线性代数与解析几何：第五章 特征值与特征向量

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1、,AnnXAXAAXX 设 为 阶方阵 若存在数 和 维向量使得则称数 为 的特征值是 的对应(属于)的特征向量定义5.1非零.第五章第一节特征值与特征向量12311122231111,5115231141445114143112122515105AXXXAXXAXAAXXAXAAX ：设的特征值是，是 的属于4的特征向量。的特征值是-2，是是 的属于-2的特征向量。例3333115 5123XXA 不是 的特征向量。1111111 -0)00 )0)0)0)0AXAE XAEAXXAXEXAE XXAEAEAE X设 是矩阵 的特征值，为对应的特征向量，则有，即：因二、特征值与特征向量的求法

2、(为，故方程组(有又因矩阵(是方阵，故 反之，由，知非平凡解！det(det(方程组 1111 XAAXXX有，又可以推出，即是矩阵 的特征值，为对应的非平凡解特征向量.111212122212111212122212 )=nnnnnnnnnnnnAnaaaaaaAaaaaaaaaAEAEaAaaa定义特征矩阵特征多项式 det(设 是 阶方阵，的：的：111012 de)t()0,0nnnnnAAEbbAEbbA令的：特征特征方程的根,，方程det(所有特征是值就的 12 (1)det()0,.(2)()0()0 niiniii解特征方程求得特征值，可能有复根，也可能有重根对的，其对应的特征

3、向量是方程组：的，有，用解集的 表示 对于特征值，方求解步骤不同非零解程组 的解集是的子空间()，称为是矩阵 关于的(由零向量和所无穷多个向量参数形式解空间特征空间有特征空间AEAE X=AE XAR R i对应的特征向量组成).223110430.102 110430(2)(1)1022,1.2,(2)0AAAEAAE X 11：求矩阵 的特征值和特征向量解的特例征多项式为所以 的特征值为当时 解方程组 5.21131024101000 0,1(0)2.100010,000kAEX kX 1:所以是对应于的全部特征向量得基础解系,().,().AE XAkXEkX 323210 210101

4、4200121010001 210122当时 解方程组 由得基础解系所以是对应于的全部特征向量1111 ,(,)1,0 ttttkkkk性质非若为方阵的一个特征值，为 零组属于 的特征向量，则它们任意的不全为 也是的属于 的特征向量合AXX X AX=X1111,det()(A)ijnnnniiiiiiininiianaa 1212若 阶方阵的特征值为则 性 为质称迹的 A2=A1112121222111-11122 ,det()0 det()detdet()()()()0()()()(nnnnnnnnnnnnAEnAaaaaaaAEaaanAEaaa121 21212：由于是的 个根，有 令

5、，则由于是 的 次多项式，其()项的系数为证明 -1211)nnnniiiiia1的展开式()项的系数为由于恒等式两边同次项的系数必相等，所以，0101220101 (),()(),0,:()()3()()mmmmmmmmAf xaa xa xaaaffAXX XA XA XAXXA XXfXaaaXaffaa若 为 的特征值，为相应的特征向量，设有多项式则方阵 的特征值为特征向量为 仍为方阵属于的特征向量。:由有一般有性质证XEAAXAAEAAEXAAX0101 =()mmmmXaaaaaafXmmAXXX()X=12322123123 33043 48,det()()48,()3()8,(

6、)8,()5 det()()()()8 8 532 0ABAAIBf xxxBf ABfffBfff 设 为 阶方阵，有 个特征值 ，；求解：设则 的 个特征值为：例5.411*11111*111111*1,(1),0,(3).:(1)det()0,0,1,(2)(3)det,.detinnAAAXX XA XXAAinAXXA AXAXXA XXA XAA AAAAA i:设 可逆 则 的特征值不为0.(2)若则求 的特征值解由故由若 的特征值为则的特征值是所以 的特征值为例11231312111,det,.:3,().:()0,1,21,3nnnnAAAEAEAE即设 阶方阵 的特征值为求

7、的特征值解的特征值是,例11,2,31故值2征,的特是 111111,10 1,mmmkkkkkkcAmmmmkmkc111111不同特征值所对应的特征向量线性无关：设是 的 个互不相等的特征值，其相应的特征向量分别为对 用数学归纳法证线性无关.当时，结论成立；假设时结论成立；当时，设线性相关线性无关可由线性表示性质4 证明1120,0kkkkac cc不全为111 111 11111111111 11111()()()0(1,2,),0()()0,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkcccccccAccikccccccc1111111两边左乘不全为 ，,不全为 AAA,

