高等动力学课件：lecture18-AD

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1、 Lecture 18分析动力学初步分析动力学初步jjjjqqveve,矢量r在该曲线坐标系中表示为123(,)q q q trr质点的速度为1,3iiidqdttrrve,1,3jjjdTTQjdtqq定义如下的Lagrange函数：L=T-V0,1,3jjdLLjdtqq例：利用Lagrange方程写出质点在万有引力作用下用球坐标系表示的质点动力学方程在球坐标系下质点的动能为2222221(sin)2Tm rrr质点的万有引力势能为mVr Lagrange函数为2222221(sin)2mLm rrrr利用Lagrange方程2222222222(sin)()sincos0(sin)0rr

2、rrdrrdtdrdt 尺度张量曲线坐标系与直角坐标系之间存在如下关系).,(),(),(321333212232111xxxqqxxxqqxxxqq111232212333123()(,)()(,)()(,)x tx q q qx tx q q qx tx q q q存在如下的逆变换以上成立的条件是如下的雅克比矩阵非奇异111123123222123123333123(,)det()0(,)xxxqqqx x xxxxxJJqq q qqqqxxxqqqP尺度张量对任意向量r的微分可表示为曲线坐标微分的形式123112131123ddqdqdqdqdqdqqqqrrrreee微分矢量dr的长

3、度可表示为2211112121313221122222323231133223333123123()()()()()()()()()Tdsdddqdq dqdq dqdq dqdqdq dqdq dqdq dqdqdqdqdqdqdqdqrre ee ee eeeeeeeeeeeeeG111213212223313233e ee ee eGeeeeeeeeeeeeG为一个二阶对称尺度张量。由于312111131222223123333()()()()()()()()()x qx qx qqqqx qx qx qqqqx qx qx qqqqeijkeijkeijk显然，111213212223

4、313233Te ee ee eGeeeeeeP Peeeeee尺度张量的导数22312()()()ikkjijijijkx qx qx qijqq qq qq q eijke定义：,jiijkkijjiqq ee显然尺度张量中的每个元素对曲线坐标的偏导数为ijjijikjsiksllljsissgksiljlqqqssggiljl eeeeeeee表示将向量向基向量分解。前面的系数待定。显然jllsjssiliislssjgssggjiliqssgggljijq 尺度张量的导数可得到如下的关系式12jlijlilssijlggsggijqqq 1(11)(11)(11)(11)1111213

5、12(21)(21)(21)(21)22122232(213112312123121jijiijjijiijgggg gg gg ggijijijqqqgggg gg gg ggijijijqqqg gij 3)(21)(21)(21)3323332312jijiijgggg gg ggijijqqq 可列出1(),ijijgGe e()0,1,ijjkikjikggik其中尺度张量的导数(1)1112jsijsssijsggggijqqq 三式相加通式为()112jsijksssijsggkggijqqq Christoffel第二类记号(曲线坐标基向量对曲线坐标的偏导数在曲线坐标上的各个分

6、量)kij Christoffel第一类记号1,2jlijiljilgggij lqqq两类记号之间的关系为(),ksskgij sij 采用Christoffel记号表示的质点动力学11()()22jkikikijiijiijjikjiggdTmg qq qq qdtqqq()2ikijkjiikTmg qg qq,ikijikiijmg qij k q qQ ijjiijkkgTq qqq 对上式求导T对qk的偏导数代入Lagrange方程中，有其中，广义力为T对dotqk的偏导数kkQ F e采用Christoffel记号表示的质点动力学如果将力F沿曲线坐标系基向量分解lllFFe则kk

7、llklklllQFg FF ee e动力学方程可表示为如下形式ljilijlmqq qFij ()(),lklkikijikiijgmg qij k q qgQ 对方程处理：加速度分解加速度分解将加速度表示在曲线坐标系基向量上iiiiiiiiiijjljjljddqqqdtdtlqqijq aveeeeee则，加速度a在曲线坐标系中的分量为根据牛顿定律有lijllijlqq qij ae llllllmaFeeljilijlmqq qFij 协变分量和逆变分量设存在一个矢量F,存在一个曲线坐标系e1,e2,e3.该曲线坐标系不一定是正交和单位的。协变分量kkQ F e分量Qk是矢量F沿基向量

8、ek的投影乘上基向量的大小。故Qk是与ek的大小共变的。逆变分量lllFFe分量Fl的大小是矢量F在基向量el上的分量形式，其大小与基向量el的大小是逆变的。约束的分类位置约束或几何约束12(,)0inft r rr约束方程与空间位置有关。速度约束1212(,)0innft r rr r rr 与速度有关，如：接触点处的纯滚动限制下的速度约束。力约束（加速度约束）121212(,)0innnft r rr r rr r rr 与受力的状态有关：如库伦摩擦限制下的约束方程。约束的分类定常和非定常约束：根据约束方程中是否含有时间t的变量来区分非定常位置约束：12(,)0inft r rr定常位置约

