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1、向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 第七章习题课 一一 基本要求基本要求1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法3.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），4.了解两个向量垂直、平行的条件5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系，解决有关问题6.理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的方程及其图形。7.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程8.了解空间曲线方程的概念了解空间曲线的参数方程和一般方程了解空间曲线在坐标平面上的投影二二 要点提示要点提示向量代
2、数：向量代数：222zyxaaaa一、向量及其坐标一、向量及其坐标1.向量向量 模zyxaaaa,222222222cos,cos,cosyxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa2 方向余弦方向余弦u0cos,cos,cosaaa3 单位向量单位向量kji,基本单位向量基本单位向量222222arccosarccosxxyyzzxyzxyza ba ba ba ba baaabbb4 两向量的夹角两向量的夹角 Prjcos,abba bba在 上的投影5 向量的投影向量的投影 1;2 cos0,0;3Pr jPr j;40.aba baa aaba ba babbaaba b 二、二、
3、向量的运算向量的运算1 线性运算线性运算,xyzaaaaaa数乘数乘cosxxyyzza ba ba ba ba b2 内积内积:加加(减减):,xxyyzzabab ab ab sinaba b模,a b ab方向按成右手系.ab是 一 向 量：3.外积外积xyzxyzijka baaabbb 1;abba （2）以）以 为邻边的平行四边形面积为邻边的平行四边形面积,a bSab(3)与与 同时垂直的向量可取作同时垂直的向量可取作,a bnab两非零向量平行、垂直的等价条件：两非零向量平行、垂直的等价条件：0yxzxyzbbba bbaa baaa00 xxyyzzaba ba ba ba
4、b 空间解析几何空间解析几何：一、一、平面方程平面方程 设已知设已知 法向量法向量点法式点法式一般式一般式截距式截距式0000,Mxyz,nA B C0000zzCyyBxxA0DCzByAx1czbyax二、直线的方程二、直线的方程 设已知设已知 方向向量方向向量 对称式对称式 参数式参数式 一般式一般式,sm n p0000,Mxyzpzznyymxx000.,000ptzzntyymtxx.0,022221111DzCyBxADzCyBxA 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 平面的法向量平面的法向量 直线的方向向量直线的方向向量sincos,s nAmBnCps n ,nA B C,sm
5、 n p20三、曲面三、曲面 二次曲面二次曲面 球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面 旋转面旋转面 柱面柱面 方程中缺少变量，准线和母线方程中缺少变量，准线和母线0,0,22zyxfzzyf旋转面轴绕曲线四、空间曲线四、空间曲线一般式方程：两曲面的交线一般式方程：两曲面的交线参数方程：参数方程：空间曲线的投影柱面及在坐标面上的投影空间曲线的投影柱面及在坐标面上的投影 空间曲线空间曲线 投影柱面投影柱面 投影曲线投影曲线 几个曲面围成的立体的图形，立体在坐标面上几个曲面围成的立体的图形，立体在坐标面上的投影区域的投影区域 tzztyytxx0,0,zyxGzy
6、xF三三 思考与课内练习思考与课内练习1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？方向角是什么？与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？方向角是什么？2.设设 都是单位向量，且都是单位向量，且 能得到能得到 吗？吗？,a b,1,cab a b1c 3.如何求同时垂直如何求同时垂直 的单位向量？的单位向量？2,1,1,1,2,1ab4.三个坐标面的法向量、三个坐标轴的切向量是什么？三个坐标面的法向量、三个坐标轴的切向量是什么？两个方向，无穷多个向量；两个方向，无穷多个向量；3arccos3不能得到不能得到,ccabec;.;.xoyyozxozxyznk ni njsi sj sk 6.空间中
7、下列方程表示什么空间中下列方程表示什么？5.适合下列条件的平面方程有什么特征？适合下列条件的平面方程有什么特征？（1）过原点）过原点;（2）平行于坐标轴）平行于坐标轴;（3）过坐标轴）过坐标轴;（4）平行于坐标面）平行于坐标面.22210;xyz 2229;xy 2222232;4.xyzxyz0D 0ByCzDx轴0 xByCz过 轴：123;xc yc zc原点原点母线平行于母线平行于z轴的圆柱面轴的圆柱面开口向上的椭圆抛物面开口向上的椭圆抛物面圆锥面圆锥面四四 典型题目典型题目01sP Pds例例1设设 为空间中平行于向量为空间中平行于向量 的直线，的直线，是是 外一点，外一点，是是 上
8、一点，求证上一点，求证 到到 的距离为的距离为ls1Plll0P1Ps0P1Pdl000111001101sinsin,sin,dPPPPPP sPPsPP sPPsss解解例例2 已知向量已知向量 的模为的模为8，且已知它与，且已知它与x轴和轴和y轴正向的轴正向的夹角均为夹角均为 ，求，求 的坐标表达式的坐标表达式OA OA 30cos,cos,cosOA 解解：设与：设与 同向的单位向量为同向的单位向量为OA 1coscoscos32其中其中221cos1 coscos2 又又01 1188,4,4,4 22 22OAOA 于是于是例例3 求下列各平面方程求下列各平面方程（1）平行于）平行
9、于x轴且经过两点轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；（2）通过点）通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面且垂直于两平面 （3）在）在x轴上的截距为轴上的截距为2，且过点，且过点(0,-1,0)和和(2,1,3)1:10 xyz 2:210 xyz 920yz230 xyz36260 xyz例4 分别求适合下列条件的直线方程：（1）通过点(1,0,-3)且与平面 垂直；（2）通过点(1,0,-2)且与平面 平行，又与直线 垂直；（3）通过点(0,-1,1)且与直线 平行34100 xyz3460 xyz32141xyz20:2xyzLxy13341xyz12212xyz11111xyz
10、例例5 利用平面束方程解题：利用平面束方程解题：通过两平面通过两平面的交线，且通过点的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程的平面方程.20 xyz350 xyz解解 设过交线的平面束方程为设过交线的平面束方程为 2350 xyzxyz因平面过点因平面过点(1,8,2)，代入平面束方程，得，代入平面束方程，得 54 故所求方程为故所求方程为 11170 xyz例例6下列方程或方程组表示什么图形？下列方程或方程组表示什么图形？2212xyz 2222240 xyzx 22331xyyx 2222224xyzzxy旋转抛物面旋转抛物面 中心在（中心在（2,0,0)的椭球面的椭球面平行的二条直线平行的二条直线 球面与上半圆锥的交线球面与上半圆锥的交线 例例7 求单叶双曲面求单叶双曲面 与平面与平面的交线关于的交线关于xoy面的投影柱面方程和在面的投影柱面方程和在xoy面上的投影面上的投影方程方程.22211645xyz230 xz2212126013xy22121260130 xyz解解 消去变量消去变量z，得所求投影柱面方程为，得所求投影柱面方程为 所求交线的投影方程所求交线的投影方程 为为
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