8、kkm11线性相关与线性无关矛盾，所以,线性无关11212 ,(1,2,),1,15 imiiiiirmijinmrimrrrimjr 设是 阶矩阵 的 个互异特征值，对应的 个线性无关的特征向量为 所有这些共个特征向量构成 的性向量组线性无关。质AXXXX设为 阶方阵，存在可逆矩阵，使得 则称，记为可逆矩阵 称为将 变为 的相似变换矩阵.反身性：对称性：，则 传递性：，则 若第二节 相似矩阵与矩阵对角化条件定义5.3 与 相似则 mmPP AP=BA B ABA A A B B A A B B C A C A B,ABPA B 1,(1)(2)(3),(4)A Bn111111det()de

9、t()det()det()det()det()det()d1et()det()2相似矩阵有相同的秩.：设，则存在可逆阵，使相似矩阵行性质证性质证列式相同.：设，则存在可逆阵，使 A BPP AP=B rank(B)=rank(P AP)=rank(A)A BPP AP=BBP APPAPPPA A 11111111111det()det()3detdet4de设 与 相似，则 与 同为可逆或不可逆，可逆时，与亦相似：设 与 相似，则存在可逆阵，使因为，故 与 同为可逆或不可逆.由，得，与亦相似相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值(及重数).：性质证性由得质，证 BA ABABABAB

10、PP AP=BABP AP=BAB P AP=BP A P=BEP APEB 11t()det()det()AB与 有相同的特征多项式，于是有相同的特征值.1P APP(E)PP(AE)PAE1211212120000(,)000000det()()()()00,nnnnnBdiagBIABnA对角矩阵的特征值最容易计算对角阵 的所有特征值就是 个对与 相似的矩阵有相同的特征值。而：角元,若 能与对角阵相似，称 可对角化.-哪些矩阵可素对角化矩阵可对角化条件 A？11111dia5.1diag(diag(diag(,g,(,nnnnnnnAXXXXXXXnAn1111对角化定理阶方阵 与对角阵

11、,)相似的充分必要条件是：有 个的特征向量.证明：设 与,)相似，则存在可逆阵，使得,)，定理线性无关必要性,)可逆线即有 记，阵，性无关,，有 AAPP APAP=P =P=PAP=A=1111,diag(,),1,),0nnnniniiiAXXXinXXAXAXX而 故 (由于，是 的特征向量.P11111111111,(1,2,),(,),(,),iinnnnnnnnninnnnnXXinXXXXXXdiagXXXXdiagXiXXxXXd11：设 有 个线性无关特征向量对应特征值为，则有 构造矩阵，因为线性无关，故充分性可.逆，故APAPAAPPAAAP=P111(,)(,).nnag

12、diagAnPn，即：相似的对角矩阵和相似注意不是惟一的构造要与对角矩阵变换矩阵的，但！相对应互异有 个特征值的 阶方阵可对角化推论P AP=00,5.2 5.3 nAkllknAAkl设为 阶方阵 的一个 重特征值(),对应于 的线性无关特征向量的最大个数()则 （证明略）阶方阵 与对角矩阵相似的充要条件是：的每个特征值的等于,定理代数重数几何重数定理代数 重数几何重数 （证明略）21121201det()(1)01 2020(1)0001(2)1AAEkxAE XXxAklkl 令：，（2重特征值，）1 其基础解系：0对应重特征值 的线性无关的特征向量的最大个数为特征值的重数该特征值对应线

13、性无关的特征向量的最大个数为 例123121233123322224,2,52422,(2,1,0),(2,0,1),5(1,2,2)22212,102501122TTTAXXXAPXXXP 例5.3其个数重数：特征值对于有最大线性无关特征向量组：其对于，有个数线性重数无关特征向量：所以，是相似变换1(2,2,5)PAPdiag矩阵，第三节第三节 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化向量内积范数向量长度正交向量组正交向量组线性无关施密特正交化法正交矩阵及性质实对称矩阵的对角化121212121 ,(,),(,)(3,1,2),(4,3,1),(,)(3)4 1 32(15.)4TTnnnnTT

14、nniiiTTb bbb bbab 设=,为中任意 两个向量。实数（）=称为与的内积，记为，：内积定义例R R 一一、向向量量内内积积11：定义了内积的向量空间称为内内积空间积空间。12222121,;2,3,;(4),0,0.,TTnnnaaa ：当且仅当 0时，=设（），定义 的 长度（）为内积运算性质定义5.记5范，为数R RR R2220,(3,1,2)(3)12141312(3,1,2)(,)14141414nTTT 的长度也称为 的，为1的向量称为.，易验证为单位向量，称其为（或规范化向量）：的单位化向量：模长度单位 向量的单位化向量例 R R 00;,;,;kkkCauchy 1

