第三章调和方程

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1、数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程1 1 建立方程、定解条件建立方程、定解条件第三章第三章 调和方程调和方程2 2 格林公式及其应用格林公式及其应用数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程1.1 1.1 方程的导出方程的导出1 1 建立方程、定解条件建立方程、定解条件1.2 1.2 定解条件和定解问题定解条件和定解问题1.3 1.3 变分原理变分原理数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。1 1 方程的建立及其定解条件方程的建立及其定解条件调和方程，又称拉普拉斯调和方

2、程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为方程，其三维形式为1.30222222zuyuxuu这个方程相应的非齐次方程，称为泊松这个方程相应的非齐次方程，称为泊松(Poisson)方程，即方程，即2.3),(222222zyxfzuyuxuu这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势方程。流体力学中的速度势和流

3、函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。满足泊松方程。数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程调和方程举例：静电场调和方程举例：静电场电势u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/E)(uE/2 u02 u对方程进行化简：uu2/拉普拉斯方程 泊松方程 数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程1-1 1-1 方程的导出方程的导出 下面我们回忆物理学中导出调和方程和泊松方程的实例。历史上导致调下面我们回忆物理学中导出调和方程和泊松方程的实例。历史上导致调和方程的一个著名实例来自牛顿万有引力。根据万有引力定律，位于和方程的一个著名实例来自牛顿万

4、有引力。根据万有引力定律，位于(x0，y0，z0)处质量为处质量为M的质点对位于的质点对位于(x，y，z)处具有单位质量的质点的引力处具有单位质量的质点的引力,其其大小等于大小等于M/r2，而作用方向沿着这两点的连线，指向，而作用方向沿着这两点的连线，指向(x0，y0，z0)点，其中点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为为两点之间的距离。写为向量形式，即为),(),(0002rzzryyrxxrMzyxFF(x,y,z)称为引力场函数。显然引力场函数是位势函数称为引力场函数。显然引力场函数是位势函数(x,y,z)=M/r的梯度：的梯度：F=grad。除了允许相差一个任意常数外，位势函数

5、是任意确定的。除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。对于以密度对于以密度(x,y,z)分布在区域分布在区域上的质量而言，根据叠加原理，它所产生上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为的总引力位势为222)()()(),(),(zyxdddzyx数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程通过直接计算可以验证，通过直接计算可以验证，(x,y,z)在在外满足调和方程外满足调和方程0，还可以进一，还可以进一步验证，若步验证，若(x,y,z)满足满足Holder条件，则条件，则(x,y,z)在在内满足泊松方程内满足泊松方程4。另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密

6、度为另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为(x,y,z)的静电的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面场，在此电场内任取一个封闭曲面包围的区域包围的区域G，由静电学知，通过，由静电学知，通过向外的电通量等于向外的电通量等于G中总电量的中总电量的4倍，即成立倍，即成立Gdxdydzds4nE其中其中E为电场强度矢量，而为电场强度矢量，而n为为上的单位外法线向量。利用格林公式并注上的单位外法线向量。利用格林公式并注意到意到G的任意性，可得的任意性，可得divE=4。又由库仑定律可知，静电场是有势的，又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势即存在静电位势u=u(x,y,z)，使，使E=

7、-grad u。于是得到静电位势于是得到静电位势u满足以下满足以下的泊松方程的泊松方程u4。特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。的静电位势满足调和方程。与复变函数中一样，我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足与复变函数中一样，我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程1-2 1-2 定解条件和定解问题定解条件和定解问题1.30222222zuy

8、uxuu2.3),(222222zyxfzuyuxuu要在空间的某个区域中确定方程要在空间的某个区域中确定方程(3.1)和和(3.2)的解，还必须附加一些定解的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程(3.1)和和(3.2)也可以提出三也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题

9、。种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。1)第一边值问题第一边值问题(狄利克雷条件狄利克雷条件)：2)第二边值问题第二边值问题(诺依曼条件诺依曼条件)：3.3),(),(),(zyxgzyxuzyx4.3),(),(zyxgnuzyx数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光滑的闭曲面滑的闭曲面的的内部寻找满足边界条件的调和函数。内部寻找满足边界条件的调和函数。但在实际运用中，但在实际运用中，常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源

10、物体外部的稳定常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定温度场。这种情况下，需要在闭曲面温度场。这种情况下，需要在闭曲面的的外部寻找满足边界条件的调和函外部寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域

