数字信号处理：第三章 离散傅立叶变换

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1、连续时间、连续频率连续时间、连续频率傅里叶变换傅里叶变换连续时间、离散频率连续时间、离散频率傅里叶级数傅里叶级数离散时间、连续频率离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换时时 域域频频 域域 这是连续时间，非周期信号这是连续时间，非周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到连续的傅立叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数的、非周期的频谱密度函数X(j)。dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(时域连续时域连续频域非周期频域非周期时域时域非周期非周期频域频域连续连续 这是连续时间，周期信号这是连续时间，周期信号

2、x(t)的傅立叶变换。它得到离散的的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号例如信号x(t)=sin100 t只只有一个频率分量。有一个频率分量。2/2/00000)(1)(TTtjkdtetxTjkX ktjkejkXtx0)()(000022TF 其其中中，X(jK 0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。为谐波序号。时域时域周期周期频域频域离散离散 nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(由第一章采样定理的知识，我们由第一章采样定理的知识，我们知道：时域离散，将导致频域周期知道：时域离

3、散，将导致频域周期化，且这个周期是化，且这个周期是 s s。时域离散时域离散频域周期频域周期 上面所讲的三种傅立叶变换至少在一个域内是连续的，上面所讲的三种傅立叶变换至少在一个域内是连续的，不不适于计算机运算适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计算机运算。算机运算。思路：从序列的傅立叶变换出发，若时域为离散的序列，则频思路：从序列的傅立叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样，人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周人为的使其离散化，这样，

4、频域的离散又导致时域的周 期化。于是有：期化。于是有：时域时域离散、离散、周期周期频域频域周期、离散周期、离散 DFT只计算离散点（基频只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频的整数倍处）的频谱，而不是连续函数谱，而不是连续函数5、栅栏效应、栅栏效应改善方法：改善方法：增加频域抽样点数增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密。时域补零），使谱线更密。，它它的的基基频频序序列列为为：对对)(nxnjNene 2)(1次次谐谐波波序序列列为为：它它的的 kknjkNene)(2)(可以看出，离散傅立叶级数的谐波成分可以看出，离散傅立叶级数的谐波成分：knjnrNkjNNee 22)(这说明，这说明

5、，。即：。即：)()(nenekrNk 的的一一个个周周期期序序列列是是周周期期为为设设Nnx)(为为任任意意整整数数，rrNnxnx)()(注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数注：不论是离散的，还是连续的周期序列，均可用傅立叶级数 表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。表示。离散的周期序列用离散傅立叶级数表示。(任一个周任一个周 期序列均可分解为基波、二次、三次期序列均可分解为基波、二次、三次、k k次谐波的组合次谐波的组合)。连续时间连续时间周期信号周期信号离散时间离散时间周期信号周期信号周期周期基频基频基频序列基频序列K K次谐波序列次谐波序列0TN002T N 2

6、0tjtjTee020 njnjNee 20tjkTe02 njkNe 2 对离散傅立叶级数，只能取对离散傅立叶级数，只能取k=0k=0到到N-1N-1的的N N个独立谐波分量，个独立谐波分量，我们令：我们令：102)(1)(NknkjNekXNnx说明：这里，说明：这里，是是K K次谐波的系数。次谐波的系数。1/1/N N看作是一个人为从看作是一个人为从 中提取的一个常数，这是为了后面运算的方便。中提取的一个常数，这是为了后面运算的方便。)(kX)(kX求解求解 系数：系数：)(kXrjrNjNnrnjNNNeeNeN 222111110 rmmNr其其它它为为任任意意整整数数，01则：则：

