量子力学题库

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1、目录第二章 波函数和薛定谔方程2一、简答题2二、证明题6三、计算题7第二章 波函数和薛定谔方程一、简答题1. 何谓微观粒子的波粒二象性？2. 粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联 系？3. 粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对 微观粒子不存在轨道的概念。4. 波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表 现波粒二象性的？5. “电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”， “电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？6. 试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。7. 在量子

2、力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状 态？8. 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？9. 是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。10. 微观粒子体系的状态完全由波函数 (r,t) 描述，波函数应满足什么样的标准 条件？ 波函数的物理意义是什么？11. 叙述波函数的统计解释(物理意义)，并写出薛定谔方程的一般数学形式。12. 什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什 么？13. 写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。14. 简述玻恩关于波函数的统计解

3、释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？15. 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、 光波等其它波动过程的波函数的区别。16. 简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的含义是什么？18. 波函数归一化的含义是什么？什么样的波函数可以归一化？归一化随时间变 化吗？19. Bron对波函数的统计解释什么？屮6,t6,t）2和” 6,t）2dxdydz分别表示什 么含义？20. 将描写体系量子状态的波函数乘上一个常数后，所描写体系的量子状态是否 改变？21. 若屮Jx）是归一化的波函数，问： 屮1

4、（x），屮2（x） = c屮（x） c工1 ，屮3（x）= eiW（x） 8为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。22. 归一化波函数是否可以含有任意相因子ei8（8为实常数）？23波函数屮与K屮、屮eia （ K,a均为常数）是否描写同一状态。24. 写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。25. 设屮（x） = e沁，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？26. 对一个粒子而言，归一化的波函数 屮（r,t）的模方” （r,t）|2表示什么？设 C（p,t）为归一化的动量表象下的波函数，则I C（p,t）

5、12 dp的物理意义是什么？27. 写出定态波函数的形式。28. 设（x）二 Ae2x2 （a为常数），求 A = ？29. “双狭缝干涉实验中，电子必定通过两缝之一而打到屏上，因此落到屏上的 总电子数必定等于分别通过两缝的电子数之和”这种说法对吗？30. 下列波函数在什么情况下才是描述同一状态？屮+屮，C屮+ C屮，C屮eiai + C屮eia21 2 1 1 2 2 1 1 2 2（这里， C ,C 为复常数， a ，a 为实常数 ）1 2 1 ,231. 阐述量子力学中态的叠加原理，并以两态为例说明用粒子通过狭缝后在空间 出现的干涉效应。32. 设描写粒子状态的函数屮可以写成屮二c申+

6、c申，其中c和c为复数，申和1 1 2 2 1 2 1申为粒子的分别属于能量E和E的构成完备系的能量本征态。试说明式子2 1 2屮二c申+c申的含义，并指出在状态屮中测量体系的能量的可能值及其几率。1 1 2 233. (1)如果屮和屮是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：屮二c屮+ c屮1 2 1 1 2 2(c，c是复数)是这个体系的一个可能状态吗？(2)如果屮和屮是能量的本 1 2 1 2征态，它们的线性迭加：屮二c屮+ c屮还是能量本征态吗？为什么？1 1 2 234. 叙述波函数的统计解释(物理意义)，并写出薛定谔方程的一般数学形式。36. 一粒子有波函数由屮(x,t)二1 严C(p

7、,tl；pxdp描写，则C(p,t)=?。2兀力-837粒子在势场U(r)中运动，试写出粒子的哈密顿算符。38. 一维线性谐振子处在屮(x) = N eAx H (a x)态中，其相应的能量为？3 3339. 一维线性谐振子处在屮(x)二N e-如x2H (a x)态中，其相应的能量为？22240. 试述薛定谔对量子力学的贡献。41. 薛定谔方程是如何建立的？是推导出来的吗？42. 试写出表示微观粒子的运动规律的运动方程。43. 写出球坐标中拉普拉斯算符的表示。44. 如何应用波动方程得出几率守恒波函数的归一化不随时间改变？45. 写出量子力学中概率密度、粒子流密度和粒子数守恒定律。46用波函