11、内满足拉普拉斯方程，且在物面边界粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界上有上有0n法向无穿透条件法向无穿透条件内流问题的求解在边界内流问题的求解在边界 内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界需要在边界 外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透

12、条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件施加来流条件(速度大小和迎角等速度大小和迎角等)。（这个问题课本上也有举例）（这个问题课本上也有举例）1-2 1-2 定解条件和定解问题定解条件和定解问题数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即2220),(limzyxrzyxur泊松

13、方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换，作代换u=v+u1把原方程转把原方程转化为关于化为关于v的调和方程。的调和方程。1-2 1-2 定解条件和定解问题定解条件和定解问题数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程积分表达式的极值问题被称为变分问题。积分表达式的极值问题被称为变分问题。dxdyfuyuxuuJ)()(21)(220)(min)(0ufuJuJV；0),()(120CCV1-3 1-3 变分原理变分原理数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和

14、方程调和方程2.1 2.1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式2 2 格林公式及其应用格林公式及其应用2.2 2.2 平均值定理平均值定理2.3 2.3 极值原理极值原理2.4 2.4 第一边值问题解的第一边值问题解的 唯一性和稳定性唯一性和稳定性数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程2-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式高等数学中的高斯公式如下高等数学中的高斯公式如下dsznRynQxnPdzRyQxP),cos(),cos(),cos()(在上式中，令在上式中，令 ，于是有，于是有zvuRyvuQxvuP,dsznzvuynyvuxnxvud

15、zvzuyvyuxvxuzvyvxvu),cos(),cos(),cos()(2222225.3)(dzvzuyvyuxvxudsnvuvdu得到格林第一公式：得到格林第一公式：数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程如果作如果作 代换，那么格林第一公式写为：代换，那么格林第一公式写为：zuvRyuvQxuvP,6.3)(dzvzuyvyuxvxudsnuvudv把把(3.5)和和(3.6)相减，我们得到格林第二公式相减，我们得到格林第二公式7.3)()(dsnuvnvuduvvu利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调利用上述公式，我们可以推出调和函数的

16、一些基本性质。首先我们导出调和函数的积分表达式。考察函数和函数的积分表达式。考察函数8.3)()()(112020200zzyyxxrvMM此处此处M0(x0，y0，z0)是区域是区域内的某一个固定点，可以验证，内的某一个固定点，可以验证，(3.8)表示的表示的函数在除去函数在除去M0的的区域区域上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的基本解。维拉普拉斯方程的基本解。2-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程在公式在公式(3.7)中取中取u是调和函数，而取是调和函

17、数，而取v=1/rM0M。由于由于函数函数v在在区域区域上存在上存在奇点奇点M0，因此对于区域，因此对于区域不能直接运用格林第二公式不能直接运用格林第二公式(3.7)，但如果在区域，但如果在区域内除去一个以内除去一个以M0为中心，半径为中心，半径充分小的球充分小的球K，则在剩下的区域，则在剩下的区域 K 内就可以运用内就可以运用公式公式(3.7)了。了。9.3)1)1()11(dsnurrnudurruK在在区域区域 K 内内u=0=0，(1/r)=0=0，在球面在球面上由于上由于*22241)1(/1/1)1()1(uudSdSrnurrrrn*411nudSnudSnur这里星号代表球面这

18、里星号代表球面上的平均值。于是上的平均值。于是公式公式(3.7)可以化为可以化为2-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程10.344)1)1(0*nuudSnurrnu上式中当上式中当0时，就得到了调和函数的基本积分时，就得到了调和函数的基本积分公式公式11.3)(1)1()(41)(000MMMMMdSnMurrnMuMu)(4)(20)(1)1()(0000MuMudSnMurrnMuMMMMMM0在在外外M0在在上上M0在在内内对于泊松方程对于泊松方程u=F F，也有类似公式，也有类似公式MMMMMMMMdrMFd

19、SnMurrnMuMu000)()(1)1()(41)(02-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。定理定理2.12.1 调和函数的一个充要条件调和函数的一个充要条件 设函数设函数u在以曲面在以曲面为境界的区域为境界的区域内调和，在内调和，在U上有连续一阶偏上有连续一阶偏导数，则导数，则0dSnu01)()(uvifdsnuvnvuduvvu，：反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题 有解的必要