7、1010)(1022)(1)(NnNknrkjNnrnjNNekXNenx 1010)(21)(NkNnnrkjNeNkX)(rX 说明：只有当：说明：只有当：k-r=mN 时，时，中括号内才为中括号内才为1，而因为：而因为：k0,N-1，所以有取所以有取m=0，即：即：k=r。若把上式中的若把上式中的r换成换成k，得到：得到：102)()(NnknjNenxkX 102)(1)(NknkjNekXNnx 可以看出可以看出 的周期性：的周期性：)(kX 10)(2)()(NnnmNkjNenxmNkX 102)(NnknjNenx)(kX 周期为周期为N N的的 的离散傅立叶级数只有的离散傅立

8、叶级数只有N N个不同的系数个不同的系数 。)(kX)(nx周期序列的离散傅立叶级数对周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)DFS)：102)(1)(NknkjNekXNnx 102)()(NnknjNenxkX对对可可写写为为：则则若若令令：DFSeWNjN,2 10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnx 10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX说明：只要知道周期序列一个周期的内容，其说明：只要知道周期序列一个周期的内容，其DFS、IDFS就可以就可以 都可以得到，所以说实际上只有都可以得到，所以说实际上只有N个序列值有信息。个序列值有信息。周期序列与有限长序列存在这样的联系：

9、周期序列与有限长序列存在这样的联系：将有限长序列进行将有限长序列进行周期延拓周期延拓就可得到周期序列就可得到周期序列离散傅立叶级数与离散傅立叶级数与Z Z变换的关系：变换的关系：周期序列周期序列 可以看作是对可以看作是对 的一个周期的一个周期x(n)x(n)作作z z变换变换，然后将，然后将z z变换在变换在z z平面单位圆上按等间隔角平面单位圆上按等间隔角2 2/N N抽样而得到。抽样而得到。)(kX)(nx令：令：nNnnxnx其其它它010)()(则则x(n)x(n)的的z z变换为：变换为：10)()()(NnnnnznxznxzX 10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX又又k

10、NjkNeWzzXkX 2)()(10()()NnkNnX kx n W解：根据定义求解 560()nknx n W22266222345666141210 8610jkjkjkjkjkeeeee(0)60(1)93 3(2)33(3)0(4)33(5)93 3XXjXjXXjXj例：已知序列例：已知序列x(n)x(n)是周期为是周期为6 6的周期序列（如图所示），试求的周期序列（如图所示），试求 其其DFSDFS系数。系数。4()(),()8()()x nR nx nNx nx nDFS例：已知序列将以为周期 进行周期延拓成，求的。10()()NnkNnX kx n W780()nknx n

11、 W222238881jkjkjkeee 380nknW(0)4(1)121(2)0(3)121(4)0(5)121(6)0(7)121XXjXXjXXjXXj 由于可用抽样由于可用抽样z z变换解释变换解释DFSDFS，故故DFSDFS的许多性质与的许多性质与z z变换相似变换相似。但。但 与与 都具有周期性，所以都具有周期性，所以DFSDFS在时域和频域之间存在在时域和频域之间存在着严格的对偶关系，这是序列着严格的对偶关系，这是序列z z变换所不具有的。变换所不具有的。)(kX)(nx)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX ，令令：1 1、线性、线性)()()()(2121k

12、XbkXanxbnxaDFS 2 2、序列的移位、序列的移位mkNjmkNekXWkXmnxDFS 2)()()(3 3、调制特性、调制特性 10)()(NnknNnlNnlNWnxWnxWDFS 10)()(NnnlkNWnx)(lkX 4 4、周期卷积和、周期卷积和)()()(21kXkXkY 若若：10121021)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny则则：)()()()(21kXkXIDFSkYIDFSny 证证：1021)()(1NnknNWkXkXN 102101)()(1NnknNNmkmNWkXWmxN 10)(2101)()(1NnknmNNmW