8、数来表示几率密度w、几率流密度J，以及两者之间满足的连续性方 程的数学形式。47. 什么是定域的几率守恒？48. 几率流密度的物理意义是什么？49. 对什么波函数描述的态，几率流密度与电流密度均为零？50. 对什么波函数描述的态，几率流密度与电流密度均不随时间改变？51. 平面波的几率密度及几率流密度有什么特征？52. 何谓量子力学中的定态问题？定态问题哈密顿算符满足什么条件？并请从薛定谔方程推导出定态薛定谔方程。53. 什么是定态？一个量子体系处于定态的条件是什么？它有什么特点？54. 对于定态，是否几率流密度必为零？55. 试判断下列函数中的哪些所描述的状态是定态？屮(r, t)= u (

9、 x ) eix _iE 方 + v ( x ) e - ix-血止(2 )V(r, t )= u ( x ) eix-iEt/方 + u ( x ) e-讥-叫血(3)屮(r,t) = u(x)es + u(x)eiEt/方56. 请说明束缚态和自由态及其相应能级的特点。57. 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？ 一般情况下， 这种态所属的能级有什么特点？58. 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？59. 什么样的状态是束缚态？它是否可看成是平面波的叠加？60. 什么是束缚态？它有何特征？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？ 举例说明。60.

10、简述量子力学基本原理一、二。62. 简述势垒贯穿效应，并举例说明其在实际中的应用。63. 扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。64. 简要解释一维线性谐振子的零点能。65. 解释量子力学中的简并和简并度。66. 写出一维线性谐振子第二激发态的波函数和能级，并指出节点数及宇称。67设质量为m的粒子在一维无限深势阱运动(0 x a)，写出其第一激发态的 波函数、能级及节点数。68 一质量为卩的粒子在一维无限深势阱V C)= 0，0 x 2a中运动，写g， x 2a出其状态波函数和能级表达式。69. 给出三维无限深势阱的能级分布及能级简并度。70. 质量为m的粒子处在二维简谐振子

11、势场V(x,y)= mw (x2 + y2)中，分析该粒2子能量的本征态的简并度。71. 给出给出三维谐振子的能级分布及能级简并度。72三维各向同性谐振子，其波函数可以写籾且l=N-2n，则在一确定的能nlm3量(N+ 3 )方下，简并度为？273对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，粒子是否以一定的几率穿过 势垒？二、证明题1证明在定态中，概率密度及概率流密度与时间无关。2证明在定态中，几率流与时间无关。3.证明屮(x,t)= U(x)e一泸+ V(x)e一是定态波函数。4证明屮(x)=|1 - X2(_ 1 - X -1)是标准波函数。0( x 1)5. 考虑单粒子的Schroding

12、er方程i力2屮G,t)=-V2屮G,t)+V (r)+ iVt)(1)dt2m12其中，V与V为实函数。证明粒子的几率(粒子数)不守恒。126. 考虑单粒子的Schrodinger方程i力2屮G,t)=V2屮G,t)+ V(r)+ iV (r)1(/6,t)dt2m12其中，V与V为实函数。证明粒子在空间体积T内的几率随时间的变化为122V2-hTdt 川d 3 *屮一C *V/ -/V/ *)dS+TS7.设屮和屮 是Schrodinger方程的两个解，证明12J d 3 r/ * (r, tC (r, t)= 0。 dt12U，当x 08.粒子在势能为U(x)=0,当0 x a2E U

13、U的状态，能量有关系式ka - n兀-sin-1- sin-1决定,12J2mUJ2mU、 1 、 29在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x) = U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。10.试证明屮(x)=二e-t(ctv)2L(ax)3 -3oxl是线性谐振子的波函数，并求此波3輕函数对应的能量。11. 试证：对于一维运动，设有两个波函数屮及屮是对应于同一级量E的解，则12屮屮屮屮二常数。1 2 2 112. 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。13. 证明非简并态能级波函数可以表示为实函数14. 利用 Hermite 多项式的递推关系，证明 谐振子波函数满足下列关系

14、x屮(x)=丄n贏 /、in +1/、.-V (x) +、7-V (x) a 2 n-1V 2n+11 r )、()x2V (x) =n(n - 1V (x) +(2n +1V (x) + .；(n + 1)(z + 2 V(x)n2a 2n-2nn+215. 利用 Hermite 多项式的求导公式。证明n-n +1v V 屮 2 n-12V (x) =nCn 1)/ Gn +1)/ +、： C + 1)C + 2)/dx 2 n2n-2n16.试证明对于任意势垒，粒子的反射系数T满足R+T=l。三、计算题V (x) =adx nn+1n+21. 请从薛定谔方程推导出定态薛定谔方程。2. 一般