15、0,当且仅当时有23 柯西（）不等式：4 三角不等式:（1）（2）可由长度定义直接证明；下面证）证：（3R R向向量量长长度度的的性性质质 22200,2,0,tttttt 若，则柯西不等式显然成立.若，对，有0取，则有从而，两边开方，于是 R R 2222(4):+,+,2,2,2 ,+=所以，证2 ,arccos ,1,115.6,1n TT设为非零向量，规定它们的 夹角为0 向量若=0，则称 与 相互 定义定义5.7 正交(也称相互)例如，零向量与任意向量正交，中向量与正交.垂直2 2R RR R二二、正正交交向向量量组组1111111,01,2,.,0.nnmmmimmiiiiimim

16、kkkkimkkkij i设中一组向量，若它们两两正交，则称其为的一组.正交向量组线性无关.：设为正交向量组，=0定义5.8非零正交向量组定理5.4证两边与取内积.:当n nn nR RR R5 5,0 ,0.ijiiik 时，101,20,0 ,iiimikimrr 又从而，于是，线性无关.证毕维空间中，任意含有 个向量的正交向量组都可以作为该空间的一组基，称为.若正交基中每个向量都是单位向量时，称这组基为（或规范正交基、标准正交基）.正正交交基基单单位位正正交交基基1231233212312312123121233 =2 1 2,1,2,0,0,220 2 04254TTTx xxxxxx

17、xxxx 11323：已知向量，求使得，是的一组基。：由于，所以，正交。设它与，正交，则(,)=0即(,)=0取其任意一个非零解得到例解R R1233,2,5,T则，是正交组，所以是的一组基，且是。正交基R R111111111121221121111 ,5.5,rrrrrrrrrrrVV 定理正是内积空间 的一组基,令则是 的一组，且与，可相互线性表示.(证明略)交基施密特正交化方法111123112122112122331233 (1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,1,0,0),11 1(1,0,0,1)(1,1,0,0),0,12,2 2,15(7,.TTT

18、TTTT 已知 将它们变成单位正交的向量组。解：先用施密特方法正交化。令：例11/21 1111,0,1,0)(1,1,0,0),0,1,1,23/22 2333TTTT1122331231111(1,1,0,0),0,0222111 1112,0,1,0,2 23/2666111111131,1,33312/312121212,TTTTTT 123单位化正交单再位。令：则是向量组。1.TnTnAA AEAAnAAA若 阶实矩阵 满足，则称 为.由定义易知，为正交矩阵的充要条件为（正交矩阵的构造）阶实矩阵 为正交矩阵的充要条件是、定义：其列（行）向量组是的单位正交基5.9正交矩阵定理5.6.R

19、 R三三 正正交交矩矩阵阵及及其其性性质质121112112122221212(,1,2,(,)(,)(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)1 (,)0niTnTnTnTnnnnnTijAAiinA AijA AEij ：设)，其中为 的第证(以列向量为例证个列向量，明)则,12121 (,),1,2,0 ,TijnnnA AEiji jnijA 为正交矩两两正交且都是单位向量 为中的单阵位正交基.R R1,det1.,nnnAAA BABYXTTX YARAnRR 定义5.10（1）若 为正交矩阵，由也为正交矩阵;（2）若为同阶正交矩阵，由也为正交矩阵;（3）若 为正交矩阵,则设 为

20、阶正交矩阵，称上满足的变换为上的，其中 正交均.为变换上的列向量正正交交矩矩阵阵性性质质：121112211222,();(),;5.8 )(Y YXXYTXYTX YTXYXY YXXQRAn 正交矩阵的保形性正交变换向量的内积、长度及其夹角()即若且则有 定理5.7 保持不变内积不变长度不变夹角不（2）（3）矩阵的分解 设 （1）是满秩变定 理阶矩阵，QQRnRA正交矩阵上三角则存在 阶和使得 矩阵1212111222111121121112211,.,nnnnnnnnnnnnAA ：记 的各列为，由于 满秩，所以构成的一组基，由施密特正交化证方法，令R R再令1iii1,2,in12,n

21、n则构成的一组单位正交基.R R12,nQ 是正交因此,矩阵，且11111111,iiiiiiii 1111111111111111,iiiiiiiiiiiiiiii 令12131123221,nnnnnR R上三角则 为矩阵，且1111111111,iiiiiiiiiiiiii1,2,in12112212111311232212111211(,(,.),nnnnnnnnnnnnnAQR )=AQR注意，对降秩矩阵，也可以证明存在分解12121 1,(),0,0TnniiTTTTTTTTTTTnnAXXAXx xxXx xxxxAAA AAXAXX A XAXXAXXXXXXX XX XXX