13、kXmxN 1021)()(Nmmnxmx说明：周期卷积与线性卷积的不同之处：说明：周期卷积与线性卷积的不同之处：参与周期卷积的序列是周期序列。参与周期卷积的序列是周期序列。周期卷积和只在一个周期上周期卷积和只在一个周期上(0(0N-1)N-1)进行。进行。mmnxmxny)()()(21线性卷积：线性卷积：v 周期序列只有有限个序列值有意义，我们可以把长度为周期序列只有有限个序列值有意义，我们可以把长度为N N的的 有限长序列看作是周期为有限长序列看作是周期为N N的周期序列的一个周期，就可以的周期序列的一个周期，就可以 利用离散傅立叶级数利用离散傅立叶级数DFSDFS来计算了。来计算了。设

14、设x(n)x(n)为有限长序列，点数为为有限长序列，点数为N N，在在n=0n=0N-1N-1处有值。处有值。为为x(n)x(n)的以的以N N为周期的周期延拓序列。为周期的周期延拓序列。)(nx nNnnxnx其其它它010)()(rrNnxnx)()(有时也写成：有时也写成：)()()(nRnxnxN 与与x(n)x(n)的关系：的关系：)(nx 的第一个周期：的第一个周期：n=0n=0N-1N-1定义为定义为“主值区间主值区间”。)(nx x(n)x(n)为为 的的“主值序列主值序列”。)(nx 对不同的对不同的r r值，值，x(n+rNx(n+rN)之间彼此不重叠，故可写为：之间彼此不

15、重叠，故可写为：NnxNnxnx)()()(模模其中，其中，(n n模模N)N)或或(n)n)N N数学上表示数学上表示“n n对对N N取余数或取模值取余数或取模值”。例：例：的周期为的周期为N=9N=9，求求 和和 所对应的所对应的x(n)x(n)。)(nx)25(x)5(x)7()25()925()25(9xxxx 模模)4()5()95()5(9xxxx 模模 同理，对频域的周期序列同理，对频域的周期序列 也可看成是有限长序列也可看成是有限长序列 的周期延拓，的周期延拓，为为 的主值序列。的主值序列。)(kX)(kX)(kX)(kXNkXkX)()()()()(kRkXkXN 从从DF

16、S和和IDFS的表达式可知，求和只是在的表达式可知，求和只是在n=0N-1的主值的主值区间上进行，所以它完全适用于区间上进行，所以它完全适用于x(n)和和X(k)这两对主值序列。由这两对主值序列。由此我们得到此我们得到有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)的定义的定义：10)(1)()(10 NnWkXNkXIDFTnxNknk10)()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN注意：注意：回忆回忆DFS，我们发现他们的形式基本一致，只是我们发现他们的形式基本一致，只是DFT仅考虑仅考虑 主值序列主值序列(有限长有限长)，而，而DFS考虑的是一个周期序列。因此考虑的

17、是一个周期序列。因此 DFT的定义形式中一定会有对的定义形式中一定会有对主值区间范围主值区间范围的的说明。的的说明。x(n)与与X(k)均有均有N点独立值，为点独立值，为N点序列，信息量相当。点序列，信息量相当。凡是说到凡是说到DFT，有限长序列均是作为周期序列的一个周期来有限长序列均是作为周期序列的一个周期来 表示的，它表示的，它隐含了周期性隐含了周期性。DFT的真正幕后英雄是的真正幕后英雄是DFS。DFTz与序列的DTFT和 变换的关系：10()()NnnX zx n z10()()NnkNnX kx n W10()()Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)x(n)的的N

18、N点点DFTDFT是是x(n)x(n)的的DTFTDTFT在区间在区间0,20,2上的上的N N点等间隔点等间隔抽样。抽样。2()jkkNNz WeX zx(n)x(n)的的N N点点DFTDFT是是x(n)x(n)的的z z变换在单位圆上的变换在单位圆上的N N点等间隔抽样；点等间隔抽样；4()(),()816DFTx nR nx n例：已知序列求的 点和点。DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeeeee32sin 2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 点 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28j

