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1、1.3 函数的一般概念函数的一般概念1映射映射2函数的概念函数的概念3几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例4函数的性质函数的性质一、映射定义定义1 1：设设X 与与 Y 是两个非空集合，若对是两个非空集合，若对 X中的每一个元素中的每一个元素 x，均可找到，均可找到 Y 中唯一确定的中唯一确定的元素元素 y 与之对应，则称这个对应是集合与之对应，则称这个对应是集合X 到集合到集合 Y 的一个映射，记为的一个映射，记为 f，或者更详细地写，或者更详细地写YXf：将将 x 的对应元的对应元 y 记作记作)(:)(xfyxxf1.映射的概念并称并称 y 为映射为映射 f 下下 x 的的像像，而，而
2、x 称为映射称为映射 f 下下 y 的的原像原像(或称为或称为逆像逆像).集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作XDf，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f(x)的集合的集合,)(,|XxxfyYyy 称为映射称为映射 f 的的值域值域，记为，记为)(XfRf或或 概括起来，构成一个映射必须具备下列三概括起来，构成一个映射必须具备下列三个个基本要素基本要素：；，即即定定义义域域集集合合XDXf)1(；，即限制值域的范围：，即限制值域的范围：集合集合YRYf)2(：对应规则对应规则 f)3(，使每个使每个Xx 有唯一有唯一确定的确定的 y=f(x)与之对应与之对应.
3、需要指出的是：需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的）映射要求元素的像必须是唯一的.（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.定义定义2 2：设设 f 是集合是集合X 到集合到集合Y 的一个映射，的一个映射，若若 f 的逆像也是唯一的，即对的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两中的任意两个不同元素个不同元素 x1 x2，它们的像，它们的像 y1 与与 y2 也满也满足足 y1 y2，则称，则称 f 为为单射单射；如果映射如果映射 f 满足满足 Rf=Y，则称，则称 f 为为满射满射；如果映射如果映射 f 既是单射，既是单射，又是满射，则称又是满射，则称
4、f 为为双射双射（又称一一对应（又称一一对应）.2 一一对应3.逆映射逆映射：逆映射：如果映射如果映射 f 是单射，则由定义是单射，则由定义，对应关系，对应关系，于是，于是是唯一确定的是唯一确定的的的即满足方程即满足方程它的逆像它的逆像对任一对任一)(,xyxfXxYRyf )(yxfxyXRgf：的的称之为称之为，上的一个映射上的一个映射到到构成了构成了fXRf,1 f记为记为逆映射，逆映射，值域为值域为其定义域为其定义域为,1ffRD .1XRf 4.4.复合映射：复合映射：那就可以构造出一个那就可以构造出一个)(1xguxUXg：和和)(2ufyuYUf：,2fgDUR 如果如果新的对应
5、关系新的对应关系)(xgfyxYXgf：的的和和也是一个映射，称之为也是一个映射，称之为gf复合映射复合映射.二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对对象象,可以可以说说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的.因此我因此我们对们对函数的概念以及常函数的概念以及常见见的一些函数的一些函数应应有一个清楚有一个清楚的的认识认识.例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)因变量因变量自变量自变量.),()(ffDxxfyyXfR RDfRD:，则则称称映映
6、射射设设数数集集记为记为上的函数上的函数为定义在为定义在,D)(xfy D 称为称为定义域，定义域，记作记作Df，即，即 Df=D.函数值的全体构成的数集称为函数值的全体构成的数集称为值域，值域，记为：记为：定义定义.1()0 x)(0 xf对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyfXDYfX21xy 例例如如，1,1:D211xy 例例如如，)1,1(:D自变量自变量因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表
7、示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的 函数的表示法.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC 此函数称为绝对值函数,其定义域为D(,+),其值域为Rf 0,+).例 6.函数0 0|xxxxxy.(2)(1)常值函数 yc.其定义域为D(,+),其值域为Rf c.下页三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 (3)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx sgn 其定义域为D(,+),其值域为Rf 1,0,1.(4)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线x其定义域为D=(-,+),其值域
8、为 =Z.fR（5）“非负小数部分”函数 ,.yxx x +它的定义域是,0,1.fDR +值域是 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6)狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为 =0,1.fR(7)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgxo)(xf)(xg在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.0,10,12)(,2xxxxxf例例如如12
9、xy12 xy分段函数分段函数例例2 2.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设+xfxxxf解解 +23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故三、函数的一些几何性质M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf f(x)sin x在(,+)上是有界的:|sin x|1.函数xxf1)(在开区间(0,1)内是无上界的.Mxxf111)(,所以函数无上界.函数xxf1)(在(1,
10、2)内是有界的.这是因为,对于任一 M1,总有1x:1101Mx,使 下页有界函数举例 例例32函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两
11、两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI),()()2(21xfxf 恒恒有有3函数的奇偶性函数的奇偶性:有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf 偶函数偶函数yx)(xf ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 都内的任何函数证明定义在对称区间例)(),(.4xfll.与一个偶函数之和可以表示成一个奇函数:证构造两个函数，设法由)(xf使得一个是奇函数一个是偶函数，).(xf且两者之和恰为),()(21)(xf
12、xfxF+令)()(21)(xfxfxG)()(21)(xfxfxF+),(xF).()()(xGxFxf+且)()(21)(xfxfxG)(xG,)(是偶函数xF,)(是奇函数xG所以因为.这种表示法是唯一的我们还可以进一步证明我们只要能证明，)()(),()(xGxQxFxH.问题就能获得解决,)(是奇函数xQ,)(是偶函数设xH且)()()(xQxHxf+)()(xQxH)()()(xQxHxf+从而:)2(+)1()()(21)(xfxfxH+)()(21)(xfxfxG)(xF:)2()1()(xG.故表示法是唯一的)1()2(4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其
13、最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个正)()(xflxf+且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立.sin)(.5不是周期函数证明函数例xxxf+:证.通常采用反证法证明函数不是周期函数,sin)(Txxxf有周期假设函数+),()(xfTxf+根据有xxTxTxsin)sin(+即,sin)sin(xTxT+Rx得取,0 x0sin+TT由此推得0T这与周期定义相矛盾，.sin)(不是周期函数故xxxf+
高等数学课件：第1章 函数的概念
