化工数学课件：第二章 2 微积分

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1、 2.2 数值微分数值微分mAAkCdtdC确定确定k及及m已知：已知：时间时间 反应物的浓度反应物的浓度 t1 CA1 t2 CA2 .tn CAn2.2.1、用差商近似微商（分）、用差商近似微商（分）)(ixf（1）求一阶导数的近似公式）求一阶导数的近似公式 hhxfxfii)()(hhxfhxfii)2()2(hxfhxfii)()(1111iiAAiiAAttAttCCttCCdtdCiiiii（2）公式的误差）公式的误差 哪个精度更高呢？哪个精度更高呢？hhxfxfxfii)()()(hhxfhxfxfii)2()2()(hxfhxfxfii)()()(xixi-1xi+1xi+1/

2、2xi-1/2f(x)f(x)hhxfhxfxfii2)()()(（2）公式的误差）公式的误差 哪个精度更高呢？哪个精度更高呢？台劳展开式：台劳展开式：设函数设函数f(x)在在x=x0的邻区内的邻区内n+1阶可导，则阶可导，则对于位于此邻区内的任一对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点，至少存在一点,在在x0与与x之间，使得：之间，使得：（3）二阶及高阶导数近似公式）二阶及高阶导数近似公式（基于中心差商）（基于中心差商）hffxfiii2121)()(0)33(1)(21123)3(hffffhxfiiiii)(0)464(1)(221124)4(hfffffhxfiiiiiihhffhffi

3、iii11)2(1112iiifffh)(02h2.1.2、用插值函数计算微商用插值函数计算微商)()()(xExNxfnn)()()(xExNxfnn1、公式推导、公式推导书书26页页)(!)1()1(2)1()()(002000 xEyhnmmmymmymymhxfxfnn对于等距节点，如果利用牛顿前插公式对于等距节点，如果利用牛顿前插公式 2、几个常用求导公式、几个常用求导公式（基于等距节点）基于等距节点）（1）二点求导公式）二点求导公式)(2)(1)(010fhyyhxf)(2)(1)(011fhyyhxf（公式（公式 2-52）（2）三点求导公式）三点求导公式)(6)(21)(220

4、1fhyyhxf )(3)34(21)(22102fhyyyhxf )(3)43(21)(22100fhyyyhxf （3）二阶导数三点、四点公式二阶导数三点、四点公式)2(1)()()(2102210yyyhxfxfxf )6243012(61)(321020yyyyhxf)6126(61)(21021yyyhxf)6126(61)(32022yyyhxf)1230246(61)(321023yyyyhxf 2.3 数值积分数值积分例：真实气体的逸度例：真实气体的逸度 f 可用下式进行计算可用下式进行计算RTAPf303.2lglgPdPA0PRTV其中，其中，已知已知00时氢气的有关数据，

5、试求时氢气的有关数据，试求1000atm1000atm下的逸下的逸度度f 。P 0 100 200 300 400 500 600 700 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93 16.09 16.132.3.1等距节点等距节点求积公式（求积公式（NewtonCotes公式）公式）dxxLdxxfInbaba)()(则)()(xLxfn如果nkknkbadxyxlI0)()(nknkjjjkjxxkdxxxxxyn000nknkjjnkhdthjkhjty000)()(nknkjjnkdtjkjtnyab0001)(nkkknyCabI0,)(dtnkkkntk

6、tktttnCnkn)()1)(1()1()()1)(1()1(10,NewtonCotes公式公式xk=x0+khx=x0+thh=(b-a)/n)()(0)(xyxLnknkknl几个常用的几个常用的NewtonCotes求积公式求积公式1、1n1,0kdttC)10()1(11100,1212)01(11102101,1tdttCT)(11,100,1yCyCabI梯形公式梯形公式nkkknyCabI0,)()()(2bfafab212)1(102tnkjjnkndtjkjtnC00,1梯形公式的几何意义梯形公式的几何意义2、2n2,1,0k61)2)(1(41)20)(10()2)(1

7、(2120200,2dtttdtttC32)2(21)21)(01()2(2120201,2dtttdtttC61)1(41)12(2)1(2120202,2dtttdtttC)(22,211,200,2yCyCyCabI)(24)(6bfbafafabI)()(4)(3210 xfxfxfh辛普生（辛普生（Simpson）公式）公式SnkkknyCabI0,)(nkjjnkndtjkjtnC00,13 3、3/83/8辛普生公式辛普生公式 )()(3)(3)(833210 xfxfxfxfhIS4、柯特斯公式、柯特斯公式)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxf

8、abICn 节点数 1 2 21 21 2 3 61 32 61 3 4 81 83 83 81 4 5 907 4516 152 4516 907 5 6 28819 9625 14425 14425 9625 28819 6 7 84041 359 2809 10534 2809 359 84041 7 8 17280751 172803577 172801323 172802989 172802989 172801323 172803577 17280751 8 9 28350989 283505888 28350928 2835010496 283504540 2835010496 2

9、8350928 283505888 28350989 2.3.2 求积公式的代数精度求积公式的代数精度 定义：如果某个求积公式对于定义：如果某个求积公式对于=m次的多项式均能正确次的多项式均能正确成立，但对成立，但对m+1+1次多项式不能正确成立，则称该求积次多项式不能正确成立，则称该求积公式具有公式具有m次的代数精度次的代数精度 (1)(1)零次多项式，即零次多项式，即f(x)=1=1，abdxdxxfIbaba1)(*用梯形公式计算得用梯形公式计算得它在它在a,b上积分上积分ababT)11(2（2）一次多项式，）一次多项式，f(x)=x*IT 2)(22*abxdxdxxfIbaba2a