19、kkek38sin2sin8jkkek 16 16x nDFTN 求的点 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek )()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT )()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT 一、线性一、线性1.两序列都是两序列都是N点时点时 如果如果则有：则有：)(1nx)(2nx2.和和 的长度的长度N1和和N2不等时，不等时，选择选择 为变换长度为变换长度,短者进行短者进行补零达到补零达到N点。点。21,maxNNN 这里包括三层意思：这里包括三层意思：(1)先将先将x(n)进行

20、周期延拓进行周期延拓(2)再进行移位再进行移位(3)最后取主值序列：最后取主值序列：nRmnxnxNNm )(Nnxnx)(Nmnxmnx )(nRmnxnxNNm )(二二、序列的圆周移位序列的圆周移位1.定义定义一个有限长序列一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为的圆周移位定义为n)(nx0N-1nNnxnx)()(0周期延拓周期延拓n Nnxnx2)2(0左移左移2n )()2(nRnxNN 0取主值取主值N-1 由于我们取主值序列，即只观察由于我们取主值序列，即只观察n=0到到N-1这一主值这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它

21、相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个排列一个N等等分的圆周上，序列的移位就相当于分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故在圆上旋转，故称作称作。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列序列:。)(nx2.圆周移位的含义圆周移位的含义有限长序列的有限长序列的圆周移位圆周移位导致导致频谱线性相移频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。而对频谱幅度无影响。()()()()mmNNXkDFT xnDFT x nmRn()mkNWX k()()()()NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证：()(

22、)NDFS x nm Rk()()mkNNWX k Rk()mkNWX kv 时域循环时域循环(圆周圆周)移位定理移位定理2()()()()jnlnlNNNNIDFT X klR kW x nex n()()()()NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()()NIDFS X kl Rn()()()nlnlNNNW x n RnW x nv 频域频域循环循环(圆周圆周)移位定理移位定理三、共轭对称性三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量)()(21)()(21)()()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxn

23、xnNxnxnxnxnx 同样，有同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe 周期为周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为对称分量分别定义为:2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep 由于由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN 所以所以)()()(nx

24、nxnxopep 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为称分量分别定义为:*1()()()2ex nx nxn*1()()()2ex nx nxn()Nx n*()NxNn3.共轭对称特性之一共轭对称特性之一)()()()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN 则则：，如如果果：证明：证明：10*)()()(NnNnkNkRWnxnxDFT 10*)()(NnNnkNkRWnx 10*)()(NnNnkNNnNkRWWnx 10*)()()(NnNnkNNkRWnx)()(*kRkNXNN 4.共轭对称特

25、性之二共轭对称特性之二)()()()()(*kXnRnxDFTnxDFTkXNN 则则：，如如果果：证明：证明：)()()()()()()()(*10*0)1(*1010*kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN 可知：可知：)()()(*kRkXnxNN)()()(*kXnRnxNN 5.共轭对称特性之三共轭对称特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN 则：则：如果：如果：的的圆圆周周共共轭轭对对称称分分量量。该该序序列列复复数数序序列列实实部部的的DFTDFT 证明：证明：)()

26、()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN 6.共轭对称特性之四共轭对称特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkXopNNN 则则：如如果果：。的的圆圆周周共共轭轭反反对对称称分分量量该该序序列列的的复复数数序序列列虚虚部部乘乘以以DFTDFTj 证明：证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN 7

27、.共轭对称特性之五、六共轭对称特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep ，同同样样，可可证证明明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1(kXkXkXopep 、)()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXNNepNNepepep 、)()()()()()()3(*kRkNXkRkXkXkXNNopNNopopop 、9.实、虚序列的对称特性实、虚序列的对称特性 当当x(n)为实序列时，根据特性之三，则为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据又据Xep(

28、k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据又据Xop(k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkNXkXNNopop )()()(*kRkNXkXNN )()()(*kRkNXkXNN ()()x nX kRe()()epx nXkIm()()opjx nXk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k总结：共轭对称性总结：共轭对称性Re()()()epx nXkX kIm()0()0opjx nXk()Re()epxnX k()Im()opxnjX k纯虚序