20、条件为有解的必要条件为 ),(),(zyxgnuzyx0dSgMMMMMMMMdrMFdSnMurrnMuMu000)()(1)1()(41)(0满足调和方程满足调和方程由叠加原理，由叠加原理，是泊松方程是泊松方程u=F F 的一个特解。的一个特解。（与万有引力势函数公式类似）（与万有引力势函数公式类似）MMMdrMFMv0)()(02-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程物理意义：物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。何封闭曲面上的热

21、流量应该为零。0dSnuk2-1 2-1 格林（格林（GreenGreen）公式）公式数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程定理定理2.22.2 球面平均值定理球面平均值定理 设函数设函数u在以曲面在以曲面为境界的区域为境界的区域内调和，对于包含在内调和，对于包含在 内的每一个内的每一个闭球，闭球，u在球心处的值等于在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为表示可以写为audSaMu2041)(证：把公式证：把公式(3.11)运用到球心在运用到球心在M0点，半径为点，半径为a的球面的球面a上，得到上，得到adSnu

22、rrnuMu)1)1(41)(0这里，在球面上这里，在球面上21)1(;11arnaraa2-2 2-2 平均值定理平均值定理数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程aaaaudSadSnuaudSadSnurrnuMu220411141)1)1(41)(为零为零2-2 2-2 平均值定理平均值定理数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程定理定理2.3 2.3 极值原理极值原理 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数u在以曲面在以曲面为境界的区域为境界的区域内调和，内调和，它在它在的内点上的值不可能达到它在的内点上的值不可能达到它在上的上界或下界。上的上界或下界。推论

23、推论1：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。推论推论2：两个调和函数在边界：两个调和函数在边界上成立不等式上成立不等式uv，那么，那么在在内该不等式同样成立；只有在内该不等式同样成立；只有在uv时，不等式中的等号时，不等式中的等号才有成立的可能。才有成立的可能。2-3 2-3 极值原理极值原理数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程 先考察调和方程的狄利克雷内问题。先考察调和方程的狄利克雷内问题。定理定理2.42.4：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连

24、续依赖于边界条件连续依赖于边界条件f。证：假设两个调和函数证：假设两个调和函数u1(x,y,z)和和u2(x,y,z)，它们在有界区域，它们在有界区域的边界的边界上完全相同，那么它们的差上完全相同，那么它们的差u=u1(x,y,z)-u2(x,y,z)在在中也满足调和方程，中也满足调和方程，而在而在上等于零。按照前面的推论一，上等于零。按照前面的推论一，u1u2，即即狄利克雷内问题的解唯狄利克雷内问题的解唯一。一。其次，假设在边界上给定了两个函数其次，假设在边界上给定了两个函数f和和f*，而且在而且在上处处成立上处处成立*ff设设u和和u*，分别是调和方程在区域分别是调和方程在区域上的以上的以

25、f和和f*为为边界条件的边界条件的狄利克雷内问题的解。那么调和函数狄利克雷内问题的解。那么调和函数u-u*在在上取值上取值f-f*。由极值定理的。由极值定理的推论推论1得到得到)(min)(min)(max)(max*ffuuffuu因此，在区域因此，在区域上各点有上各点有*ffuu（连续依赖性得证）（连续依赖性得证）2-4 2-4 第一边值问题解的唯一性和稳定性第一边值问题解的唯一性和稳定性数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设设u1，u2是狄利克雷外问题的解，令是狄利克雷外问题的解，令v=u1-u

26、2，则调和函数，则调和函数v在边界在边界和无穷远处取值为零。即和无穷远处取值为零。即0),(lim0zyxvvr，此时取一个半径足够大的球面此时取一个半径足够大的球面R，让这个球面与边界，让这个球面与边界一起形成封闭的一起形成封闭的空间空间 ，利用前面狄利克雷内问题解的唯一性和稳定性证明方法，我们利用前面狄利克雷内问题解的唯一性和稳定性证明方法，我们可以得到下面的定理：可以得到下面的定理：定理定理2.52.5：调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件连续依赖于边界条件f。此定理的证明作为课后练习。此定理的证明作为课后练习。2-4 2-4 第一边值问题解的唯一性和稳定性第一边值问题解的唯一性和稳定性数学物理方程数学物理方程第三章第三章 调和方程调和方程课后作业：题3，P 79。