10、babT222ab*IT（3）二次多项式，）二次多项式，f(x)=x2 3332*abdxxIba222ababT333ab*IT 梯形求积公式对于零次和一次多项式梯形求积公式对于零次和一次多项式 均能准确成立均能准确成立所以梯形公式具有一次代数精度所以梯形公式具有一次代数精度可以证明：可以证明：n阶牛顿阶牛顿柯特斯插值型求积公式柯特斯插值型求积公式至少具有至少具有n次代数精度次代数精度 可以证明：当牛顿可以证明：当牛顿柯特斯公式的阶数为偶柯特斯公式的阶数为偶数时，它至少具有数时，它至少具有n+1+1次代数精度次代数精度 )(41443abdxxIba（4）三次多项式，）三次多项式，f(x)=

11、x3 333246)(24)(6bbaaabbfbafafabS)(4144ab 龙格现象龙格现象2.3.3 复化求积公式复化求积公式 .N-1 N)()(2)(2110nniinxfxfxfhTnininiinxfxfxfxfhS11122120)()(2)(4)(3.2n等分等分nabh2niiiinxfxfxfhS121222)()(4)(3例例1 1 用复化梯形公式和复化辛普生用复化梯形公式和复化辛普生(例例2-14)2-14)公式计算积分公式计算积分 （n=8）102)1/(4dxx104arctgxIkx 214)(kkxxf kx 214)(kkxxf kx 214)(kkxxf

12、 0 4.00000 83 3.50685 43 2.56000 81 3.93846 21 3.20000 87 2.26549 41 3.76470 85 2.87640 1 2.00000 212832412812)0(21818fffffT13899.3)1(872432852ffff212834412814)0(61414fffffS14159.3)1(874432854ffff例例2 已知等距区间上的下列数据已知等距区间上的下列数据x00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1f(x)938768554237353948535139试求试求f x dx().

13、011之值。之值。3.58)3951(21.051)48354268(2)5339375587(49331.0)(1.10dxxf解：解：已知已知f(x)由下表给出由下表给出,求求10)(dxxfx00.30.60.81.0f(x)00.150.300.400.50)0.1()8.0(4)6.0(32.0)6.0()3.0(4)0(33.0)(10ffffffdxxfI解：解：=0.25前例前例2：真实气体的逸度真实气体的逸度 f 可用下式进行计算可用下式进行计算RTAPf303.2lglgPdPA0PRTV其中，其中，已知已知0时氢气的有关数据，试求时氢气的有关数据，试求1000atm下的下

14、的逸度逸度f。P 0 100 200 300 400 500 600 700 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93 16.09 16.13dxxx10sin10212)(21niinnxfhTT9460831.09456909.09445135.09397933.09207355.01028421TTTTT9460831.0*InnTT2为什么用此式为积分计算为什么用此式为积分计算 截止的判据？截止的判据？例例71 1 梯形公式的截断误差梯形公式的截断误差*3()()12fITba 2 2 复化梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差2*)(12)(hfabT

15、In 积分中值定理积分中值定理4 4 复化辛卜生公式的截断误差复化辛卜生公式的截断误差6 6 复化柯特斯公式的截断误差复化柯特斯公式的截断误差4)4(*2)(180)(hfabSIn6)6(*4)(945)(2hfabCIn412nnTITI)(3122nnnTTTInnnnTTTTT22234)(31nT31T T2 2=0.9397933=0.9397933 T T4 4=0.9445135=0.9445135 9460849.0T9460831.0*I9460831.09456909.09445135.09397933.09207355.01028421TTTTTT T8 8=0.945

16、6909=0.9456909 T T4 4=0.9445135=0.9445135 9460834.0T 为为什么？什么？根据误差估算式，得根据误差估算式，得所以所以当当nnTT2可以保证可以保证nTI2（1）由（由（1）2.3.6龙贝格积分法龙贝格积分法nnTTT31342S Sn n=102/12)(21niinnxfhTT)()(2)(2110nniinxfxfxfhT)()(2)(231)(2134313411010212nniiniinnnxfxfxfhxfhTTTT)()(2)(231)(2)()(2)(221341101021110nniiniinniixfxfxfhxfxfxf

17、xfh1011021110)()(2)()(4)(2)(4)(26ninniiinniixfxfxfxfxfxfxfh1011210)()(2)(4)(6ninniiixfxfxfxfh=S=Sn n2.3.6龙贝格积分法龙贝格积分法（2-124）复化辛普生公式）复化辛普生公式2.3.6龙贝格积分法龙贝格积分法*I1612nnSISI根据复化辛普生误差公式截断误差与根据复化辛普生误差公式截断误差与h4成正比成正比 nC6221nnCICI复化柯特斯公式的误差与复化柯特斯公式的误差与h6成正比成正比 nnCCI63163642nnnCCR63163642nnSS15115162龙贝格公式龙贝格公式T1 T2 T4 T8S1 S2 S4 C1 C2 R1 龙贝格积分法的计算流程龙贝格积分法的计算流程dxxx10sin例例10kT212KS22KC32KR2k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608316100.9460831作业：作业：第二章习题：第二章习题：17,20