29、列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性Re()0()0epx nXkIm()()()opjx nXkX k()Re()epxnX k()Im()opxnjX k实数序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性11()()DFT x nX k22()()DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12()()()w nx njx n12()()()()W kDFT w nDFT x njx n则12()()DFT x njDFT x n12()()X kjXk例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用一次点的实数序列，试用一次 N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的DF

30、T:1()Re()x nw n由得11()()Re()()epX kDFT x nDFTw nWk*1()()()2NNNWkWNkRk2()Im()x nw n由得221()()Im()()opXkDFT x nDFTw nWkj*1()()()2NNNWkWNkRkj)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN)30()(304 kWnxnnk)30(432134244 kWWWkkk1043214321)0(040404 WWWXjWWWWWWX222243214321)1(141414342414 26443214321)2(242424644424 WWWWWWXjX

31、X22)1()3(*例：求序列：例：求序列：x(n)=(n)+2 (n-1)+3(n-2)+4 (n-3)的的4点点DFT。)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN 308)(nnkWnx)70(432138288 kWWWkkk1043214321)0(080808 WWWXjWWWX)233()21(4321)1(382818 jWWWX224321)2(684828 jWWWX)233()21(4321)3(986838 243214321)4(1288848 WWWXjXX)233()21()3()5(*jXX22)2()6(*jXX)233()21()1()7(*

32、例：求序列：例：求序列：x(n)=(n)+2 (n-1)+3(n-2)+4 (n-3)的的8点点DFT。四、圆周卷积和四、圆周卷积和 1.时域卷积定理时域卷积定理 设设x1(n)和和x2(n)均为长度为均为长度为N的有限长序列，且的有限长序列，且有：有：和和 )()(11kXnxDFT )()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY 如果：如果：)()(kYIDFTny 则：则：N)(2nx )()(11021nxnRmnxmxNNmN N)(1nx )()(21012nxnRmnxmxNNmN 12()()()()()Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若，则 1

33、120()()Nmx m x nm1120()()()()()()NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120()()NNNmxmxnm1120()()NNmx m xnm圆周卷积过程：圆周卷积过程：1 1）补零）补零(当两序列不等长时当两序列不等长时)2 2）周期延拓）周期延拓(有限长序列变周期序列有限长序列变周期序列)3 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列(周期序列的翻褶周期序列的翻褶)4 4）圆周移位）圆周移位 5 5）相乘相加）相乘相加x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-421321321

34、3nx(-n)0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213例：求下面两序列的例：求下面两序列的6点圆周点圆周(循环循环)卷积。卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx102nx2(n)1321 1）补零）补零 补到补到6 6点点53 45102 3nx1(n)14111102 3m4 5)(1mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-62)2)周期延拓周期延拓 N=6N=6102 3mx1(m)14 5102mx2(m)1323 45132132132102m3 45)(2mx6 7

35、8 9 10 11-1-2-3-4-5-62)2)周期延拓周期延拓 N=6N=6102m3 41325)(2mx1321326 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6102m3 41325)(2mx 6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6132132102 3m41511)(1mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-63 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列102m1323 45)()(62mRmx 102m1323 45)()1(62mRmx y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=3102 3m14 5)()(61mRmxy(2)=3*1+2

36、*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54 4）圆周移位）圆周移位5 5）相乘相加）相乘相加 的长度为的长度为 的长度为的长度为)(1nx)10(11 NnN)(2nx)10(22 NnN mNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()(五、五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积线性卷积它们线性卷积为它们线性卷积为 的非零区间为的非零区间为 的非零区间为的非零区间为)(1mx101 Nm)(2mx102 Nmn)(1nx1012n)(2nx1012n32021 N

