高等动力学课件：lecture16-3D

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1、 Lecture 163D刚体动力学刚体动力学Lagrange情形情形21131133sincossincos,sin2coscos,cosnsJJJLJJJLdJLdt 3cosconstant2133sincoscons.zJJG22221133111sincos222JJJmgaE2222sin(cos)sincoscosu222(1)()uuuu三个首次积分三个首次积分章动角控制方程章动角控制方程（图b）210coshmga1233,zGuuJ233,zGuJ133,zGuJ12033,0zGuuuJ存在三重根的条件存在三重根的条件存在两种情况：u1=u2=u3=1,如图(b)所示，这

2、时只对应一种状态，即刚体只能绕竖直轴转动。Case1:u2=u3时,当u2=u3,必有u2=u3=1f(u)代数表达式中也可能存在两个重根的情况。代数表达式中也可能存在两个重根的情况。Case 2:u1=u20dotdot21033cos0.JpJpmga33102cosJmgaJ21,23333101014cos2cospJJmgaJJ地球的进动与章动现象LLL=023.5春分点秋分点夏至冬至地球由于形状的非完全球形，与太阳和月亮的万有引力将会引起附件力矩，进而产生进动现象。Legendre多项式Legendre函数是指如下微分方程的解222()()(1)2(1)()0d P xdP xxx

3、n nP xdxdx勒让德方程的解在|x|1 时可写成标准级数收敛的幂级数形式，当n=0,1,2,.时，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式勒让德多项式Legendre 多项式具有如下级数的形式21()(1)2!nnnnndP xxn dx并且有112()()21nmnmP x P xn011()(),1,121()()2nnnnnf xc px xncf x px dx 多项式展开偏心力矩的表示：偏心力矩的表示：假设：地球的形状是一个标准的椭圆形状。太阳或月球认为是一个质点M问题：如何求出偏心力矩？如何分析地球在该偏心力矩作用下的运动

4、？椭球体与一固定质点的万有引力势函数M,Crrimirii如图所示的质点mi与M质点之间的万有引力势可表示为21(/)2(/)cosiiiiiiiMmMmVrrrrrr 偏心力矩的表示：偏心力矩的表示：对上式采用Legendre多项式展开后，表示为0(cos)niiininrMVmPrr 取Legendre 多项式的前三项近似2012()1,(),()(31)/2P xP xx P xx对第0项，即0VMMmVdmrr 对第1次多项式12333cos()0iiiiVVVMMMMVrdmdmdmrrrr r rrrM,Crrimirii对第二次多项式2222333(1 3cos)()3()223

5、2iiiiiVVrMMVdmrdmrrMJtrrr rr nJ其中trJ是椭球体的惯量张量的迹，Jr是绕r轴的转动惯量22()()()niiiiiiiiJmmr n J nnr r nr n rr n势能函数表示势能函数表示因此，二阶近似的势能函数是012332rMmMVVVVJtrrr J假设地球绕质心的惯量椭球的主惯量为J1,J2,J3.且J1=J2,分别为r相对地球惯量椭球的方向余弦。222213131()()rJJJJJJ132trJJJ23133123()312()()M JJMmVrrM JJMmPrr 势能函数表示势能函数表示xyzOrarccosOxy为地球运动的轨道平面，r为

6、地球质心到太阳质心的连线的方向。O是地球的自转轴。O为地球的质心。三个方向余弦存在如下的关系sincos则由二阶项引起的势能为223123()3sincos1M JJVr假设地球绕太阳运动的轨道近似为圆轨道（r不变），为得到地球的平均进动角速度，二次项引起的势能在地球绕太阳一周的平均势能为2231312333123()()313sin1cos222()(cos)2M JJM JJVrrM JJPr220cos122d 地球的进动与章动现象地球的运动等效为受到偏心万有引力作用下的刚体的定点运动情况。在平均意义上，地球做规则进动。则有0地球的能量为2222113111sincos(cos)222J

7、JJVE考虑地球自转的角速度dot远远大于进动角速度，并且进动角速度通过平均化近似为常数，将能量对时间微分213(cos)sincoscossin0VJJ 进一步简化为213(cos)coscos0(cos)VJJ 地球的进动与章动现象以上方程与Lagrange情形下出现重根的情况相同。令33cos,p 将考虑椭球性质的万有引力势的二阶近似函数代入313333cos2JJMrJ 根据Keppler第三定律，并设r为地球椭圆轨道的半长轴，椭圆轨道的圆频率为22032MTr则进动角速度与椭圆轨道运动的角速度的比为0310333cos2JJJ 地球自转轴的角度为023 27在太阳万有引力作用下，进动

8、完成一周所需要的时间大约为81,000年。同样的分析，由于月球对地球的万有引力作用也会引起进动，两者共同作用将导致进动完成一周所需要的时间大约为26,000年。当然，在进动的同时，会有天章动现象。刚体一般运动的动力学方程刚体一般运动的动力学方程两个坐标系:OxyzO,i,j,k惯性参考系，C,e1,e2,e3过质心的固连系 质心运动定理.,zcycxcFzMFyMFxM 对质心动量矩定理 3211233,21331221322311,LJJJLJJJLJJJ与欧拉角的关系.cos,sincossin,cossin321利用以上关系，可以得到利用Euler角和质心位置表示的刚体一般运动的6个二阶