9、束：12(,)0infr rr等式和不等式约束（单边约束和双边约束）定常双边位置约束12(,)0infr rr定常单边位置约束12(,)0infr rr受约束的质点动力学的分析描述利用Newton定律，有m aFR其中：R来源于定常几何约束方程的限制所导致的约束力()fffxyzRnijk(,)0f x y z 在曲线坐标系下，其分量形式的动力学方程可表示为,1,2,3jjjjdTTQjdtqqR e该约束方程表示的是一个空间曲面方程，约束力必定沿该曲面的法线方向。协变形式。受约束的质点动力学的分析描述受单个几何约束质点动力学的协变分析形式为jjjjjxyzqqqqreijk曲线坐标系下的向量

10、基为()()jjjjjjjjfffxyzxyzqqqfxfyzfx qyqqq R eijkijk因此，约束反力在曲线坐标系上的协变分量为123,1,2,3(,)0jjjjdTTfQjdtqqqf q q q t构成微分代数方程的形式，根据约束代数方程，确定质点的运动。以上方程也称之为第一类Lagrange方程。微分代数方程的求解当质点被约束在曲线上运动时，约束方程为11232123(,)0(,)0f q q q tfq q q t121211232123,1,2,3(,)0(,)0jjjjjffdTTQjdtqqqqf q q q tfq q q t该质点的第一类Lagrange方程为第一类

11、Lagrange方程的显式形式为121211232123,1,2,3(,)0(,)0ikijikiijkkffmg qij k q qQkqqf q q q tfq q q t 微分代数方程的求解Tqt K qK1111123123222212312300ffffqqqqqqtffffqqqqqqt 12312312311211122221323,/,/TTTikikkkjiijqq q qq q qq q qmmgQFij k q qfqfqfqfqfqfq qqqMQFK 动力学方程的矩阵形式为qMqQ-FK 为将微分代数方程变化为微分方程的初值问题来求解，将约束方程微分一次。矩阵形式为其

12、中12,fftttK微分代数方程的求解再微分一次到加速度水平上2TTqttqtqqK qKK qqK q其中221222,tfftttK最后，微分代数方程转化为ODE方程的格式为222111113222222113qffft qt qt qffft qt qt q tK可利用数值计算方法对以上ODE方程进行求解。Comments:微分代数方程的数值计算方法是一类应用数学领域研究的问题。涉及收敛性，稳定性等0qq MKqQ-FK例子yx单摆在一竖直平面内运动，摆长l按照已知规律变化，l=l(t)。用直角坐标和极坐标两种方法写出运动微分方程。例子在直角坐标系下的约束方程为 0,222tlyxtyx

13、fyyfxxf2,2质点的动能为 222mTxy势能为.0,yVQmgxVQyxVmgx 广义力可表示为利用第一类Lagrange方程，22mxmgxmyy（1）（2）例子222xxyylllxy（3）利用(1),（2），（3）可消去未知量，进而确定微分方程的解。在极坐标系下的约束方程 0,tltf对约束方程求二阶导数，则2222mTcosVmg sin,cosmgQmgQp极坐标系下的质点的动能为 势能为广义力可表示为22cossinmmgdmmgdt 0sin2tgltldtd选择恰当的坐标系，可直接消去约束乘子。例子例子2xyzm质量为m的小球串在光滑的铁丝上。铁丝的形状是一抛物线，在O

14、z平面内的方程为az22铁丝绕竖直轴以角速度匀速转动。列出在重力作用下的质点的运动微分方程。例子例子2选择柱坐标系（，z）作为曲线坐标质点在该曲线坐标系下的动能和势能表示为22222mTzVmgz 约束方程在该曲线坐标系下的表示为 212,20,0fzazfz tt 约束方程对广义坐标的导数.0,1,0,2,0,2222111zfffazfff例子例子2212212,2mdmdtmzmga 动力学方程212,20,0fzazfz tt 结合约束方程22220aaga对f1求二次导数，对f2求一次导数222(),az 可得到如下的关于的微分方程根据初始条件，可确定(t),进而根据约束方程确定z(t)。并可以求出相应的约束力。例子例子2采用抛物线坐标系作为曲线坐标系22,1,2aaz以上是正交曲线坐标系，在该曲线坐标系下的动能和势能为.22222222222222mazmT.1222mgamgzV广义力,0.VQmgaVQmgaVQ 例子例子2约束方程12,10,0fft .1,0,0,0,1,0222111ffffff显然，约束方程定义了相应的坐标曲面动力学方程222222222222222212222,.dmamamgadtdmamamgadtdmadt 根据约束方程和第一个动力学方程,0/1222ag 构成单自由度运动系统2,4,5,7,8