37、Nn两不等式相加得两不等式相加得1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 2 1这也就是这也就是 不为零的区间不为零的区间)(nyl x1(n)的长度为的长度为N1,x2(n)的长度为的长度为N2,现构造长度均现构造长度均为为L长的序列长的序列,即将即将 x1(n)和和x2(n)补零点补零点;然后再对它然后再对它们进行周期延拓们进行周期延拓，得到：，得到：LLnxnx)(,)(21 1021)()(LmLLmnxmxny2.用圆周卷积计算线性卷积用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.计

38、算周期卷积：计算周期卷积：1021)()(LmLmnxmxny 因此因此故故由于由于,1011mxmxLmL rLmmrLnxmx)()(2101 rLmmrLnxmx1021)()(rlrlny)(圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列.可见可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为为L。由于由于 有有 个非零值个非零值,所以周期所以周期L必须满足必须满足:)(nyl121 NN121 NNL)()()()()(nRrlnynRnynyLrlL )()()()(2121nxnxnxLnx 1,21 NNL 又

39、由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：例：求下面两序列的线性卷积和例：求下面两序列的线性卷积和4点、点、5点、点、6点、点、7点圆周卷积点圆周卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx(1)线性卷积线性卷积 L=N1+N2-1=5+3-1=71 1 1 1 11 2 33 3 3 3 32 2 2 2 21 1 1 1 11 3 6 6 6 5 3(2)4点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n31 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6

40、5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得4点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0)=6+1=7x(1)=5+3=8x(2)=3+6=9x(3)=6(3)5点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n41 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得5点圆周卷积结果。点圆周

41、卷积结果。-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0)=5+1=6x(1)=3+3=6x(2)=6x(3)=6x(4)=6(4)6点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n51 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得6点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0)=3+1=4x(1)=3x(2)=6x(3)=6x(4)=6x(5)=5(5)7点圆周

42、卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n6 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得7点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。n-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(0)=1x(1)=3x(2)=6x(3)=6x(4)=6x(5)=5x(6)=3补补L-N1个零个零x(n)L点点DFT补补L-N2个零个零h(n)L点点DFTL点点IDFTy(n)=x(n)*h(n)nz变换法变换法nDFT法法 mmnhmxnhnxn

43、y)()()(*)()()()()()(zYzXIZTzYIZTny LN1+N2-1小结：线性卷积求解方法小结：线性卷积求解方法n时域直接求解时域直接求解 1、频域抽样定理频域抽样定理要研究的问题要研究的问题)(nxMM点点)(jeX单位圆上取单位圆上取N点点（频域采样）频域采样）)(kX序列傅立叶变换序列傅立叶变换=？离散傅立叶反变换离散傅立叶反变换)(nxNN点点 nnZnxZX)()(nnkNWzWnxZXkXkN)()()(2、由频域抽样恢复序列、由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列一个绝对可和的非周期序列x(n)的的Z变换为变换为)(kX 由于由于x(n)绝对可和绝对可和,故

44、其傅氏变换存在且连续故其傅氏变换存在且连续,也也即其即其Z变换收敛域包括单位圆。这样变换收敛域包括单位圆。这样,对对X(Z)在单位在单位圆上圆上N等份抽样等份抽样,就得到就得到对对 进行反变换进行反变换,并令其为并令其为 ,则则)(kX)(nxN101()()()NnkNNkxnIDFS X kX k WN101()NmknkNNkmx m WWN 1()01()Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r为任意整数 可见，由可见，由 得到的周期序列得到的周期序列 是非是非周期序列周期序列x(n)的周期延拓。的周期延拓。其周期为频域抽样点其周期