22、Xx xx x：则 又因为,证由、四四 实实对对称称矩矩阵阵的的对对角角化化定定理理5.95.9 T实对称矩阵的特征值都是实数.设，为实对称矩阵。令，记=,其中 表示 的共轭复数.由 实对称，所以,=只需证即可.考察等式所以即 为一个实数 ,111222121221212221121212112122121,.,0TTTTTTTAAXXAXXXXXXXXXAXXA XAXXXXXXXX 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征 向量必正交.设 为实对称矩阵，则 由,所以必定理5.0证：1有12111,nTnAQAAQ AQQQQQA定理5.11实对称矩阵必与对角阵相似，即可对角 （证明略）化设 为实

23、对称矩阵,则存在正交矩阵，使得为对角矩阵，即其中为 的全部特征值（允许有重根）.()111211det,0,iimmriiiimiriiiiiAQrAErnQ AQrXAE XXA 定由特征多项式，其中 得到 由于 可对角化，由设对应 个 全 线性无关的为，它们可通过理求 的基础解系获得部互异特5.3重特征值解方程征值特.量 征组向给给定定实实对对称称矩矩阵阵，求求正正交交矩矩阵阵，对对角角使使为为的的步步矩矩骤骤：阵阵1 1 =2 2 1,2,im.1211111121211111,;,;,iimmiiriiirrrmmrrmmrXXrYYYYYYYYnQYYYQY3 利用施密特正交化方法再

24、单位化，将 化为，由于不 同特征值对应的特征向量已经正交，这样得到 个两两正交的单位特征 个两两正交的单位向量向量:4 取，则 为所求 的正交矩阵.13 5.9 ,det()(3)()1AQQQAAE例求已知实对称矩阵011-110-11=1-101-1110使得为对角矩阵。：-11-11-111-1-1-111-正交矩阵解11112341211212131331,(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)(1,1,0,0),111(1,0,1,0)(11,3(-,1,01)0,0),1,0222 ,TTTTTTTAE X 123得到 对，求方程组 的基础解系为用施密特方法将其

25、正交化：=122232,11113,33T，1234(1,1,1,1)111(1,1,0,0),0,0222111112(0),0223/26661113111 1,222222 3 2 3 2 3(3)0 ,TTTTTTTAE X 41234对，求方程组 的基础解系=-3相互正交，将其单位化为则：，,1，123411112262 311112262 3,2110262 3310022Q 得到正交矩阵：11113Q AQQ则有：其中 是正交矩阵12121112112111 ,(,),(,),()()(,)(,)5.10 QQQQQ nnnnA BnABdiagdiagQ AQAQBQAQBQQ

26、 BQdiagdiag 设均为 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵使得和都是对角矩阵，则是实对称矩阵。例证：设112212121111(,)=(,)(,)=()(),()TnnnnTTdiagdiagdiagQ BQ Q AQQ ABQQ BAQABBAB ABAABABAB 即 则则 是实对称矩阵。11111111111(,),(,)(),1,1,?(2,2,(1,0,1)?(,)(,)(,)nnnnnnnnnP APdiagAPdiagPPAApAAAAPdiagPPdiagPPdiagP(1)若 可对角化 怎样求怎样通过对角矩阵和相似变换矩阵求由 有故只要求出就可求出:设3阶矩阵 的特征值为且

27、对应矩的特阵例征向量为两个问题：2311231),(1,1,0),(1,0,2),221,(),0101111453 10102665TTTppAAPp p pPAPP求解 由条件知 可对角化 取并求得232311231233,2,1,1;(2,1,2),;()0(220,2 11)TxxxAAAx xxPPAP 11T11:设 是 阶实对称矩阵 特征值是对应于=2的特征向量求解 因为 可对角化 所以对应于=1有2个线性无关的特征向量,且与 正交.设=(,)是例(对应于=1的特征向量,由方程可求得基础解系取 并求出则,113241210294213P3123(21215312,?+1=0 (1)(),20103,0,1(2):det()(1),)0 1(AaAAEbAabXabAAE T已知=(,1,-1)是的一个特征向量.(1)求常数a,b及 对应的特征值(2)问 是否与对角矩阵相似 为什么解由 或得解得计算 的:特征值得例三重(1)0AE XA 根而方程组的基础解系只包含一个解向量(不是三个),故 不与对角矩阵相似.