9、微分方程。在给定12个初始条件后，可以利用积分得到微分方程的解。均匀球体在重力场中的运动质心的运动：只受重力的作用。质心为一抛物线轨迹。姿态动力学分析：相对质心的动量矩守恒（Euler情形）。cMymg 1132232213313321120,00JJJJJJJJJ 对球体来说，J1=J2=J31122330,00JJJ角速度矢量在空间中将是一固定矢量。与给定的初始条件相关。由于球体的对称性，在任一方向的角速度均保持为常量。炮弹的稳定性轴对称炮弹在运动过程中，其对称轴将与质心运动方向发生一个偏转角。假设空气阻力的合力R作用在对称轴的A点上，并且方向与质心运动方向相同。问炮弹的自转角速度3应为多

10、大，才能保证炮弹的弹头总是指向前方。炮弹的稳定性炮弹质心的运动：受空气阻尼力，并在重力场作用下质点的运动（见例4.12）,假设R是与速度平方的阻尼力，则22sincosdvmvmgmkvdsdmvmgds 轨迹方程为221()1()axdgytg dg 炮弹的稳定性对质心的动量矩定理:（Lagrange情形）轴对称刚体，可利用莱沙尔坐标系建立动力学方程21131133sincossincossin,sin2coscos0,cos0JJJRaJJJdJdt 炮弹的发射过程类似一个定轴转动的刚体的释放过程。初始章动角为零。要使章动角在外部阻力作用下，摄动为小量。应满足如下的条件。21033cos0

11、.JpJpRa233104cos0JRaJ 1332 RaJJ233mgapJ在慢进动的情况下，可忽略p的高阶项要产生以上慢进动的条件为即要求自转的角速度必须足够高圆盘在粗糙面上的纯滚动Comments:只考虑圆盘纯滚动的情况，显然，由于接触点处的摩擦作用可能会改变圆盘接触的性质。其运动情况将会复杂的多。Euler将这一问题归结为力学中的12个难题之一。圆盘在粗糙面上的纯滚动圆盘的基本参数：半径 a;质量m,对质心处的转动惯量分别为：J1=J2,J3运动约束情况：接触点A处无相对滑动。0cCAv 坐标系统:惯性坐标系统：I,j,k质心平动坐标系统：C,x,y,z圆盘固连坐标系统：C,莱沙尔坐标

12、系统:C n,s,受力情况：重力mg,接触点的约束力法向支撑力Fz切向摩擦力Fn,Fm假设条件：接触点无相对滑动。不考虑滚动摩阻圆盘在粗糙面上的纯滚动各个坐标系之间的变换关系为cossin0sincos0001 injmkk1000cossin0sincos0nnmsk将运动约束方程映射到O.n,m,k中0cCAv r(cossin)(sincos)cxyzxyxyz vijknmk(sin)(cos)00knsn矢量CA在盘面上，且指向接触点CAa rs运动约束方程则0(cos)(cos)sincosCAaaaaa rnnmk定义cos3圆盘在粗糙面上的纯滚动接触点处的运动约束方程在O,n,

13、m,k中的表示为3cossin0sincossin0cos0,sinxyaxyazaza以上是定义在速度水平上的约束方程，且不可积，称为非完整约束方程。cossin/,sincos/,/.nmzxyFmxyFmzFmg质心运动定理：并写为坐标系O,n,m,k中的分量形式cossin0/sincos0/001/nmzxFmyFmzFmg 圆盘在粗糙面上的纯滚动在莱沙尔坐标系中应用质心动量矩定理0111233cJJJGns123,sin,cos 莱沙尔参考系的角速度0sincosknns外力矢量在莱沙尔坐标系下的分量形式0(cossin)(sincos)nmznmzmzFFFFFFFFFnmkns

14、质心动量矩方程在莱沙尔坐标系中的分量形式为21133113333sincossincossin,sincos0,zmnJJJF aF adJJJdtJF a 圆盘在粗糙面上的纯滚动(cossin)nF am xyacossincos()sin(sincos)zmF aF aam zgamxy 3cossinxya 3(cossin)(sincos)xyxya sincossin0 xya3(cossin)sinxyaa 消去约束反力223(cossin)sinnF am xyamama 则则质心动量矩方程的第三式变为2233sinJmama圆盘在粗糙面上的纯滚动2cos0,cossinzaza

15、a根据约束方程则23cossinsincoszmF aF amamamga 则质心动量矩方程的第一式变为2211233sincossincos0JmaJJmamga圆盘稳态规则进动定倾角的运动：=0圆盘的动力学方程为221123311332233sincossincos0,sincos0,sinJmaJJmamgadJJJdtJmama 由于221331233sincossincos0sin0,0JJmamgadJdtJma则30cons.sincons.0圆盘稳态规则进动三个常数之间的关系为22133sincossincos0JJmamga能够成立的条件是2222231sin4sincos0

16、JmamgaJ 根据运动约束方程，质心的运动规律为,0,sin,cos0303zptayptax030003000/sinsin,/coscos,sin,xxapptyyapptza 以上表明：质心的轨迹做匀速圆周运动，轨迹的半径为3ap当0=/2时，则根据三常数条件233sin0Jma3=0,圆盘直立自转不滚p=0,圆盘在一个竖直平面内做纯滚动。圆盘沿直线纯滚动的标称运动条件03/2,cons.0 ，受到摄动后33/2,，假设纯滚动条件仍然保持，略去高于2阶的小量。圆盘的动力学方程为22131300JmamgaJmaJJ以上关于和dot线性微分方程组的特征方程为22213310JmamgaJmaJJ除去零根2222113310JJmaJJmaJ mga 稳定性的条件是以上特征方程存在虚数根，可得到如下的条件223311233JJmaJ mgaJ mgaJJma 圆盘沿直线纯滚动时，将发生晃动，晃动的频率为22331211JJmaJ mganJJma 当考虑滚动摩阻后，圆盘将会倒下。27，29，31，32，33，34