45、为频域抽样点数数N。)(nxN)(kX所以：所以：时域抽样时域抽样造成造成频域周期延拓频域周期延拓同样，同样，频域抽样频域抽样造成造成时域周期延拓时域周期延拓n x(n)为无限长序列为无限长序列混叠失真混叠失真n x(n)为有限长序列，长度为为有限长序列，长度为Mn 1)NM，不失真不失真n 2)NM，混叠失真混叠失真NM()()()()()NNNxn RnIDFS X k Rnx n频率采样定理频率采样定理若序列长度为若序列长度为M，则只有当频域采样点数则只有当频域采样点数:时，才有时，才有 即可由频域采样即可由频域采样X(k)不失真地恢复原信号不失真地恢复原信号x(n)，否则产生时域混叠现

46、象。否则产生时域混叠现象。1101()1N NkkNzX kNWz()Mx nNNM点有限长序列，频域 点等间隔抽样，且 1100()()()MNnnnnX zx n zx n z11001()NNnknNnkX k WzN11001()NNnknNknX kWzN11011()1NkNNNkkNWzX kNWz3 3、用频域采样、用频域采样 表示表示 的内插公式的内插公式()X k()X z1101()()1N NkkNzX kX zNWz内插公式：111()1NkkNzzNWz内插函数：10()()()NkkX zX kz则内插公式简化为：20,1,.,1jrNzerN零点：，20(-1)

47、jkNzeN极点：，阶()()jjkkz eez()jX e4、用频域采样、用频域采样 表示表示 的内插公式的内插公式()X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()()()()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ()sin2NjNeN内插函数：)2(Nk kknxnx)()()()()(kMnRnxnxMk )(*)()(*)()(nxnhnhnxnykk )()(*)(nynhnxkkkk 1、重叠相加法、重叠相加法 x(n)与与y(n)的卷积为的卷积为 h(n)长度为长度为N，x(n)长度为无限长，长度为无限长，x(n)取取M点，且与点，且与N

48、尽量接近尽量接近重叠相加法的卷积示意图重叠相加法的卷积示意图1、将、将h(n)补零延长到补零延长到L=M+N-1，并计算长为并计算长为L的的FFT，得到得到 H(k)。2、分别将、分别将xk(n)补零延长到补零延长到L=M+N-1，并计算长为并计算长为L的的 FFT，得到得到 Xk(k)kknyny)()(重叠相加法的步骤如下：重叠相加法的步骤如下：)()()(kHkXkYkk)()(kYIFFTnykk 3、计算、计算 ，并求长为，并求长为L的反变换，即的反变换，即4、将、将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为的重叠部分相加，最后得到结果为 1,.,1)1(2,.,1,00)(0LNnN

49、nxNnnx nLnNkLnxnxk其其它它010)1()(0)()(kkkNnyny 1,1),1(2,00)(LNnMnyNnnykk 输入的每段序列重叠输入的每段序列重叠N-1点，而每段的循点，而每段的循环卷积的输出去掉前面环卷积的输出去掉前面N-1点只保留后面点只保留后面M点点第八节第八节 用用DFTDFT对模拟信号作频谱分析对模拟信号作频谱分析信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换00shTfTFNf时域采样间隔时域采样频率信号记录长度（频率分辨率）频域采样间隔采样点数信号最高频率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT1、

50、对连续时间非周期信号的、对连续时间非周期信号的DFT逼近逼近()()j tX jx t edt 1()2j tx tXjed()()()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）将）将 x(t)在在 t 轴上等间隔轴上等间隔 T 分段分段2）将）将 x(n)截短成有限长序列截短成有限长序列t=0T0，N个抽样点。个抽样点。N-10()()j nTnX jTx nT e 210()NjnkNnTx n e002 F 3）频域抽样：一个周期分）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔段，采样间隔 ，时域周期延拓，时域周期延拓，周期为周期为0F001/TF0N-100()

51、()jknTnX jkTx nT e()T DFT x n01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk0k 002/2/sTFfN2、对连续时间非周期信号的、对连续时间非周期信号的DFT逼近过程逼近过程1）时域抽样）时域抽样2）时域截断）时域截断3）频域抽样）频域抽样0()()X jkT DFT x n01()()x nIDFT X jkT近似逼近：近似逼近：00sTfNTF2shff时域抽样：001/FT频域抽样：3、频

