tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC

15、中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F 课前后备注 学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养 题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地 大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系 因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有

16、效的策略思想及方法 一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变 运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅 二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来 在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面 这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了 三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力 而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系 它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解 第10页 共10页