15、的薛定谔方程推倒出粒子数守恒定律，并给出概率密度和概率密度的形式。3. 由薛定谔方程解出定态波函数4. 由下列定态波函数计算几率流密度：(1)V11=e ikrr(2 ) V= e - ikr2r从所得结果说明屮表示向外传播的球面波，屮表示向内(即向原点)传播的球12面波。5质量为m的粒子，在一维无限深势阱中a x ax a中运动。求粒子的能量本征值和本征函数。6质量为m的粒子，在一维势场g，x 0U (x) = 0, 0 x a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。7. 粒子在一维势场u(x)=；U0 1 x l a中运动，其中% 0，求束缚态能级所能0 I x l a0满足的方程。g, x

16、08. 粒子在一维有限深势阱中运动，u(x) = a方程。|x| a|x| 0)。求其定态能级和波函 数。11一质量为R的粒子在如下的势场中运动：U(x) = 0,1x1 2a符的本征值与本征函数；2)写出粒子的几率分布函数；3)第一激发态粒子在距左壁1区域内粒子出现的几率是多少？ 4)基态粒子在何处出现的几率最大？212.在势阱V(x) = 0(0： a)中运动的粒子，处于第n激发态，试求：g(x 0或x 0）V (x)= - V0,0,x 00 x a若已知该粒子在此势阱中有一个能量E = -V0的状态，试确定此势阱的宽度a。2g x 014. 粒子在半壁无限深势阱U（x）=0 0 x 0

17、） x al 0（0EU0）所满足的方程。15. 求二维各向同性谐振子的能级和简并度。16. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。17. 写出线性谐振子体系的本征值方程、本征值和归一化的本征函数，并求：1）一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置；2）谐振子处在屮2（x）= Ne-22H2（加）态中相应的能量；3）写出三维线性谐振子体系的能级和波函数。18考虑在三维各向同性势V（r）= 2m 2r2下运动的带电荷+e的粒子受沿正x 方向的电场 E 的作用，求粒子的定态能量和波函数。已知一维线性谐振子对应于量子数n的波函数为申（x）二nJ兀 12 2nn !丿2 e弋x2H (ax)，其

18、中n19荷电q的谐振子，受到外电场e的作用,V （x） = 22 x 2 - qE x求能量本征值和本征函数。1)20质量为m,电荷为q的粒子，受到弹性力（-kx）和均匀电场E （沿正x轴方向）的共同作用，势能可以表示为V （x） = 2 kx 2 - qEx求定态能级和波函数。21. 设质量为m的粒子在下述势阱中运动:V Cx )= Y(x 0)2求粒子的能级。22. 设势场是：axV(x) = V ( - )2,(a,x 0)0 x a求粒子能级与波函数，证明其能级与谐振子相似23. 一粒子在一维势阱中心0 0,0,运动，求束缚态(0 E U J的能级所满足的方程。24.试求在不对称势力阱

19、中粒子的能级。25.粒子在一维势阱U (x )=量由式tgg x a-U 0 x 0)，求证粒子的束缚态能 0:卫2决定。1 Eg, x0, xa26.-粒子在一维方势阱UCx)=LU0,O曲中运动，如图所示。把U(x)=-U0当作0,2 x a对无限深势阱中运动粒子的微扰，计算在一级近似下粒子的基态能量。g x 027.粒子在半壁无限深势阱U(x)=0 0 x 0) x a0(OEU0)所满足的方程。28.设粒子处在对称的双方势阱中V(x)=g V , E V两00种情况)证明当b T 0时,若保持=常数，上述周期场变成Dirac梳：20, x 0 4问在 x=0 处被反射的粒子几率有多大？

20、32.如图所示，一质量为m的粒子沿x正方向以能量E向x = 0处的势阶运动。当3x 0时，该势为-E。问在x = 0处粒子被反射的几率多大？33考虑一维阶梯势V（x）00 X0，若能量B的粒子（EU）从左边入射，试 求该阶梯势的反射系数和投射系数。34粒子以动能E金从左方入射遇势场V（ x）= k X : 0求反射系数何透射系数 I 035设V（x）=丄（见附图），求反射系数k。Xe a + 1（E V及E 0）中运动，波函数为屮（X），写出屮，（x）的跃变条件。g x 0 。导出039.设粒子处于如下一维势阱中：V（x）=- V0 0 x a 能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的V 0值。