52、率响应的混叠失真及参数的选择、频率响应的混叠失真及参数的选择同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。00sTfNTFhsff要增加信号最高频率则0NF当 给定必，即分辨率0001FTF要提高频率分辨率，即则shNTff当 给定 则要不产生混叠，必信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾FFT例：有一频谱分析用的处理器，其抽样点数必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理措施，已给条件为：11024HzkHz）频率分辨率）信号最高频率0 1 2T NT试确定以下参量：）最小记录长度）抽样点间的最大时间间隔（

53、即最小抽样频率）3）在一个记录中最少点数1解：）最小记录长度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽样间隔 （）3110125224 10hTmsf.3）最小记录点数30224 1080010hfNF 10221024800mN 取例：有一调幅信号例：有一调幅信号 用用DFT做频谱分析，要求能分辨做频谱分析，要求能分辨xa(t)的所的所有频率分量，问有频率分量，问 (1)抽样频率应为多少赫兹抽样频率应为多少赫兹?(2)抽样时间间隔应为多少秒抽样时间间隔应为多少秒?(3)抽样点数应为多少点？抽样点数应为多少点？1 cos 2100cos 2600axttt（1）抽样频率应为）抽样

54、频率应为 2 7001400sfHz解：解：（2）抽样时间间隔应为）抽样时间间隔应为110.000720.721400sTSecmsf 1cos 2100cos 2600axtttcos 260011 cos 2700cos 250022ttt61715cos 2cos 2cos 214214214nnn3()()at nTx nx t（）()14x nN 为周期序列，周期14抽样点数至少为点500 600 700Hz或者因为频率分量分别为、0100HzF 得 0/1400/10014sNfF14N最小记录点数对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加）增

55、加x(n)长度长度2）缓慢截短）缓慢截短4、频谱泄漏、频谱泄漏改善方法：改善方法：DFT只计算离散点（基频只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频的整数倍处）的频谱，而不是连续函数谱，而不是连续函数5、栅栏效应、栅栏效应改善方法：改善方法：增加频域抽样点数增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密。时域补零），使谱线更密。第八节第八节 序列的抽取与插值序列的抽取与插值信号时间尺度变换（抽样频率的变换）信号时间尺度变换（抽样频率的变换）抽取：减小抽样频率抽取：减小抽样频率插值：加大抽样频率插值：加大抽样频率1、序列的抽取、序列的抽取将将x(n)的抽样频率减小的抽样频率减小D倍倍每每D个抽样中取一个

56、，个抽样中取一个，D为整数，称为为整数，称为相当于抽样间隔增加相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样倍后对时域连续信号的抽样112()()()jasakkkX eXjjkXjTTT1()()jdaskXeXjjkTTDT22ssTDTD T 12()akkXjDTDT1()sakXjjkDTD序列域直接抽取：序列域直接抽取：()()kp nnkD()()()pxnx np n2()01()()()2jjjpXeP eX ed 1()01()sDjkkX eD()()jjDdpXeXe时域序列乘脉冲串时域序列乘脉冲串2、序列的插值、序列的插值将将x(n)的抽样频率增加的抽样频率增加I倍倍相邻两点之间等间隔插入相邻两点之间等间隔插入 I-1个零点，个零点，I 称为插值因子称为插值因子I()pxn()Ix n()x n()h n3、比值为有理数的抽样率转换、比值为有理数的抽样率转换将将x(n)的抽样频率增加的抽样频率增加 I/D 倍倍先插值先插值 I 倍，再作倍，再作D倍抽取倍抽取I()x n()IdxnD()h nI()Ix n()x n()IdxnDsfIsfIf/IdsfIfD()pxn插值抽取1()h n2()h n